книги из ГПНТБ / Даниленко, Д. К. Конспект лекций по курсу начертательной геометрии. Ортогональные проекции

- 205 -

Шюскооть Q проходящая через точки 3 и й, рассекав* по­

верхность конуса по окружности проецирующейся на плоскость Н

I

в натуральную величину.

Достаточно провести ату окружность, чтобы найти на ней,

в проекционной связи, горизонтальные проекции точек 3 и а . Для построения горязовталкой проекции сечения - эллипса - получен­ ных четырёх точек недостаточно.

Зададимся ещё несколькими образующими конуса и найдём точ­

ки их пересечения с плоскостью Р. Выберем ати образующие так,

ются фронтальными проекциями ещё четырёх точек искомого сече­ ния. Горизонтальные проекции этих точек найдутся в проекцион­ ной связи, на одноимённых проекциях упомянутых образующих.

Соединив горизонтальные проекция построенных точек I, 2,

3 . . . 8 - плавной кривой получим горизонтальную проекцию се­ чения заданной конической поверхности плоскостью Р (заитрихо-

ванинй эллипс).

З а д а ч а

Построить проекции сечения заданного наклонного цилинд­ ра плоскостью Р . На фиг. 128. представлен эпюр наклонного ци­ линдра, эллиптическое основание которого располоиено в слое-

- 20? -

костя проекций н. Поэтому, один участок искомого сечения у нас уже есть - это прямая 1 - 2 , по которой плоскость р пересекает ос­ нование цшиижра.

Фронтальные проекции точек I и 2 найдутся а проекционной связи, на оси ОХ.

Для получения други* точек искомого сечения, зададимся не­ которыми образующими заданного цилиндра н найдём точки пересече­ ния их с плоскость«) общего положения р .

Особый интерес представляют очерковые образующие, т .к . точ­

ки их пересечения с плоскостью Р определяют граннпу видимости

<

линяя еѳчення на эпюре.Начнем с левой очерковой образующей, пе­ ресекающейся с плоскостью Н в точке Е. Заключим ату образующую во фроатально-проепирующую плоскость L в построим проекции ли­ ния пересечения плоскостей р в L - прямые т , и , н по,'п,'.

Горизонтальная роекция этой линии пересечёт одноимённую проекцию левой очерковой образующей в точке 3 - горизонтальной

проекции точки пересечения этой образующей с заданной плоскостью р Фронтальная проекция точки 3 найдётся на одноимённой проек­

ции образующей, в проекционной связи. Правая очерковая образую­ щая цилиндра, в пределах первого угла пространства, не пересе­ кается с плоскостью Р, т.к. точка А. в которой эта образующая пересекает горизонтальную плоскость проекций, лежит за горизон­ таль ним следом плоскости Р. -

На горизонтальной плоскости проекций, очерковой образующей участвующей в пересечения будет образующая пересекающая плос­ кость Я в точке С.

Вторая очерковая образующая (о точкой D ) , в пределах пер­ вого угла пространства, плоскостью Р не пересекается. Заключим

- 208 -

нужную лам образующую в горизонтальво-проецирующую плоскость Т и построим ДЕпаю пересечения её с плоскостью Р - прямую М2 М2 .

Фронтальная проекция этой прямой ( т ^ п ^ ) пересекает одноимён­

ную проекцию образующей в точке ч ' - фронтальной проекции иско­ мой точки пересечения.

Горизонтальная проекция точки и найдётся, в проекционной

связи, на горизонтальной проекция образующей. Для отыскания на-

нвысюеЯ точки сечения, т .е , точки наиболее удалённой от прямой

1 - 2 , проводим образующую через точку в - точку касанья с основа­ нием цилиндра прямой линии параллельной горизонтальному следу плоскости Р-Р„ . Заключив эту образующую в горизоитально-прое-

Видимая часть проекций сечений проведена линией видимого контура,

а невидимая - ятриховой.

Именно, для выявления точек, лежащих на границе видимости

(точки а я 3) и били взяты нами плоскости Т ц L і которые мы,

заключили очерковые образующие.

