книги из ГПНТБ / Горелик, А. Л. Некоторые вопросы построения систем распознавания

рованные

значения

истинности элементов А\,

А„

как булева функция f(Ah .

. Ап) = I.

Множество всех

типов объектов (явлений),

принад­

лежащих

каждому

классу

<Pj(Kl,

, К т ),

определяется

суммой импликант 2 j

f ’ (Л,,..., Лп),

записанной

в совер-

“j

нормальной форме.

Если задать

шенной дизъюнктивной

вероятности г *з появления

ооъектов

различных

типов ocj

внутри каждого класса

ф;(Ді, ... , К т ) , то величины рц

можно выразить следующим образом:

Ра = S

р \9і I

Г/ {А,, .. . , Ап)\

(6.49)

а1

Kj — Сц Різ

^yv+i./M

S Ріо 1—

i=1

\

1=1 /

; Сд,+1 ;-+ 1] Рц (Cij — C(V+I p

(6.50)

я ~

И

=

/=і

= I Q A +Ij, +

І

І QjPij {Рц - c N+].) (6.51)

/=1

/=і

i=1

.. Ап и, следовательно,

значениями вероятностей

<?г ( 1I 1) , <7г (О I 1), <7і(Х I 1),

(0 |0) , Ці( 1|0) , <7г ( X |0) Либо

деляются вероятностями

Qj и стоимостями Сг-,-,

і

’

-[•Аі - А з ) - \ - К і - Кг • Кз- (Аі ■А з А - А і • А і ) А~

А-Кі • Кз - Кз - (Аі • Аг • А зА-Аі • Аз ■А і )

-f~К 1 • Кг - Кз - А 1 • Аг - Аз - А і = I.

(6.52)

фі= Лі • К г • К г ,

Ср2 = -ÄT1 • К г ■К з,

у 3= К і - К г - К з ,

ф4= ^і - К г - К г .

(6.53)

Допустим

далее,

что элемент А і обозначает

высказывание:

«Истин­

ное значение Хі

измеряемого

параметра

Х і

принадлежит интервалу

(а., ß;)».

т. е.

Ai = {xi^(ai,

ßi)},

i=

1, 2,

3, 4,

(6.54)

А і = {хі^ ( уі,

6і)}, і= 1,

2,

3, 4,

причем отрезки

(at-, ßi)

и (у,-, 8j)

не имеют общих точек (рис. 6. 6)

<

А

П

К

— I— I---------1— I—

j— I------- 1—I---------►

a i

ßi

Гі

âi

xi

Рис. 6.6.

Измеряемые

параметры Х і

можно представить в виде суммы

двух величин Хі и х'і :

= Хі + х'і,

‘(6.55)

Х і

hi (х'і) = (l/V 2not) exp {— (x'i)2/2a? },

(6.56)

Обозначим через a'и ß'i границы некоторого интервала, охва­

тывающего

(di,

ßi),

а

через

у',-,

6'; — граничные

точки

другого

интервала,

включающего

(уг, бі), как

показано

на

рис.

6.6,

и

при­

мем следующее решающее правило: будем считать,

что X i^ (a u

ßi),

если измеренное

значение

X i^(a'i,

ß'i), и л ^ е (у и

бі),

если изме­

ренное

значение

Х і & ( \ ' і,

б',).

В

соответствии

с этим

правилом и

(6.55),

(6.56)

найдем

<7і

(і|і) =

Р № е ( « ' і ,

Р \)І * 4е К ,

Pt)} =

ß</

Гі

\

—l

I

ѵ

П

j

“ p

(l -

ldl

ä* -

dt,

(6.57)

X

где Ф (х) —

dt есть функция Лапласа.

Точно так же

<

М 1

)0= - P|

{ x t f = { 4 ' t ,

«

\

)

S' .

[к -

-

!

fl Г

~ 2 ( ß ( - a t ) " J

[ Ф Ѵ И 2

1't

<?.(XI O

-

^

g K . .

Р \М чг\ ,

e '()|xt e ( a 4.

Pi)} =

----- 1 - ^

( 1

I l ) - < 7 t

( 0 | 1),

где члены (a't , ß'4),

( y' 4,

S'4)

обозначают

внешние части отрезков

(a'4,

P't),

(y'i> 3 '4).

Аналогично

<7( (ОI 0) =

P (A't e

(Y't,

3'4) IXj S

(ft.

8t)} :

5' .

Ф h — f

Ф f-<i — t

2(»t-Yi)

J

dt

V У 2

di ( 1 I 0) = P №

e

( a ' i , Р ' г ) | Х 4 е ( Т г . « i ) } =

1

(6.59)

ф ( ф8 = ± ) - ф ( ^ = 1

dt

2 ( S 4 —

Yi)

T't

\у 2 о 4

;

\ V'2 a4

<?t (X I

0) =

Я (ДГ* e

(a't. Р ' г М т ' г .

