книги из ГПНТБ / Даниленко, Д. К. Конспект лекций по курсу начертательной геометрии. Ортогональные проекции

-216 -

Всоответствии о приведённым выше порядком решения, заклю­

чим прямую DE во вспомогательную плоскость. Сначала выберем Фронтально-проецирующую плоскость Р, проведя фронтальный след её по одноимённой проекции заданной прямой. Как известно, точ­ ки і \ г ' * з ', в которых фронтальные проекции рёбер пирамиды a s / , b S шС£>' переоекают одноимённый след плоскости Р, будут

являться фронтальными проекциями точек пересечения ребер пирами­ ды о этой плоскостью. Горизонтальные проекции этих точек най­ дутся в проекционной связи, на горизонтальных проекциях ребер пи­ рамиды. Ооеднннв ати точки отрезками прямых, получаем горизон­ тальную проекцию искомого сечений (заштрихованный треугольник

123).

проекциями искомых точек пересечения этой прямой с поверхностью пирамиды. Фронтальные проекции этих точек найдутся на одноимён­

217 -

вспомогательной плоскости - горизонтально-проепирующую плоскостьQ

Горизонтальный след этой плоскости пройдёт по одноимённой

Это доказывает обоснованность высказанного ранее утверждения,

что любая вспомогательная плоокость даёт правильное реюение за­ дачи.

Возникает вопрос: почему мы,формулируя в начале лекцнн порядок ревения задач этого типа, записали, что обязательно сле­ дует обдумать выбор вспомогательной плоскости?

Для только что ревенной задачи это не имело значения, во ниже будет показана необходимость такого выбора.

З а д а ч а

Найтн точки, в которых заданная горизонтальная прямая AB

пересекает поверхность прямого кругового конуса (рис. 133).

Может показаться, что и в этом случае безразлично, какую вспомо­ гательную плоскость взять для решения задачи, но это ие так.

- 219 -

Заданную пряную можно заключать в горизонтальную плос­ кость р, горизонтально-проецирующую плоскость Q а в бес­ численное множество плоскостей общего положения.

Попробуем представить себе, какие сечения будут полу­ чаться при рассечении заданной конической поверхности атимн плоскостями, горизонтальная плоскость Р рассечёт конус по окружности радиуса Г .

Горизонтально-проецирующая плоскость - по гиперболе, а

плоскости общего положения, в зависимости от угла наклона их к плоскости н, могут рассекать заданную поверхность и по алляпсу, я по параболе, и по гиперболе, даже по треугольнику

(воли эта плоскость будет проходить через вервину конуса).

Любая из этих плоскостей обеспечивает нахождение иско­ мых точек пересеченяч, во, естественно, что наиболее проо-

тне ревення подучат, в первом и последнем случаях, т .к , про­ вести окружное» или прямые линии легче, чем построить ле­ кальную кривую.

Помимо этого, точность ревения выполненного при помо­ щи лекальной кривой, как правило, уступает точности построе­ ний сделанных циркулем или линейкой.

Рассмотрим решение задачи при помощи вспомогательной горизонтальной плоскости Р, в которую иакіючаем заданную прямую AB.

При этом фронтальный след плоскости Р пройдёт по одно­ имённой проекции прямой AB. Конус будет рассечён плоскостью

Р по окружности радиуса Г (расстояние от точки пересе­ чения фронтальной проекции очерковой образующей о одноимёя-

- 220 -

rum следом плоскости V - до оси конуса^ которая спроецирует­

ся на плоскость Н в натуральную величину* Точки пересечения этой окружности с горизонтальной проекцией заданной прямой ЛВ точки С и d - являются горизонтальными проекциями искомых точек пересечения. Фронтальные проекции этих точек найдутся в проекционной связи на фронтальной проекции прямой.

Доказательством того, что найденные точки С и D , при­

надлежат прямой является расположение проекций этих точек на

одноимённых проекциях заданной прямой AB. а то что упомяну-

а

тые проекции точек лежат на одноимённых проекциях окружности,

по которой поверхность конуса рассекается плоскостью Р, дока­ зывает, что эти точки расположены на поверхности конуоа.

прямую ВЗ .

Сейчас,нужная нам плоскость задана пересекающимися в точ­

- 221 -

Соединив построенные точка I н 2 о горизонтальной проек­

ціей веренны конуса, получаем одмиыбнные проекта образующих,

по который плоскость R расоекает заданную хоничеокую новерх-

ноетъ.

Как видны,эта образующіе пересекают одноимённую проекцию

заданной пряной в ухе построенных нами точках С i D .Этот при­ ём, проведения плоскости через вериину конической поверхнося,

даёт хороюий результат и Для случая, когда задан наклонный,

эллиптический конус.

На фиг. іза, показан такой конус и прямая общего положе­

ния AB. Требуется найти точки пересечения этой прямой е задан­ ной поверхностью.

Задача может быть реиена заключением прямой AB во вспомо­

гательную горизонтально или фронталъно-проецируюяую плоскос­ ти.

Однако, в обеих случаях сечениями конуса будут лекаль­

ные кривые, что. как упоминалось ранее, затрудняет построе­ ния и снижает точность ренеяия.

Выгоднее заключить прямую в плоскость общего положения проходящую через вериину конуса, т.к. такая плоскость будет

рассекая его по образующим, т.е. по прямым линиям. Соеди­ ним вериину конуса о произвольной точкой, прямой AB (точка С)

Сейчас,искомая плоскость общего положения определяется

прямой ливней, получаем горизонтальный след этой плоокоети.

Рис. 134

223 -

зующых, по который заданный конус пересехаетоя плоскостью Р.

Эти проекты пересекает одноимённые проекции заданной пряной

AB в точках d i e являющихся горизонтальными проекциями не­

койих точек пересечения, фронтальные проекции атих точек най­ дутся на одноимённых проекциях заданной прямой AB.

Точки D и £ являются искомыми точками пересечения пря­ мой AB с поверхностью конуса потому, что они принадлежат и

прямой (проекции точек лежат ва одноимённых проекциях прямой)

и поверхности конуса (проекции точек лежат на одноимённых про­ екциях образующих конуса).

Для суждения о видимости найденных проекций точек пересе­ чения, следует отчётливо представить оебе расположенные очер­

ковых образующих. Так, на фронтальной плоскости проекций, та­

ки D и Е , расположены ниже этого горизонтального діаметра.

Это означает, что н точка, н идущие от них образующіе лежат

на передней половине поверхности конуса, значит вядшы на фрон­ тальной плоскоотн проекций. Поэтому видным и лежащіе на этих

пекдниуляров опущенных нэ центра окружности оововапя конуса на эти очерковые образующие.