книги из ГПНТБ / Горелик, А. Л. Некоторые вопросы построения систем распознавания

(4.4), иначе обеспечивает минимизацию математическо­ го ожидания расходов, связанных с реализацией процес­ са распознавания.

4.3.ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АЛГОРИТМА ПРОЦЕССА РАСПОЗНАВАНИЯ

Рассмотренные понятия и определения позволяют сформулировать алгоритм процесса распознавания в ви­ де правила последовательного поиска решений, обеспе­ чивающего разработку оптимального плана проведения экспериментов. Смысл подобного алгоритма состоит в том, что он на основе предыстории экспериментирова­ ния, на основе информации, полученной в результате предыдущих экспериментов, определяет оптимальный план дальнейшего проведения экспериментов, определя­ ет все последующие стадии экспериментов, т. е. опреде­ ляет на каждом шаге, какие очередные технические средства должны быть использованы и какие признаки объекта с помощью этих средств должны быть выявлены.

Общая запись алгоритма, обеспечивающего последо­ вательное планирование экспериментов, может быть представлена в следующем виде:

строится с учетом системы ограничений Г.

Наличие в алгоритме zo означает, что окончательное

решение о том, что объект принадлежит к одному из классов Оі, принимается без проведения экспериментов. В этом случае все операции, обозначаемые в алгоритме аі, ..., ßft и Zi, ..., zu, отсутствуют. Если в алгоритме го

отсутствует, то тогда назначается проведение эксперимен­ тов первой стадии щ. Если на основе признаков объек­ та, определенных по информации экспериментов первой стадии, принимается окончательное решение о его при­ надлежности к какому-то классу — Zi(Xai), то опять все

79

чает, что на основе изучения признаков распознаваемого

правилу R, принимается окончательное решение, что

распознаваемый объект относится к определенному клас­ су, и дальнейшие эксперименты не проводятся.

Порядок планирования экспериментов в соответствии с алгоритмом (4.5) схематически изображен на рис. 4.1.

Р и с . 4.1.

80

Из рассмотрения схемы следует, что алгоритм рабо­ тает следующим образом. Пусть па вход системы рас­ познавания поступил объект со и для определения его признака решено провести эксперимент щ (из каких со­ ображений принимается подобное решение будет пока­ зано ниже).

Положим, возможные исходы эксперимента а1— Х'а

и X" . Эти исходы анализируются в блоке анализа ре­ зультатов экспериментов. При этом, если исход X " 0f

то, к примеру, принимается окончательное решение гДХ" ), а если — X' , то принимается решение провести новый эксперимент а2(Х' ). Пусть его возможные исходы X' X" и X '" . Анализ этих исходов может привести, на­

с обратной связью. Действительно, всякий раз результа­ ты эксперимента используются для корректировки пла­ на проведения последующих экспериментов.

4.4.АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА R

Уравнение (4.5) фактически определяет множество всевозможных последовательных правил поиска реше­ ний. В этом множестве нужно определить одно правило, являющееся оптимальным с точки зрения минимизации затрат на проведение процесса распознавания.

Для отыскания этого правила введем в рассмотрение

случае, когда подвергается распознаванию объект ю, для определения его признаков проведены эксперименты а,,

öik с исходами X , Ха и принято окончательной

решение z. Как правило, имеет место такая ситуация,

когда расходы на проведение экспериментов с помощью технических средств Т суммируются и не зависят от

объектов со и конкретных исходов экспериментов Ха .

В этом случае

Здесь Qi — убыток от принятия окончательного решения,

связанного с отнесением распознаваемого объекта со к классу £2;.

Для каждого объекта со и выбранногоДюследовательного правила R величина среднего убытка ÜW{R) равна

математическому ожиданию от величины Сш:

Ош(^) = М[Сш(Хаі...... X ; z(Xa , ..., X )], (4.7)

где математическое ожидание подсчитывается в соот­

тия эксперимента до принятия окончательного решения в алгоритме R. Величина среднего убытка, вычисляемая по возможным цепочкам исходов алгоритма R, оканчи­ вающимся принятием окончательного решения z, может

быть определена иначе на основании следующего вы­ ражения:

82

следующим образом:

(4.9)

В выражении (4.8) п — число всевозможных цепочек

развития экспериментов. Поскольку алгоритм (4.5) дол­ жен носить массовый характер и заранее неизвестно, какого класса объект будет подвергаться распознава­ нию в каждой из конкретных ситуаций, величину убыт­

ка Um (R) следует усреднить с помощью априорной ве­

роятности появления объектов соответствующих классов Р(Пі) и каждый алгоритм характеризовать величиной

(4.4)

т

£МЯ) = Е ÜJR)P(Qt),

;=1

где Up(R) — функция убытка (функция риска).

