книги из ГПНТБ / Даниленко, Д. К. Конспект лекций по курсу начертательной геометрии. Ортогональные проекции

- 63 -

которых ( к ,)

принадлежит стержню AB, а вторая ( Ѵ<г) - стерж­

ню CD .

Очевидно,

что точка Wz расположена ближе к наблюдателю ж,

де

спереди)

- точку

1<( т .е , стержень CD , на котором находит­

ся

точка \<г расположен

ближе к нам и закроет

собой

находящий­

ся

сзади стержень AB. Этим способом, который

носит

наименование

способа конкурирующих точек, можно определить

видимость

прямой

и плоскости,

двух плоских фигур или двух поверхностей.

В даль­

нейшем мы часто будем применять его.

§ 13. Условие проецирования прямого угла.

Как известно,

угол между двумя пересекающимися прямыми

проецируется

в нат;

гхьную величину в том случае,

когда обе его

стороны параллельны плоскости проекций.

Это, в

частности,

справедливо и для прямого угла.

Однако

следует

заметить, что для прямого

угла достаточно

рона, чтобы угол спроецировался на эту плоскость

в натуральную

величину. Покажем это на наглядном чертеже (рис.

А 5).

Как видим, отрезок AB

параллелен плоскости

U ( А в ||а Ь )

и пересекается с отрезком

ВС под прямым углом.

Если привести отрезок

ВС во вращении вокруг оіреэка AB,

то он будет перемешаться в

плоокости Р проходящей через точку

В и перпендикулярной к отрезку АВ и плоскости В.

Можно утверждать,

что

отрезок ВС, в любой момент этого

вращения, спроецируется

на

линию пересечения плоскостей И И Р

т .е . на линию перпендикулярную горизонтальной проекции

AB - от­

резку a b .

Это отчётливо

видно

на рис.

45, где

приведены два

положе­

ния точки С -

С,

и С г

в, соответственно

два положения отрез­

ка ВС - ВС,

и ВСг .

Как видим,

точки С, и Сг

проецируется на плоскость Н на

упомянутую линию пересечения, на которую спроецируется

и оба по­

ложения отрезка ВС - Ь о ,

к Ь с 2 .

В заключение рассмотрим несколько задач, решение которых

основано на материале

настоящей лекции.

З а д а ч а

Через точку С

, параллельно заданному отрезку AB,

провес­

ти прямую линию и построить её следы.

Нам известно,

что если прямые в пространстве параллельны,

то параллельны и их одноимённые

проекции.

Точка пересечения

горизонтальной

проекции прямой с осью ОХ

- точка fl - является

горизонтальной

проекцией фронтального еле

да этой прямой (см. лекцию вторую).

Перпендикуляр восставленный из точки V!

х ос* ОХ, пересе­

чёт фронтальную

проекцию прямой в точж еИ *^- Фронталь

ном следе этой прямой и его фронтальной проекции.

Профильная проекция фронтального

следа,

как и любой точки

лежащей в плоскости V

должна найтись

на оси

0Z .

65

ff

должна находиться в

точке пе­

Характерно, что эта точка Л

ресечения профильной проекции проведённой через точку

С прямой,

с осью 02 . Фронтальная проекция

этой прямой пересекает ось

ОХ з точке пѴ - фронтальной проекции горизонтального

оje да.

Сам горизонтальный след найдётся в

пересечении перпендикуля­

Профильная проекция горизонтального следа (точка

т *

),

как обычно найдётся на оси

ОУ, .

Проверкой правильности проведённых построений будет

то,

//

проекция нряыой пересекает ось ОУ, .

что в точке ГЛ профильная

Фронтальная проекция

прямой пересекает ось 0Z в

точке

Рр* -'искомый профильный след к его профильную проекцию.

То, что профильный след оказался слева от оси

0Z

,

го­

ворит о том, что он находится

на заднем поле профильной

плоскос­

ти проекций, разделяющей второй и аестой углы пространства.

По правилам проецирования (см. лекцию первую), нам извест­

но, что горизонтальная проекция

профильного следа должна нахо­

диться на одном перпендикуляре к оси ОХ с фронтальной проек­

цией и на том же расстоянии от

этой оси, на котором

профиль­

ная проекция находится

от оси 0Z .

Следовательно, в

нашем случае, горизонтальная

проекция,

будет находиться на оси - Оу

,

//

/

оси ОХ.

на расстоянии р р

от

Ввиду того, что профильный

след

находите?

ак

уже

упоми­

налось, на задней поле

плоскости W ,

упомянутое расстояние

нужно отложить на отрицательном

направлении оси СУ .т.е.

вверх.

66

-

Убеждаемся, что построения выполнены наш правильно, т .к .

в волученной

точке

горизонтальная

проекция

прямой

пересекает

отрицательное направление оси ОУ.

