
книги из ГПНТБ / Горелик, А. Л. Некоторые вопросы построения систем распознавания
.pdfАнализируя текст, легко непосредственно убедиться в справедли вости следующих зависимостей:
Ьз • Т3 • Аі-—>-із, Ъз • Тз •Л2— >-Із • /і, Ьз • Тз ■(Лз + Л4)— *-t3,
|
( Т 3 - І- Т 2 ) • |
|
A ß - j - L 3 • А т L 3 - А з ) — y t s |
■1, / |
|
Т3-Л9— >-/2, |
Т2*Л9— |
Тз’ Ѵ ' А ю — *~tz *k, |
|
||
|
j |
Т3-ѵ ■Ащ - L 3 - А ц • A i s t 2 • k-V, |
|
||
|
1 T2 |
А iQ- L'3 ■A xl - A 12 —* t3 - k - v , |
|
||
L 3 ■As |
■k. |
|
|
|
|
Представим данные связи в форме соотношений эквивалент |
|||||
ности: |
^з + Г з + Л ] + ^з = І, |
|
|||
|
|
||||
|
Тз + |
Т 3 -f- Ä2 + |
t3 ■l\ = I , |
|
|
|
Т3 + Тз + Л3 • Л4 + t3 = I , |
|
|||
|
Т 2 ’Тз + Л5 • Л6 ■(L3 + Л7.Л,) + /,-/, = І, |
|
|||
|
Тз + |
Л9 + |
t2 — I, |
(6.33) |
|
|
Тг + |
Л9 + |
^1= |
І, |
|
|
|
||||
|
Т з + У + Л10-|-^2-& = 1 > |
|
|||
|
Тз + |
Ѵ + |
Л10 + |
Т3 -j- Лп + Л]2 + t2 -k -v=l , |
|
|
Г2 + У + Л10-|-Тз-[-Лп +Лі2 + ^і-k-v=\, |
||||
|
Т13 + Л8 + v-k — I. |
) |
|||
Перемножив |
первые четыре |
соотношения (6.33), в |
которые входят |
только признаки Аі, . . . , Л8, связанные с морозной погодой, по-
лучим |
_ |
_ _ _ |
_ _ _ _ |
_ |
|
із •7і+ Т3 • Л |
5 • Лб+ Т2 • ТзА-Аз • А в - Аі • Ag • (Тз+ |
||
|
+7з-Л 2+ Л і-Л 2-Л з-Л 4) = І . |
(6.34) |
Для того чтобы сократить число исходных зависимостей, перемно жим некоторые из оставшихся соотношений (6.33). При перемноже нии пятого и шестого соотношений получим
|
А 9+ Т2 • Тз +Тг • ^2+ Т3 ■ti = I, |
(6.35) |
||
произведение седьмого, восьмого и девятого соотношений |
(6.33) |
|||
дает |
_ _ |
_ |
_ |
|
|
V + A 1 0 + T 2 • Т з А Т 2 • 12 • k •ѵ + Тз • ti •k ■ и 4- |
|
||
|
+ (Т3 +Л1 1 |
+^4іг) • (Тз+ /2 ‘£)= і. |
(6.36) |
Последнее (десятое) соотношение (6.33) умножим на левую часть соотношения (6.31), получим
K - L s - ( L i - L z + L i ■Ь 2) + L i ■L z -Ьз ■(Л8 |
+ у • k ) = l . |
(6.37) |
|
И, наконец, перемножив соотношения |
(6.28) и |
(6.35), будем |
иметь |
ti • Tz • ti ■Ті • Тг • ТзА-ti • t2 • Тз • Ті • Т%• ТзАІі • t2 • Тз • Ті • Т2 • ТзА |
|||
+ 71 • tz • Тз • Ті ■Т2 • Т3 А А 3 ■(Ті • tz • Тз • Ті • Tz • Тз + |
|
||
+ П • Тг • t3 • Ті • Тг • Тз+ ft • Tz • |
• Т\ • Тг • Тз) = J. |
(6.38) |
12* |
179 |
После всех этих предварительных построений поставим следую щую задачу: зная текущее состояние погоды, характеризуемое зна
чениями |
истинности элементов |
7Т, Т 2, Т 3, |
L i , |
L 2, L 3, |
К , V , |
и учи |
||
тывая |
признаки А 1, |
А і 2 , |
определить |
на |
основе |
соотношений |
||
(6.34) |
и |
(6.36) —(6.38) |
булеву |
функцию f(ti, |
t2, t3, U, |
i2, l3, |
k, v), |
|
которая |
может рассматриваться при данных |
условиях как |
истин |
ная. Решение этой неоднократно встречавшейся нам ранее задачи
сводится |
к |
построению сокращенного базиса |
6Х [Л4........... А і2, |
Ті, . . . , |
к]. |
Легко видеть, однако, что предварительно перемножив |
|
соотношения |
(6.34), (6.36) —(6.38) и представив |
их в дизъюнктив |
ной нормальной форме, мы получили бы в данном случае неоправ данно большую по размерам таблицу. Резкое возрастание количе ства колонок таблицы сокращенного базиса при увеличении числа соотношений вида (6.33) связано со слабой логической зависимостью признаков А і.