З а д а ч а

Построить проекции сечения сферы плоскостью АВС (рис, 129).

Для построения искомого сечения, введём вспомогательную секущую горизонтальную плоскость Р, проведя её через экватор заданной сферы. Эта плоскость пересечёт заданную плоскость АВС

- 210 -

по горизонта» 1-2 (в точках I ■ 2 прямые AB н ВС переоекаются

о ПЛОСКОСТЬ!) Р ).

Горизонтальная проекция горизонтали (ГПГ<) пересечёт одно­

имённую проекцію сечения сферы плоскостью Р (акватор) в точках

атой плоскости), так и на поверхности оферы (т .к . проекции этих точек лежат на одноимённых проекциях акватора). Значит эти точ­ ки лежат на искомой линии сечения заданной сферы плоскостью АВС.

На равном расстоянии от экватора, вине и ниже его, проведём ещё две вспомогательные, горизонтальные плоскости R і Т ,

Эти плоскости рассекают сферу по окружностям одинакового ради­ уса (обозначенного на апюре буквой R. ) , которые на горизон­ тальную плоокооть проекций спроецируются в одну окружность.

Плоскость АВС будет пересекаться плоскостями R и Т по

горизонталям 5-6 н 7-8. Горизонтальные проекции этих горизон­ талей (ГПГг в ГПГЬ ) пересекут одноимённую проекцию сечения сфе­ ры зтямн плоскостями в точках I, k , h н m . являющимися горизон­ тальными проекциями точек также принадлежавих сечении. Фронталь­ ные проекціи атих точек найдутся на одноимённых следах вспомо­

лн 5-а.

Точки пересечения фронтальной проекта етой фронтали с од­ ноимённой проекцией упомянутого меридиана - точки | и q ,

являются фронтальным! проекциями точек также принадлежащих ис­ комому сечению. Горизонтальные проекции этих точек найдутся на одноимённом следе плоскости Q. .

Соединив одноимённые проекции найденных точек G.Hj'D.D, F, К,

£ и М плавными кривыми, получаем проекция искомого сечения

(эантрихованнне эллипсы на эпюре).

?лз -

ЛЕКЦИЯ ОДШАДШАЯ

§ 32. Пересечение поверхности прямой линией

Нам ухе давно известен порядок решения задачи по отыска­

нию точки пересечения прямой с плоскостью - наиболее важной

её так, чтобы сечение этой плоскостью заданной поверхности бы­ ло, по возможности, наиболее простым (прямые линии или окруж­ ность).

2. Построить сечение заданной поверхности вспомогательной плоскостью.

3. Отметить точки пересечения одноимённых проекций пост­ роенного сечения и заданной пряыой. Эти точки являются проекци-

яыи искомых точек пересечения этой прямой о заданной поверхнос­ ти.

В случае, если одноимённые проекции сечения и прямой не пересекаются, можно утверждать, что прямая не пересека ■" за­ данной поверхности. Как видим, в решение задач этого типа, в

качестве обязательного этапа входит построение проекций сече­ ния поверхности вспомогательной плоскостью, т .е . задача кото-

- 214 -

рой мы заикыаіись в предыдущей лекции. На рас. ІЭО, представ­ лено наглядное изображение трехтравной прнзны АВС и пересека­ ющей её прямой DE .

Заключим прямую DE в какую-либо плоскость х построим

сечение заданной призмы этой плоскостью Р. Как ухе упоминалось в предыдущей лекции, для втого достаточно найти точка пересе­

Оовериенно аналогичные рассуждения можно провести и для случая пересечения прямой о какой-либо кривой поверхностью.

Так, на рис, ІЗ І. показано построение точек I и 2 пересечения прямой AB о поверхностью цилиндра.

Сначала необходимо построить сечеиие цилиндра какой-либо плоскостью проведённой через прямую AB. Затем следует отметать точки пересечения построенного сечевня о заданной прямой, кото­ рые и будут являться искомым! точками пересечения.

Решим иесхолько задач этого типа.

З а д а ч а

Построить проекции точек пересечения прямой DE. с поверх­ ностью пирамиды ABCS (рис. 132).