На »пюре (рис. чб) показан другой

способ

построения точкир .

Ыы опустили

перпендикуляр из

точки

р "

на ось

СК и радиусом рав­

ным расстоянию от

основания этого перпендикуляра от точки Oj Из

этой

точки, как из

центра/ сделали засечку на оси о У .

Если мы сделали все построения

правильно, то проекции пря­

мой обязательно будут проходить через одноимённые проекции всех

трёх следов т .е . горизонтальная

проекция прямой пррйдёт через

горизонтальные проекции всех

следов

-

точки

т

/ п и р, фронталь­

ная

-

через

точки

^nrl// 1r^, и

р

,

а

профильная

- через

точ­

ки

ш

>

%

р

Ч

З а д а ч а

Через точку А провести прямую пересекающую заданную прямую

ВС и ось ОУ (рис. 47).

В настоящей лекции были приведены доказательства того,

что

если

прямые

в пространстве переоекаются, то пересекаются я

их

одноимённые проекции, причём точки пересечения

этих

проекций

лежат

на прямых перпендикулярявх осям проекций.

Поэтому можно

утверждать, что проекции искомой

прямой долж­

ны переоекать одноимённые проекции,

как

заданной прямой ВС,

так

и оси ОУ.

Заметим,

что ось ОУ перпендикулярна фронтальной плоскости

проекций

и проецируется на неё в точку 0 - начало координат.

Значит, в

эту точку спроедаруется и точка пересечения иско­

мой прямой с осью

ОУ - точка D т.е. фронтальная проекция точ­

ки D

будет находиться в начале координат.

Однако, у нас нет данных, чтобы провести остальные

проек­

ции этой прямой, т .к . нам пока неизвестно

расположение

горизон­

тальной и профильной проекцией точки D .

На помощь приходит условие задачи, в

соответствии

с кото­

рым искомая прямая должна пересекать и заданную прямую ВС.

Фронтальные проекции прямых AD иК

пересекаются

в точ­

ке V , которая, как известно, является фронтальной проекцией

точки пересечения этих прямых в пространстве.

Найдя, в проекционной связи, горизонтальную и профильную

ем остальные проекции прямой AD .

Горизонтальная проекция точки

D

найдётся в пересечении

горизонтальной проекции прямой AI

о осью ОУ, а профильная про-

» I

к

с осью 0У( .

екция - в пересечении прямой О 1

З а д а ч а

Определить расстояние от точки А до прямой ВС (рис. 48).

Как извеотно, расстояние от точки

до прямой определяется

длидной перпендикуляра опущенного из этой точки на прямую.

Таким образом, задача сводится

к тому, чтобы опустить из

точки А на прямую ВС перпендикуляр,

найти его основание и опре­

ции точки А

на одноимённую проекцию прямой ВС , m

утверждаем,

что отрезок

d o t

является горизонтальной проекцией

перпендику­

ляра опущенного из точка А на прямую ВС.

По условию о

пересекающихся прямых, в проекционной связи

точки

X) , а соединив её

с точкой

Q

- получаем фронтальную

проекцию искомого яерпепднхуляра

-

отрезок О У .

Для решения задачи необходимо определять

натуральную вели­

чину отрезка AD .

Делаем это

способом

прямоугольного треуголь­

ника,

который был объяснен

во

второй лякшн.

Под прямым углом

к отрезку

Cid .

У точки а , откладываем

отрезок Ü Z

, длину

которого

снимаем

на фронтальной проекции.

Полученную точку

А0

соединяем

с

точкой

<j .

Отрезок

A . d

-

равен натуральной величине расстояния от

точки

А до прямой ВС.

Приходим к выводу, что эпюр двух параллельных или пересе­

кающихся прямых одновременно будет являться

эпюром плоскости,

в которой лежат эти прямые.

Однако вряд ля стоит считать это каким то другим способом

задания плоскости, отличным от способа задания тремя точками.

Очевидно,

что если плоскость В задана

тремя точками А, В

и С (см. рис.

49), то ничего не изменяется,

если мы соединим

точки

А и В - отрезком прямой, а через точку С проведём прямую

ED

параллельную

отрезку AB.

Этими двумя

параллельными прямыми на эпюре будет задавать­

ся

та

хе плоскость АВС или Р.

следа прямой - точкой пересечения

прямой с плоскостью проекций.

На наглядном

изображении (рис. 50}

показана плоскость Р пересекаю­

щая плоскости

проекций н , V

и W

по прямым соответственно обозна­

ченными буквами Р„ > Я *

P« .

Эти прямые н являются следами

плоскости Р,

причём прямая обозначенная Р„ называется г о р и -

з о к т а л ь н ы м

с л е д о м

п л о с к о с т и Р ^ , Рѵ-