Для того чтобы уменьшить влияние фактора размерности в этой и в подобных этой задачах, мы можем изменить последова тельность операций, связанных с нахождением решения. Именно,
подставим вначале в булевы функции (6.34) |
и (6.36) —(6.38) |
извест |
||||||
ные |
значения |
истинности элементов |
Т і, |
Т 2, |
Т 3, Li, t 2, L 3, |
К , V |
||
и /1і, |
.. ., А і2 |
и после этого перемножим полученные соотношения. |
||||||
В общем случае могут быть известны значения истинности не |
||||||||
всех |
элементов |
А і, . . . , |
Ä S2. Тогда |
для |
нахождения решения |
|||
|
|
f(t 1, |
t2, t3, h, l2, |
/з, |
к, |
t))= I |
|
необходимо составить логическую сумму всех тех функций /, ко торые получаются при всевозможных комбинациях значений истин ности неизвестных элементов А и Например, предположим, что текущее состояние погоды в мо_мент, когда производятся наблюде
ния, задается |
функцией |
Т 3 ■L i • V ■К = I, и, |
кроме |
того, |
установлено, |
|||||
что Аі ■А2 = і . |
что |
Li = L 2 - L 3, Т 3 = Т \ - Т 2, |
умножим |
левые части |
||||||
|
Учитывая, |
|||||||||
соотношений (6.34), |
(6.36) —(6.38) на |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Тi -T2 -T3 -Li -L2 -L3 -V-К ■Аі- А 2— \. |
(6.39) |
||||||
В |
результате^ |
получим |
t3-h = \, |
Ак> + 12 ■k ■(v + Ä u + Ä i 2) =1, |
||||||
ti- |
(t2 ■t3 + Ac, • t2 • t3) = |
\. |
|
|
|
найдем |
||||
|
Перемножив |
левые |
части этих соотношений, |
|||||||
и, |
следовательно, |
А э • А іо • І і • t2 • tз • /і — I |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
f(h, І2, t3, |
lu h, /з, V, |
k ) = t 3 -h. |
|
(6.40) |
Таким образом, на следующий день ожидается ясная морозная погода. Кроме того, на основании соотношения (6.40) можно утвер
ждать (хотя это нас и не интересовало), |
что в момент наблюдения |
за текущим состоянием погоды оконные |
стекла не запотели, а дым |
из печных труб поднимался вертикально вверх. |
Покажем |
те'перь, |
каким образом |
можно применить изложенные |
в §§ 6.2, 6.3 алгоритмы для решения данной задачи. Представим |
|||
соотношения |
(6.34), |
(6.36)—(6.38) в |
виде таблиц, пронумерованных |
теми_ же |
цифрами _34,_36—38, |
а данные |
(6.39) о состоянии |
погоды: |
|
7Т • Т 2 ■Т 3 • Ьі ■L 2 • L 3 ■V ■К ■А і ■А 2 = I — запишем |
в виде |
табл. 39 |
|||
на рис. |
6.2. При этом для |
упрощения |
записи |
условимся |
считать, |
180
- о оо о —
—о о
—о о
0 —0
Рис.
о—
о о о о о ~ о о
Признаки
181
что пустые разряды колонок в таблицах соответствуют неопределен ным значениям истинности элементов, которые мы в § 6.2 обозна чали через X. Сравним столбец табл. 39 со столбцами табл. 34, 36—38 по правилам, приведенным в § 6.2.
