книги из ГПНТБ / Горелик, А. Л. Некоторые вопросы построения систем распознавания

столбцов, соответствующих функции G. Такое представ­ ление функций Е и G оказывается весьма удобным при

решении логической задачи с помощью ЭВМ.

Легко видеть, что для нахождения следствий, выте­ кающих из некоторых заданных посылок, можно обой­

нормальной форме. Достаточно записать Е(А ь А2, ...; Кі, Кг, ...) просто в виде суммы произведений, установить, какие из слагаемых в Е(А{, А2, ...; Кі, Кг, ...) при умно­ жении их на G(AU А2, ...) не обращаются в нуль, и за­

тем просуммировать входящие в эти члены произведе­ ния, составленные только из элементов Кі, Кг, ■. ■или их

отрицаний. Например,_если наряду с (6.10) положить G(A, В, С) = В ■С+ А ■С = I, то при умножении (6.10)_на К -С отличными от нуля будут члены А ■В-С_-А^-В'-С' и,

F(A', B', С')=В'-С' + Ж'-В'-С'+А'-В'-С' =

= В ' - (С'+Ж') +А'-В'-С',

т. е. при наличии связи (6.10) выполняется соотношение

С(Ж + В)— >В'- (C'+Ä') + А' ■В' ■С'.

Этот прием, по существу совершенно аналогичный пре­ дыдущему, особенно полезен тогда, когда число элемен­

ваются невозможными из-за ограничений по объему па­ мяти и. быстродействию ЭВМ.

При большом числе элементов Аь А2, ...; Кі, К2, ...

можно добиться значительной экономии объема памя­

Кг, ...), представленной не в совершенной дизъюнктив­

ной нормальной форме, а в форме простейшей суммы произведений, т. е. в так называемой тупиковой дизъ­ юнктивной нормальной форме. Если приведение функции

Е к тупиковой форме оказывается почему-либо затруд­

нительным, можно ограничиться произвольной дизъюнк­ тивной нормальной формой.

169

Если во всех столбцах базиса (6.19) заменить каждый знак X один раз на нуль, а другой—на единицу и запи­ сать столбец 2й раз, где k — количество X в данном

столбце, то после отбрасывания всех повторяющихся столбцов получим базис X [А, В, С, X, У], эквивалент­

ный (6.7;.

Представим функцию G(AU Л2, ...) в форме простей­

шей логической суммы произведений и каждое слагаемое трансформируем в колонку, заменяя, как и раньше, эле­ менты А і единицами, элементы Äj — нулями, а на место

отсутствующих элементов записывая знак X, который имеет прежний смысл. Для того чтобы выбрать все те колонки базиса Ьх [Аи Л2, ...; Кі, АХ • •.], которые со­

вместны со значениями истинности элементов Л,, входя­ щих в виде сомножителей в слагаемые функции G(Ai, А2, ...), достаточно поразрядно сравнить каждую колон­ ку, соответствующую отдельному слагаемому в G, со всеми колонками базиса йх [Аи Л2, ...; Кі, А2, ...] по

следующим правилам:

— если в сравниваемых разрядах хотя бы одной ко­ лонки содержится X, то эти разряды сра внимы;

— если в сравниваемых разрядах двух колонок не содержится X, то сравнимы только комбинации 0 и 0, 1 и 1, а 0 и 1, 1 и 0 н е с р а в и и м ы;

— если в двух колонках все разряды сравнимы, то сами колонки сравнимы; в противном случае — несрав­ нимы.

При сравнении колонок, отвечающих отдельным сла­ гаемым в функции G, с колонками базиса йх [Лі, Л2, ...;

170

Г (К1, Кг, ••.)• Выполнив над колонками этой последней

таблицы операции, аналогичные тем, которые использу­ ются при приведении булевой функции к тупиковой дизъ­ юнктивной нормальной форме, мы можем трансформиро­ вать каждую колонку таблицы в произведение, состав­ ленное из элементов Кг и К е, и сложить все такие про­

изведения. В результате сложения получим в явном виде

сравнимы только четвертая и пятая колонки базиса, мы можем утверждать, что функция F(X, У) представляется

следующей таблицей:

нимы только первая и третья колонки базиса, а с пра­ вым— первая, вторая и пятая. Следовательно, функция F(X, У) представляется теперь так:

X i о X X

П Х Х Х 1 /

Трансформируя столбцы этой таблицы в отдельные сла­ гаемые функции F (X, У), получаем

F{X, У ) = Х + І + І+ У=І,

171

Таким образом, А-С + В- С— ѵі, т. е. в данном случае су­

ществует только тавтологическое решение уравнения

A-Ü + S -C —+F(X, У).

Особенно просто составить программу по данному алгоритму определения неизвестной функции F (Кі„ К2, •••) для ЭВМ с троичной системой счисления. На

машинах с двоичной системой счисления для представ­

ряде первой ячейки и 1 в k-ш разряде второй ячейки.

В ряде задач данный способ может оказаться в значи­ тельной степени более выгодным, чем операции с сокра­ щенным базисом bc[A1, Аг, ...; К\, Кг, ■■.].

6.3.ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ СОКРАЩЕННОГО БАЗИСА

В предыдущем параграфе мы показали, как с помо­ щью ЭВМ, используя сокращенный базис Ьх [Аи А2, ..

К\, Кг, • •.], находить решение специальной логической

задачи по определению следствий, вытекающих из неко­ торого заданного набора посылок. Рассмотрим ряд алго­ ритмов, которые позволят применять ЭВМ также и для построения сокращенного базиса, связанного с исходны­ ми логическими зависимостями, наложенными на элемен­ ты А 1, А2, ...; Ки Кг,----

Алгоритм получения произведения двух булевых функций. Пусть требуется найти произведение функции fi (Аі, А 2, ...; Ki, К2, ...) на /г(Лі, А2, ...; Ки Кг, ...)..