з

\ ) | х 4 е

( т 4 .

«t)}=

— 1

Qi (0 ] 0)

<7г

(1

10).

При

заданных

ßo

у>>

öi

мы можем

варьировать

значения а';,

ß't.

у'<,

6'і

с

таким

расчетом,

чтобы

вероятности

дг(111 ),...,

. . . ,

(X 10)

соответствовали экстремальному

значению показателя

эффективности системы

распознавания.

фі,

ср2,

фз, Ф4, заданных

Найдем

первые

импликанты функций

[ЫЙ базис

Ьх Иь Аг, Аз

/

А,

1

1

0

0

1

0

I

а 2 1 X

X X

0

X

1

A s X 0

1

X

1

0

1

(6.60)

А4 0 X

X

1

X

0

1

К,

1

1

0

0

0

0

0

К2 0

0

1

1

0

0

0

Кг

0

0

0

0

1

1

0

Совершив переход от базиса

&х [Ль А г ,

А 3,

Л4; К і ,

К г , Кз] к базису

Ьс[Аі,

А г , A

3,

At;

Кі, К г , 7?з],

получим

#Лі = 0101

0101

0101

0101

# Л 2=0011

ООП ООП ООП

# Л 3 = 0000 М 11

0000

1111

# Л 4 = 0000 0000

1111

1111

(6.61)

#Кі=0101 0001 0101 0000

# Кг= 0000 1010 1О10

1010

=Н=/Сз= 1010 0100 0000 0100

Последние три строки базиса (6.61) являются изображающими чис­

лами

функций К і ( А і ,

А г, А з ,

Л4),

К г ( А і ,

А г , А з ,

Л4),

К з ( А ь А г ,

А з , А і )

относительно полного

стандартного

базиса b{Ait

А г ,

Л3,

Л4].

Переходя от изображающих чисел к функциям, найдем

Лл = Лі-Л2 -Л4 + Лі-Лз, К г = А і - (Л3 +Л4 ),

К з = А 1 ■А г

•ЛзтрАі •Лз • Л4.

(6.62)

Так как К і - К г =

0, К і

■К з = 0 ,

К г - К з = 0,

то, следовательно,

также

I ~ К I •

г - К $ ~ А ! ■А% • А Q

А 1■Л з ,

3

¥ 2

Аі ■Кг-Кз

=

Аі ■А 3 ~І~ А і -Л4,

/(6.63)

?з — К і - К г - К з = Л, • Л2 • Л3

А 1 ■Л3 • Л4,

I

и, кроме того

(рі=Кі ■Кг - Кз—Аі ■Аг ■А 3 • Аі.

импликант функций

ср,

Заметим,

что

для

определения первых

можно было бы воспользоваться базисом

(6.60), не

переходя к

со­

кращенному базису (6.61), что

особенно

существенно при большом

числе элементов Л4. Покаже^м, например, как найти первые импли-

канты

функции срі= Кі • Кг ■Кз.

Найдем

отрицание cp4:

О ,

фі — Кі + Кг + Кз.

С колонкой

Кі

отвечающей Кі,

сравнимы пять последних пра­

К г - —>-Л1 ■Лз+Л1

• Л4,

К з —>-Л1 ■Лг■Лз'+Лі • Лз • Л4

(6.64)

Откуда

следует К і + К г +

Кз-—М і+Л2• Л3+Л3• Л4; после

обращения

этого соотношения

А і - ( А з + А г - А і ) — ^ К і - К г - К з .

(6.65)

Левая

часть (6.65) совпадает

с правой частью первого

соотноше­

ния (6.62).

1 3 ^ 4 5 2

193

<Pi =

A i - A 2 - A 3 - / i - ^ - A 1 - A 2 - Ä3 - Ä t A~ А у-Â 2 -Я 3- - \ -

+ A I-Ä2- Â3-Ai + A 1-A2-Ä3-Ait

?2 =

Ai -Л2 ■A3 ■Ä\ + Âi ■А 2 • A3 ■A,i -)- Л, • Ä2 ■A3 ■А t -|-

+ Äx ■A 2-A3- A.i -f Д, ■Ä2- А3-Аѵ-f Д, -At -Д3- Д4,

(6.66)

f 3~ Аі-Л2-А3-Лі -1-А,-/2-А3-Аі -}-Л1-Лг-Л3-Лі +

~b Äi -A2 ■A3 ■Ä4,

¥4 —Ai - A 2 • A 3 - A4.