Отбрасывая столбцы, несравнимые с крайним правым столбцом, получаем усеченные таблицы 34', 36'—38', представленные на рис. 6.3. Перемножив эти таблицы по правилам, которые использу ются для построения сокращенного базиса, мы получим новую
Рис. 6.3
табл. 40, состоящую в рассматриваемом примере из одного столбца. Искомое решение представляет собой значения разрядов этого столбца от ti до о и интерпретируется так же, как и в (6.40):
i l -?2, ^3’L= ^3'L==I.
Составив табл. 34, 36—38 и задав правила вычисления решения
f(ti, h, |
h, h, |
h, k, v), мы построили систему распознавания, |
||
которая |
может |
определять погоду на |
завтра, опираясь на признаки |
|
Т1, Т2, Т3, Li, |
и , L3, К, |
V и Аі, . . . , |
Лі2. Данная система содер |
|
жит 28 элементов, она легко может быть реализована на ЭВМ. |
||||
При |
рациональной |
организации |
вычислительной процедуры |
(отказавшись от предварительного построения сокращенного базиса)
182
Проблема расширения системы распознаваний За счет привлёченйй дополнительных признаков и наложения новых связей решается сравнительно просто.
Рассмотрим, например, продолжение приведенного выше текста, также описывающего погоду в зимние месяцы [20]: ... «Теперь морозы будут стоять долго, до самой весны. Но что это? ... Еще вчера не было ни ворон, ни галок. Вороны и галки где-то прятались от холода, но сегодня они вдруг собрались в стаю и с криком носятся над деревьями. Запомни: зимой галки и вороны собираются в стаи и летают с криком только перед сильным потеплением ...
Холодный северный ветер вдруг стих, куда-то улетел, на юге по казалось к вечеру темное тяжелое облако и от него пришел еле заметный теплый ветерок. Теперь твердо можешь сказать, что завтра утром станет тепло, что северный ветер с жестокими холо дами вернется не скоро, снег станет мокрым и можно будет лепить
снежные бабы». |
|
|
|
|
Введем следующие новые высказывания: |
криком |
носятся |
||
А із — вороны и галки |
собрались в стаю и с |
|||
над деревьями, Ли — на |
юге показалось темное |
тяжелое |
облако. |
|
В соответствии с приведенным описанием и сделанными ранее |
||||
допущениями должны выполняться соотношения: |
|
|
||
Тз -Аіз—>Тг, |
Тз-Аіз—^ti, |
|
|
|
К * Т з * Л і4 — >Тг, |
Ѵ ' Т 2 ' А ц — >-ti, |
|
|
|
или в другой записи |
|
|
|
|
T3+ Ä l3+ t2 = l, |
7'г+Л із + ti = I, |
|
|
|
V+T3 + Ä u + t2 = l |
Е+7,2+Лі4+^1:= і. |
|
Перемножив эти соотношения, представим их в виде одного ра
венства: |
_ _ |
_ |
_ |
_ |
(6.41) |
|
Тг-Тз + Тг-к + Тз-ti+V ■Аіз + Аіз-Аи, = \. |
Запишем соотношение (6.41) как табл. 41 на рис. 6.4. Если теперь увеличить количество разрядов в столбцах табл. 34, 36—38 на два,
добавив незаполненные разряды А із, Ли, |
то эти таблицы вместе |
|
с табл. 41 будут представлять |
исходные |
ограничения, наложенные |
на элементы П, t2, ..., Л13, Аи |
в новой расширенной системе. |
Вопрос о том, что выгоднее с точки зрения экономии памяти ЭВМ, сохранить табл. 41 или объединить ее с одной из табл. 34, 36—38 с помощью операции умножения, можно решить опытным путем: если результат умножения табл. 41 на какую-либо из таб лиц 34, 36—38 содержит не больше столбцов, чем обе перемножае мые таблицы, то такое объединение целесообразно проделать; в противном случае табл. 41 сохраняется изолированно. Этим пра вилом мы и руководствовались при переходе от исходных соотно шений (6.20)—<(6.25), (6.27), (6.29), (6.30) и (6.33) к соотноше ниям и соответственно к таблицам 34, 36—38. В нашем случае, как легко видеть, оказывается целесообразным перемножить таблицы 38 и 41. В результате получим табл. 38", которая содержит 10 столбцов (рис. 6.4). Таким образом, в качестве набора таблиц, определякнщих новую систему, получающуюся после добавления к исходной системе признаков А і3, А и и соотношения (6.41), следует исполь зовать таблицы 34, 36, 37 и 38".
