книги из ГПНТБ / Даниленко, Д. К. Конспект лекций по курсу начертательной геометрии. Ортогональные проекции

шшшжш

Пересечение поверхностей плоскостью

Последовательно рассмотрим построение сечений плоскостью миогйграяняков > жршвт поверхностей.

5 да. Пересечение многогранников плоскостью

Задача построения проекций сечения какой-либо гранной по­

верхности заданной плоскостью сводится к нахождению точек пере­

сечения рёбер поверхности с этой плоскостью * соединению, в пра­

вильной последовательности, одноимённых проекций найденных точек отрезкам прямых линяй.

На ряс. 123 а, дано наглядное изображение трехгравной приз­ мы пересекаемой плоскостью общего положения р.

Для построения сечения достаточно ивйтя точки пересечения рёбер »той призмы плоскостью Р - точхя I, 2 н 3 я соединять ах между собой отрезками прямых.

Отрезки прямых 1-2, 2- 3 и Э-І - являются линиями пересе­ чения граней призмы с плоскостью Р. Приведённое выше указание

о необходимости соединения найденных точек пересечения в правиль­ ной -последовательности, к заданной трёхгранной призме не относит­

196 -

соединены я в ошибочной последовательности - І - 2~й-3~І, или так І - ч - 2- З - І .

Для того чтобы не ошибиться, следует помнить, что отрезок

прямой соединяющей каждые две точки должен являться линией пе­

ресечения грани призмы я заданной плоскости, т .е . соединяемые точка должны лежать в одной и тойже грани призмы. Только при

этом условии прямая соединяющая их будет стороной искомого се­ чения. Рассмотрим несколько задач на построение сечений много­ гранников плоскостью.

ными проекциями точек пересечения рёбер пирамиды с плоскостью Р.

В проекцію ивой связи, на горизонтальных проекциях рёбер,

находятся горизонтальные проекции этих точек. Для того, чтобы

кости Р, ясно потому, что фронтальная проекция точки лежит на одноимённом следе этой фронталъно-проецмрующей плоскости.

Как известно, все точки этой плоскости проецируются на фрон­ тальную плоскость проекций на фронтальный след.

- 198 -

Фронтальная проекция искомого сечения также проецируется иа этот фронтальный след отрезком прямой - і '- г '- З . ' Чаще всего бывает нужно построить натуральную величину построенного сече­ ния.

перпендикулярных оси вращения. После совмещения, фронтальный след, вместе о лежащими в нем фронтальными проекциями вернив

искомая натуральная величина сечения заданной пирамиды плос­ костью Р.

З а д а ч а

Построить проекции сечения наклонной призмы АВС плоскостью

общего положения О. (рис. 125).

Как уже упоминалось, для решения задачи необходимо найти

точки пересечения рёбер призмы с заданной плоскостью Q . Из­ вестно, что такая задача реиается по следующему плану:

1. Заключить ребро во вспомогательную плоскооть.

2. Построить линию пересечения заданной и вспомогательной плоскостей.

200 -

3. Зафиксировать точку пересечения одноимённых проекций ребра и построенной линии пересечения.

Примем агот план для нахождения точки I - точки пересече­ ния ребра А призмы с плоскостью О ,. Заключаем ребро А во вспо­

могательную фронталъ но-про едируючую плоско оть >5,. точки пересе­ чения одноимённых еледов плоскостей Q и 5 . являются следами ли-

f

инн их пересечения (точки ѵп.и гц ) .

Находим ивдоотаюцие проекции этих следов и соединяя их од­ ноимённые проекции отрезками прямых, получаем проекции линии пе­ ресечения U, N ,- отрезки von .и, и 'w.Vt,.

Горизонтальная проехцня линяя пересечения пересекает едноиг мёякув проекцію ребра А и точке I - горизонтальной проекции точ­ ки пересечения ребра А о плоскостью Q .

Фронтальная проекция точки I найдётся в проекціонной свя­ зи, на одноимённой проекции ребра А. Совершенно аналогично, при помочи Фронтально-проецнруюиих плоскостей <Ьг и •Ь з. находятся точки 2 ч 3 пересечения рёбер В и С о плоскостью Q .

Соединив одноимённые проекции точек I, 2 и Зотрезкамн прямых получаем проекция искомого оечепия. Натуральную величину пост ­ роенного оечення можно определить любым из рассмотренных ранее опособов. Проне всего,пожалуй, его сделать способом оовмечення.

Продолжим горизонтальные проекции сторон построенного ое­ чення - 1-2 н 1-3 до пересечения с горизонтальным следом плос­ кости Q в точках Я и 5, в, враченяем вокруг этого следа, сов­ местим точку I с горизонталью* плоскостью проекций Н. В про­ цессе этого оовмечення, точки А и 5 находящіеся на ооя врвце-

ння не изменяет своего местоположения, я соединив их о совмещён­

- 203 -

Поскольку, заданная плоскость является проецирующей, точ­

ки пересечения образующее конуоас этой плоскостью с проецируются

на фронтальный след Рѵ этой секущей плоскости. Поэтому МОЖНО

утверждать, что отыеченине на эпюре точки і ' и 2* - являются фрон­ тальными проекциями точек пересечения очерковых образующих за­ данного конуса с плоскостью Р.

Горизонтальные проекции этих точек найдутся на одноимённых проекциях очерковых обраауюиих, т е . на горизонтальном диаметре окружности основания конуса.

Горизонтальные проекции точек 3 и 4 пересечения передней

и задней образующих, фронтальные проекции которых сливаются на эпюре в одну точку, непосредственно найдены быть не ыогут. Это объясняется тем, что эти образующие являются профильными прямыми

ІЮжво найти горизонтальные проекции точек 3 и 4, предвари­ тельно построив про , лыше проекции этих точек, но в случае не­ достатка места, эта задача реиается и вращением.

Повернём переднюю и заднюю образующие заданного конуса,

вокруг его оси,до совпадения с правой очерковой образующей, в про­ цессе этого вращенія, точки 3 н 4 будут перемещаться в горизон­ тальной плоскости Q и фронтальные проекции этих точек после поворота, найдутся в пересечении одноимённой проекции правой очерковой образующей со следом плоскости Q, - точки 3,' и 4,л .

Горизонтальные проекции этих точех найдутся, в проекцион­ ной связи, на одноимённой проекции правой очерковой образующей,

точка 3, и 4, .

Возвращая обратным поворотом переднюю и заднюю образующие в походное положение - получаем искомые горизонтальные проек­ ции точек 3 и 4 . Можно решить эту задачу и по другому.