Теперь появляется возможность, подобно тому как это осуществляется в теории последовательных стати­ стических решений, методологические вопросы выбора приемлемого правила поиска последовательных решений рассматривать как игру двух сторон с функцией убытка Up(R). В качестве одной стороны выступает наш «веро­

ятный противник», чистыми стратегиями которого явля­ ются все объекты со из Qt-, в качестве второй стороны — система распознавания, чистыми стратегиями которой является совокупность последовательных правил R из Rr . Это, в свою очередь, позволяет рассматривать во­

просы существования чистых минимаксных стратегий, смешанных минимаксных стратегий и байесовых страте­ гий. Следует отметить, что класс байесовых страте­ гий оказывается в некотором смысле полным, т. е. для любой небайесовой стратегии найдется лучшая (или, во всяком случае, не худшая) байесова стратегия. Исходя из этого, в дальнейшем будем придерживаться именно байесова подхода к решению задачи.

Оптимальным байесовым последовательным прави­ лом назовем такой алгоритм R, который минимизирует

Up(R). Это означает, что UV(R) ^ U P(R) для всех воз­ можных алгоритмов R e Rr. При реализации системы

распознавания целесообразно использовать оптимальные байесовые алгоритмы. Принципиальная возможность построения таких алгоритмов, рассчитанных заранее до начала функционирования системы распознавания, опре­ деляется рекуррентными уравнениями для так называе­ мых функций риска [12].

Введем в рассмотрение следующие три определения.

Определение 1. Риском прекращения эксперимен­

вероятностей объектов, которое вычисляется с помощью формулы Байеса по априорной вероятности появления объектов данного класса Р(£2і) и априорным вероятно­

стям вида

Частным случаем риска прекращения экспериментов

после цепочки исходов (Ха ,..., Ха ) является риск при­

нятия окончательного решения без проведения экспери­ ментов р°, который равен

Р° = min £ Сш(г) Р (Оі). Z^ z 9.г

Определение 2. Риском продолжения эксперимен­

тов после цепочки исходов Х„,..., X назовем величину

а,

Здесь inf берется по всевозможным последовательным правилам R (X a,..., Ха ), которые в соответствии с си-

84

Необходимо заметить, что величина риска прекращения дальнейших экспериментов определяется расходами на проведение всех предыдущих экспериментов и наимень­ шими потерями, которые несет система распознавания от принятия окончательного решения о принадлежности распознаваемого объекта к соответствующему классу.

Величина риска продолжения экспериментов после проведения опытов с исходами ХЯі, Ха определяется

расходами на дальнейшее проведение экспериментов (k+l)-H стадии, спланированных на основе оптималь­

ного последовательного правила R. В связи с этим спра­

ведливо следующее рекуррентное уравнение.

(4.13)

(4.14)

представляет вероятность исхода Ха .

При планировании процесса распознавания количе­ ство стадий экспериментирования, можно ограничить некоторым числом N. Тогда для любой цепочки экспери­ ментов х аі, ..., x aN

венства позволяет на основе использования рекурсии от N к N — 1, N — 2 и т. д. и данных о значениях р° после каждой стадии проведения экспериментов от 1- до N-й,

восстановить значения функций риска р(Х^.......X ) и

85

—т

функции риска продолжения экспериментов р ( Х а1, ..., Х аft)

соответствии с (4.12) определяется значение p(Xaj, ..;

■•■>XaN ,)• Это, в свою очередь, на основе уравнения

(4.13) позволяет определить р (Хаі, ..., Ха^ 2). 7Ѵ-кратное

повторение описанной процедуры расчетов позволяет оп­

ределить значения р (Х^, ..., Х ^ _ з), ?{Хаі, Xa#_J, и

т. д. вплоть до риска проведения экспериментов первой стадии.

Определение значений функций риска продолжения и прекращения экспериментов после каждой стадии по­ зволяет осуществлять оптимальное последовательное планирование проведения экспериментов, а именно:

86

Порядок управления экспериментами (до тех пор, по­ ка их выгодно продолжать) определяется с помощью

функции риска продолжения экспериментов р(Ха*, ..., Х ак),

ются значения рисков прекращения экспериментов после

2.Из физических соображений определяется предель­ ное количество стадий экспериментирования, т. е. вели­ чина N.

3.На основе рекуррентного уравнения (4.13) рассчи­ тываются значения рисков продолжения экспериментов

для всех стадий от (N— 1)-й до 1-й.

4. На основе сравнения величин р° и р для всевоз­ можных исходов экспериментов определяется оптималь­ ное количество стадий экспериментальных работ.

Рассмотрим на конкретном примере порядок опти­ мального планирования процесса распознавания.

4.5. ПРИМЕР

Положим, что в системе распознавания, предназначенной для распознавания объектов ш, принадлежащих одному из двух классов ßi или й 2, следует реализовать оптимальное планирование экспери­ ментов. Пусть априорные вероятности появления объектов соответ­ ственно равны: Р (йі)= 0,6 и Р (й 2)=0,4. Будем исходить из того, что признаки объектов тр и гр дискретны и могут принимать значения:

87

При этом положим, что вероятности отнесения со к Qi, і= 1, 2, в за­ висимости от значений признаков X j , / = 1, 2, равны

При этом апостериорные вероятности отнесения объекта со к Qi классу после проведения экспериментов второй стадии в соответ-

88