183
3
=
er
ю
н
о. <ѵ
о
X
3
S
а
я
о
X
|
|
о |
|
|
|
|
|
<ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
t-- |
- |
|
|
|
|
о |
|
|
|
СО |
- |
|
|
|
|
о |
|
сс |
XҢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
Ю |
- |
|
|
|
|
о |
|
|
|
к |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я5 со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ю |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
ТГ |
— |
|
|
|
|
о |
|
5 |
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
инвнеисіц |
|
|
ч X ^ |
ч ■'■Г ■^Г ^ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
О |
О о |
- |
|
о |
о |
- |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
О! |
о |
о |
- |
|
о |
- |
о |
|
|
X |
о |
- |
о |
|
о |
- |
о |
|
|
|
о |
о |
- |
|
о о |
- |
|
|
|
СО |
о |
о |
- |
|
о |
- |
о |
со |
|
ю |
о |
- |
о |
|
о |
- |
о |
со |
|
|
|||||||
|
X |
|
о |
- |
о |
|
о |
о |
- |
|
< |
|
|
||||||
|
а |
со |
о |
|
о |
|
— о о |
||
|
со |
|
|
||||||
|
те |
|
- |
о |
о |
|
- |
о |
о |
|
а |
04 |
|
||||||
|
|
- |
- |
о о |
|
о |
- |
о |
|
|
|
ю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tt» |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
со |
- |
|
|
|
|
|
о |
|
|
оі |
|
- |
|
|
|
о |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
о |
о |
юшнеийц |
- |
(М *» |
-н |
ел « _ч |
м |
к |
|||
|
*к» |
^ |
лг Ö к, |
к |
о =>
о о
о о
о
о
о
о
rt
'if
~
о
<1 -Г ь<
Рис. 6.4
184
Мы показали на конкретном примере предсказания погоды, как можно построить систему распознавания в том частном случае, когда закономерности, связывающие изучаемые явления, заданы. Рассмотрим теперь ситуацию, когда законы, управляющие разви тием исследуемых процессов или связывающие определенные явле ния, заранее неизвестны, а сведения о процессах, которыми мы располагаем, представляют собой некоторый набор наблюдаемых данных. В примере с предсказанием погоды на завтра этими дан
ными могут быть ежедневные |
записи, |
|
относящиеся к |
состоянию |
||||||
погоды и к тем атмосферным |
явлениям |
или особенностям пове- |
||||||||
Приз |
Дни месща |
|
|
|
Приз |
|
|
Дни |
месяца |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
наки |
I 2 3 4 5 6 |
7 8 |
9 |
10 |
наки |
1 2 І |
3 4 |
5 Is |
7 8 9 10 |
|
|
|
и |
0 0 0 0 |
1 0 0 |
0 0- 0 |
V |
0 0 |
|||||||
^2 |
0 0 1 0 |
1 1 0 |
1 0 |
0 |
А |
1 1 |
||||||
и |
1 1 1 0 |
0 |
0 |
0 |
1 1 1 |
А |
1 1 |
|||||
ч |
1 1 0 0 |
0 0 |
|
1 1 1 |
А |
0 0 |
||||||
ч |
0 0 1 0 |
0 |
1 0 |
0 |
0 |
0 |
А |
0 0 |
||||
ч |
0 0 1 0 |
0 1 0 0 |
0 0 |
А |
1 1 |
|||||||
k |
0 0 0 |
1 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
/Іо |
1 1 |
|||
V |
0 |
1 0 |
1 0 |
0 |
0 0 |
0 |
0 |
А |
1 1 |
|||
Ті |
0 |
0 0 0 0 1 0 0 0 0 |
А |
1 1 |
||||||||
Tt |
0 |
0 0 0 1 0 |
|
1 0 0 |
А |
0 0 |
||||||
А |
1 1 1 1 |
0 0 0 0 1 1 |
А і0 |
1 1 |
||||||||
А 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 |
А. |
0 0 |
||||||||||
А |
0 0 0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 0 |
•^12 |
0 |
0 |
||
А |
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 |
А 13 |
0 0 |
|||||||||
К |
0 |
0 0 0 1 1 0 0 0 0 |
А 14 |
0 0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
X X |
0 |
1 |
1 |
1 |
||
1 |
0 |
X X |
0 |
1 |
1 |
1 |
||
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 X |
|
1 |
1 1 |
1 |
1 |
||
0 |
1 X X |
0 0 |
0 |
0 |
||||
0 |
1 |
X X |
0 0 |
0 |
0 |
|||
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
О |
X |
|
0 |
0 |
0 |
Рис. 6.5.