Каждое слагаемое в(6.66) соответствует конкретному типу f

объ­

f\ = Д ,-Д 2-Д3-Д4.

(6.67)

Найдем [вероятность P (y ,|/J),

с которой

объект (6.67)

будет

отне­

сен при распознавании к классу фі. В соответствии с

(6.63)

выпи­

шем полный

набор импликант функции

фі = Кі • Кз • Кз'. Аі- Аг-Ас,

А і ■А 2 - A 3 - А 4;

А і -А%-Аз • Ab,

Аі • Аз',

Аі - Аг - Аз \

A i - А з - А з',

А і - А з - А і ', А і ■А з - А і ;

A i ■Аз ■Аз • Д4; А і • Аз ■А з • Д4,'

А і - Л з - Я з - А і .

(6.68)

ВероятностьЯ ( у ,|/{ ) равна вероятности оценитьпризнаки

объекта

f{ = А,- А2-А3-Л4 как какую-либо импликанту из набора

(6.68),

т. е.

Ри = р Ыі\)'>

Ріг =

4 ~ Y j P Ы f ' );

Pii = " F

S

f2 ).

a=l

a=l

4

/

4> 3 =

і 4 =

Я

( ?

4

| ^ ) .

cc—I

Величины средних

условных выигрышей на одно решение

определя­

ются следующим образом:

4

5

/?і — С51 +

5

51

■

І—I сс=1

4

6

^2 -- ^52 +“Г

6

Y j

( С ^ - С „ ) Р ( Ь \Г2).

і — 1

а.— 1

»Т

4

4

4 5] 5 ] ( С‘з- С 5з)Р (¥і |^),

R3 —■С 53 +

і=1

а = 1

Я4 --С54 +

(Сі 4

С5 4 ) Р (<Рі I /4 ),

где, как и раньше, С15-,

/, j — 1, .... 4 — размер выигрыша,

когда

объект /-го класса принимается за объект і-го класса, а

C5j — раз'

мер платежа, когда об объекте /-го класса не принимается никакого

решения.

средний выигрыш ■на

одно решение

И, наконец, безусловный

выразится как

Я = -

^

c5j + ~

5 ]

ПГ (с* > -с51) ^ Я Ы П ) -і-

/=1

г=1

6

а—1

+ 4 - ( С « - С м) J]p(Ttlf2) +

+ 4 -

-

с 5з) ) ]

Я (»11/з) + (Ct4 -

С 54) Р (Vi I f\

)

(6.71)

Как

мы

отметили, величина

Р существенно

зависит

от значений

а'і,

ß'i,

у'и

M’, (=1, .... 4,

входящих

в

вероятности

</,(1|1), ...

. . . .

<71(X 10), определяемые

по формулам (6.57)—(6.59). Парамет­

ры а'і, ß'i,

у ' і , б',- могут удовлетворять условиям вида

Hi (а'і,

ß'o ѵ'і, 6'і) ^ С і,

Я 2(а'і,

ß'i,

ѵ'ь

6'i)s£ C 2 ....

(6.72)

где

Ci,

С2, . . . — заданные постоянные,

которые имеют

смысл

огра­

чению ft (/С,, ..., Кт) при фиксированном

типе

объекта

а .

а.

| f.3);

разделив

/

можно определить вероятность Р (<р2

Р(9г \ f . i ) ^ N * 3INa\

(6.73)

Число испытаний

необходимое для того,

чтобы вероят-

ность отклонения оценки величины р — Р

а .

| / ’) от точ­

1—е, определяется по формуле [18]:

К х Р { 1 —Р)/г02,

(6.74)

Карло в рассматриваемой задаче служат:

Л„;

1.

Таблица сокращенного базиса

6С=[ЛЬ ...,

К\, .

. Кт], в которой представлены

различные

типы

зрения

системы

признаков

Ль ..

А п и

элементов

Кі, .. .,

Кт можно рассматривать как определенный тип

а .

рассматриваемое

объекта f 1 (Ль ..., Ап), входящий в

множество.

2. Значения вероятностей

^і (1|1),

^і (0|1),

^і ( Х|1),

*7г (0 10),

<7t(l|0),

<7г ( X 10),

характеризующие

условия

дения решения ср(/Сі, ..., К т ) системы

булевых уравне­

ний:

К {А,.......Лп; K lt...,Km)= 1,

(6.75)

7 (Л ,,..., л п) +

<р(/с,...... кт) —I,

где функция £(Л,-; Kj)

представляет наложенные на эле­

менты Лj и Kj связи, а /(Ль . .., Ап) —

функция, опреде­

ляемая в результате опыта.