книги из ГПНТБ / Горелик, А. Л. Некоторые вопросы построения систем распознавания

Тогда вероятность ошибки первого рода, то есть ве­ роятность ложной тревоги, равна

чину среднего риска. Для этого необходимо так выбрать RSi и R чтобы интеграл 'принял наибольшее отрица­

тельное значение. Это достигается тогда, когда подын­

кой области, где подынтегральное выражение отрица­ тельно, т. е.

С2Р (ІІ)/2(ХЬ ..., XN) - C i P ( l ) h ( X b ...,XN)<0. (2.48)

Решающее правило, обеспечивающее в среднем наимень­ ший риск, состоит в следующем. Распознаваемый объ­ ект со, признаки которого, как установлено в результате

39

относятся к классу Qi, если

в противном случае — к классу Пг-

2.4. МИНИМАКСНЫЙ КРИТЕРИЙ

При построении систем распознавания возможны такие ситуации, когда априорные вероятности появления объектов соответствующих классов неизвестны. Миними­ зировать средний риск принятия решений на основе бай­ есовой стратегии в этом случае нельзя. Применительно к этой ситуации рационально использовать такой крите­

рий, который обеспечивает минимум максимального среднего риска. Этот крите­ рий получил название мини­ максного критерия.

Суть минимакса состоит в том, что решение о принад­ лежности неизвестного объ­ екта к соответствующему Классу принимается на осно­ ве байесовой стратегии, со­ ответствующей такому зна­ чению Р(І), при котором средний риск максимален.

Покажем преимущество минимаксной стратегии по сравнению с другими возможными стратегиями, когда

неизвестны значения Я(Й,), i — I, ..., m. При наличии

двух классов величина среднего риска, как известно, равна

большего значения при Р ( I) = Р '( І ) . Этот риск представ­

ляет собой максимальную величину минимального байесового риска. Обозначим его через С™*. Применение

40

В заключение отметим, что минимаксная стратегия есть байесова стратегия для наихудших значений апри­ орных вероятностей, дающая хотя и осторожную, но га­ рантированную величину среднего риска.

2.5.КРИТЕРИЙ НЕЙМАНА — ПИРСОНА

Внекоторых системах распознавания могут быть не­ известны не только априорные вероятности появления объектов соответствующих классов, но и цены ошибок.

Вподобных системах це­ лесообразно воспользо­ ваться критерием Нейма­ на — Пирсона. Суть это­ го критерия состоит в

следующем. Определяет­ ся допустимое значение вероятности ошибки пер­ вого рода Qi (ложная тре­ вога), а затем находятся такие решения, при кото­ рых вероятность ошибки

симизируется вероятность обнаружения цели при задан­ ной вероятности ложной тревоги. Итак, пусть из какихлибо соображений принято, что Q ^ H .

Требуется определить решение Х0 задачи

X

minQ2=m in Г f2(X)dX

X X J

ФО

при ограничении вида

со

Qі = f f i ( X ) d X ^ A .

X

Очевидно, что решение Х0 удовлетворяет уравнению

00

J h ( X) dX=A,

Хо

так как при выборе

42

любого другого значения Х'о>Ха ошибка Q2 растет. Выбрать же Х'0-<Х0 нельзя по условию задачи.

В заключение рассмотрим геометрическую интерпре­ тацию названных критериев. Для этого в координатах £>2= 1 —Qnp и <2лт изобразим так называемую рабочую

характеристику (рис. 2.4). При построении рабочей ха­

к рабочей характеристике при Я = Я0Поэтому для крите­ рия Байеса на рабочей характеристике найдем такую

Теперь ордината этой точки определяет вероятность правильного решения, а абсцисса — вероятность ложной тревоги. Для минимаксного критерия необходимо учесть, что производная от среднего риска по априорной веро­ ятности в точке максимума равна нулю.

43

Проведем на графике эту прямую (AB). Координаты

точки пересечения этой прямой с рабочей характеристи­ кой определяют QnT и Ь2=И— Qщ, для минимаксного

критерия. Тангенс угла наклона касательной в этой точ­ ке равен ко-

Взаключение следует отметить, что -применение ме­ тодов теории статистических решений ограничивается не­ обходимостью знания законов распределений, а также затратами значительных объемов памяти и времени при их машинной реализации.

2.6.ПРИМЕР

Вкачестве иллюстрации рассмотрим пример технической «диаг­

ностики» редукторов. Будем полагать, что изменение интенсивности звука работающего редуктора во времени представляет собой слу­ чайный стационарный эргодический процесс и нормированная кор­ реляционная функция этого процесса может быть аппроксимирована

уравнением вида р (т) = е — cos ßt.

дукторов типа В — параметр ß. Состояние редукторов типа С опре­ деляется значениями двух параметров а и р . Пусть у редукторов всех типов параметры а; ß; а и ß соответственно подчинены нор­ мальным законам ‘распределения. При этом у редукторов типа А первое состояние характеризуется следующими значениями матема­ тического ожидания и среднеквадратического отклонения:

Определим на основе стратегии Байеса критическое значение па­ раметра а для редукторов типа А, полагая, что априорная вероят­ ность первого состояния Р (І)=0,6, второго Р (П )=0,4 и стоимость ошибки первого -рода (принять исправное состояние редуктора за

44

-неисправное) в пять раз меньше стоимости ошибки второго рода (принять неисправное состояние, редуктора за исправное), т. е. Сг= = 5Cj.

Критическое значение коэффициента правдоподобия равно

Подставляя значения та и о0, подучаем

0,625- Ю -Ѵ — 0,06IO“ 4« + 6,8- ІО-8 = 0.

Откуда а0 = 0,083 [1/с] и, значит, если <х«^а0, то редуктор типа А исправен, при а За а0 — неисправен.

45

—00

46

или

= 0,05; = 0,01. И, наконец, состояния редукторов типа С опре­

деляются следующими двумерными априорными законами распределе­ ний:

С учетом принятых ранее априорных вероятностей состояний и риска ошибок уравнение областей в пространстве (а, ß) первого и второго состояний определяется следующим уравнением эллипса: (а—

—0,03) 2/0,081 + (ß + 0,07) 2/0,09 = 1.

47

На рис. 2.7 представлены области r \c ^ и R2C^, соответствующие пер­

2(іС) — Я /{С)(ос, P)rfadß^0,037,

4 С)

Q(2c >= jJJ f p (а, Р) * 4 = 0 ,0 1 2 .

щ

Мы рассмотрели вопросы классификации редукторов типа С при отсутствии корреляции между признаками а и ß. При наличии корре­ ляции между величинами а и ß, характеризуемой коэффициентом

е ' [ с ] ф [ ?/ с-7

корреляции г, законы распределений /і<с>(а, ß) и U(c>(a, ß) приобретут следующий вид:

лены области первого и второго состояний редукторов типа С при различных значениях коэффициента корреляции: г—0,1; 0,2 и 0,3.

48