дения животных, зависимость между которыми мы хотим установить.
Образец |
записи состояния |
погоды и данных наблюдений (А , .... |
.. . , Аи) |
за десять зимних |
дней приведен на рис. 6.5, где, как и |
раньше, разряды Ч, Ч, t3, lu h , h, k, v относятся к погоде на сле
дующий день.
При большом объеме наблюдений, охватывающем период по рядка нескольких лет, мы можем рассматривать эту таблицу как нестандартный сокращенный базис Ьс [Ч, Ч, Аз, А і], посколь
ку достаточно велика вероятность того, что |
все допустимые причин |
||||||
но-следственные связи между элементами |
Ті, Г2, |
. . . , К, |
V, А , |
||||
Аг, . . . . |
А ц и ti, |
Ч, . . . . |
k, V, входящими |
в |
столбцы базиса, про |
||
явились за то время, |
пока накапливались |
данные наблюдений. |
|||||
Чтобы |
уменьшить |
число |
колонок сокращенного |
базиса, |
которое |
может быть весьма велико, необходимо отбросить повторяющиеся колонки и преобразовать оставшуюся часть таблицы к виду базиса bx [Ч, tг, Ліз, Ли]. Как показано в § 6.1, используя базис
6Х {■*!, h, ..., Ліз, Лц], можно найти решения и прямой, и обратной
логических задач, состоящих в установлении зависимостей между определенными группами элементов в виде соотношений имплика ции либо эквивалентности. В рассмотренном примере с прогнозом погоды можно надеяться, в частности, получить зависимости вида (6.33) и (6.40), которые были использованы нами в качестве задан ных исходных закономерностей.
6.5.ЭФФЕКТИВНОСТЬ ЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ РАСПОЗНАВАНИЯ
При построении логических систем распознавания часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда зна чения истинности ряда элементов А ь ..., А„, выражаю
щих признаки классифицируемых объектов К і, |
... , К т , |
связанных соотношениями вида |
|
Е(Аі, .... Ап; Кі , .... Km) = I |
(6.42) |
устанавливаются в процессе эксперимента или по дан ным наблюдений недостоверно, а с известной неопреде ленностью. Такое 'положение возникает, например, когда элементы Лі( і= 1, ..., п обозначают высказывания типа: «Истинное значение х* параметра Х і лежит в пределах интервала (щ, ßi)», причем результат измерения Х{ есть
случайная величина, либо, например, когда визуальные наблюдения признаков Alt . . Ап производятся в усло
виях плохой видимости или искусственных помех, благо даря чему создаются предпосылки для ошибочных за ключений.
К каждой проектируемой системе распознавания, как правило, предъявляются некоторые требования, касаю щиеся степени достоверности ответов, выдаваемых систе мой в форме булевых функций <р(/Сь •• ., К т )- Эти функ
ции в общем случае удовлетворяют соотношению импли
кации |
|
/(Ль . •., Ап)— нр{Кі , . • К т ) , |
(6.43) |
где /(Ль • •., Ап) — известная в результате опыта функ ция, а элементы Ль .. ., Л„ и К і , ..., К т связаны зависи
мостями вида (6.42). Из множества всех допускаемых
данной системой |
решений ср(/Сь . .., К т ) |
практически |
полезными могут |
быть лишь некоторые. |
Вид решения |
<р(Ащ . •., К т ) , помимо априорных соотношений (6.42),
186
существенно зависит от полноты сведений о классифи
цируемом объекте, которые |
представляются |
функцией |
/(Л ь . . Л„). |
|
|
'Предположим, что для практических целей важно |
||
различать N наблюдаемых |
во время опыта |
классов |
объектов (или явлений), которые описываются булевыми функциями
фі (Kl, . . ., К т ) , ■■; |
q>N(Ku ■■., Km), |
(6.44) |
причем |
І Ф І |
|
фг • 46=0, |
(6.45) |
Вид функций (6.44) определяется требованиями, кото рые предъявляются к системе классификации.
Пусть {fi(A 1, . . . , А п} есть множество всех простых импликант функции <рД/ф, ..., К т ) , так что каждая
функция /і из множества {/*} удовлетворяет соотношению
f і(Ai, . . ., A n) --- Ирг(/(ь - . VKm). |
(6.46) |
В силу условия (6.45), функции fu ..., /іѵ должны удов летворять соотношениям fi-fj— К) при іф), или
/і •/; = {). |
(6.47) |
Если при всех г=1, . N функции /ДЛі, . |
. А „ ) ф О, |
то согласно сделанным предположениям выбранный спо соб описания классифицируемых объектов позволяет различать между собой все N классов как при представ лении ИХ С ПОМОЩЬЮфункций ф'г (К\, . . ., Кт), ТЭК И ПрИ
представлении функциями /ДЛь ..., Ли), т. е. через на
блюдаемые |
или оцениваемые |
в ходе опыта признаки |
|
А ь ..., |
А п. |
При этих условиях ошибочные или неопреде |
|
ленные |
решения <f{Ki, ..., Кт) |
могут возникать только |
из-за того, что значения истинности элементов Ль ..., Ап
определяются во время опыта с ошибками или же вооб ще не устанавливаются.
Обозначим через Pij вероятность получения такого
решения ц(Ки ..., Кт), |
для |
которого ср(Дь ..., Кт )— >■ |
— крг-(/(і, ..., Кт) , і= 1, |
■• |
N, при условии, что класси |
фицируемый объект фактически является объектом /-го типа, т. е. функция /(Ль ..., Л„) в соотношении (6.43) задается как / = /ДЛ4, ..., Л„).
Для того чтобы количественно описать процесс иска жения информации о классифицируемых объектах (или явлениях) во время опыта, рассмотрим три величины:
187
<7;(1 | 1 ) = Р ( Л ; = 1 | Л;= 1 )— вероятность того, что в ре*
зультате опыта будет установлено Л ,= 1, фактически так же А і = 1; с/г( X I Г) =Р ( Аі = X \ Аі = 1) — вероятность того,
что значение истинности элемента Л, не будет установ лено (Лі = Х ) , когда в действительности Л, = 1; ^{(0|1) = = Р(Лі = 0| Лі= 1 )— вероятность того, что ошибочно бу
дет принято |
решение Л*=0, тогда как на самом деле |
А і = 1. Этим |
величинам соответствуют три аналогичные |
по смыслу вероятности: |
?г( 0 | 0 ) - Р ( Л г = 0|Лі = 0), <7І( Х | 0 ) = / 3(ЛІ= Х | Л І = 0)> ^ ( 1 | 0 ) = Я ( Лі = і1|Л1 = 0)
при условии, что фактическое значение истинности эле
мента Лі = 0. |
условиям |
Очевидно, что величины qi удовлетворяют |
|
7 i ( l | l ) + < 7 i ( X| l ) + ? f(0|l) = l, |
|
<7і ( 0| 0) +^( Х| 0) +<7 і (1|0) = 1. |
(6.48) |
Установим зависимость рц от условных вероятностей |
|
?і(1|1), '^(0|1), </г(Х|1), Qi (0 [ 0), <7і(1|0), |
</г(Х|0). |
Пусть наблюдаемый в процессе эксперимента конкрет ный объект (или явление) фактически характеризуется каким-либо определенным набором признаков, выражен ных через значения истинности всех элементов Ль ..., Л„. Устанавливаемые в результате опыта значения истин ности элементов Л* могут отличаться от .тех значений, которые фактически присущи данному объекту. Предпо ложим, что события, состоящие в установлении значений истинности элементов Ль ..., Л„ в результате экспери мента, являются независимыми, так что вероятность од новременного наступления каких-либо событий равна произведению вероятностей этих событий.
При заданных фактических значениях истинности элементов Ль .. ., А п все возможные исходы эксперимен
та, производимого над данным объектом, определяются вероятностями (111), Ці (011), qi ( X 11), qi (010), qt(1 10),
7;(Х|0). Множество 3™ несовместных исходов экспери мента и их вероятностей образуют пространство элемен тарных событий рассматриваемого опыта. Выберем из
этого пространства те точки, которые совпадают с мно
жеством {fi(A1, ..., А п)} |
всех |
импликант функции |
..., Km). Сумма вероятностей элементарных собы |
||
тий, соответствующих этим |
точкам |
пространства, будет |
188