Представим каждую из функций либо в дизъюнктивной нормальной форме, либо в форме простейшей суммы про­ изведений и трансформируем каждое слагаемое в колон­ ку таблицы (fi) или (Іг) соответственно, заполнив раз­

ряды колонок числами 0, 1 и X по тем же самым пра­ вилам, которые использовались в § 6.2 при построении

(fi) и (/г) размещены в ячейках памяти ЭВМ так, как показано па рис. 6,1,

172

храияется в таблице (fі); далее перейдем к сравнению колонки а+1 с первой колонкой таблицы (f2).

Если (а) -/* ф), ф) +►(а), то перейдем к сравнению ко­

лонки а таблицы (/,) с колонкой ß - f 1 таблицы (f).

Эти операции производятся до тех пор, пока не будут перебраны все возможные пары значений а=1, 2, ... и ß—1, 2, ..., т. е. пока каждая колонка таблицы (/1) не

будет сравнена со всеми колонками таблицы (,/2). В результате часть колонок (может быть пи одна) из таблиц (fi) и (/г) будет перенесена в таблицу (fyjz), а сами таблицы (fi) и (/2) упростятся; обозначим их (f'i) и

(Г 2).

2. Перемножим таблицы (f'i) и (Гг)- Рассмотрим умножение колонки а' таблицы (f'i) на колонку ß' (f'z)- Если колонки а' и ß' несравнимы, т. е. хотя бы в одном

из одинаковых разрядов этих колонок встречаются числа

(/'г). Если колонки и' и ß' сравнимы, то их перемножают

поразрядно по правилам:

0-0=0, 0- Х = X -0= 0, 1■ X = X •1= 1, Ы = 1,

Х - Х = Х.

Результат умножения представляется в виде колонки, аналогичной колонкам-сомножителям, которая записыва­ ется в таблицу (fi•[?.)- Затем перейдем к умножению ко­ лонки а' из (f'i) на колонку ß '+ l из (/'2). Операции по­

вторяются до тех пор, пока каждая колонка таблицы

форме.

Алгоритм приведения булевой функции к тупиковой дизъюнктивной нормальной форме. Для упрощения таблицы (fi-fz), представляющей произведение двух бу­ левых функций, каждую колонку а таблицы сравнивают

с каждой последующей колонкой а + Я этой же таблицы по следующим правилам:

— если сопоставляемые колонки полностью совпада­ ют: (а) = (а + Я), то одна из них, например а, сохраняет-

»74

и а + А;

— если (а + А)— *(а), то колонка а + А отбрасывает­ ся, а колонка а сохраняется; далее сравниваются колон­ ки а и а + Я + 1;

—если все разряды двух сопоставляемых колонок совпадают, кроме одного, и в этом разряде одна колон­ ка содержит 0, а другая 1, то обе колонки заменяются одной, которая совпадает в общей части разрядов со сравниваемыми колонками, а в том разряде, где содер­ жались числа 0 и 1, ставится знак X;

—если две сопоставляемые колонки а и а + А несрав­ нимы только в одном г-м разряде, а содержимое осталь­ ных разрядов таково, что для колонок (а)' и (а + Я)', получающихся из (а) и (а + Я) вычеркиванием г-го раз­ ряда, выполняется условие (а + Я)'— *(а)', то обе колон­ ки а и а + Я сохраняются, но в г-м разряде последней записывается знак X. Далее переходят к сравнению ко­ лонок а и а+А+'І.

Процедура сокращения производится над всеми колонками таблицы результатов (fi-f2) последовательно несколько раз до тех пор, пока дальнейшие упрощения по указанным правилам станут невозможны. Каждая колонка полученной таблицы соответствует одному сла­ гаемому, которое входит в булеву функцию fі • fz, запи­

санную в тупиковой дизъюнктивной нормальной форме. Алгоритм получения отрицания булевой функции

будем предполагать, что функция /(Ль Л2, ...; Ки Кг, ■■•)

представлена в виде таблицы (/), колонки которой обра­ зованы из чисел 0, І и Х . Проделаем следующие операции.

1. Заменим числа, содержащиеся в разрядах колонок

175

в соответствии с алгоритмом приведения булевой функ­ ции к тупиковой дизъюнктивной нормальной форме. По­ лученная таблица будет представлять отрицание функ­ ции /(Л 4, Лг, • • ■; Кі , Кг, .. .) в форме простейшей суммы

произведений.

6.4.КАКАЯ ЗАВТРА ПОГОДА? ПРОБЛЕМА НАКОПЛЕНИЯ АПРИОРНЫХ ДАННЫХ

Рассмотрим задачу прогноза погоды на завтра, основанного на использовании различных народных примет. Для нас эта задача интересна с двух точек зрения. Во-первых, при таком прогнозе используются многочисленные разнородные признаки, характеризую­ щие различные атмосферные явления или поведение животных, при­ чем внешне эти признаки представляются совершенно не связанными между собой высказываниями. Рациональное построение системы распознавания при большом числе независимых признаков имеет свои специфические особенности. Во-вторых, установление основных зако­ номерностей в задаче прогноза погоды, так же как и во многих естественных науках, основывается «а наблюдениях и имеет характер эмпирической индукции. Обобщение данных наблюдений с целью выявления причинно-следственных связей между отдельными призна­ ками явлений составляет одну из кардинальных задач каждой кон­ кретной науки. Решение этой задачи, как будет показано в разби­ раемом ниже примере, может быть получено с помощью алгебры ло­ гики.

Рассмотрим в качестве исходного следующий текст [19], относя­ щийся к зимним месяцам: январю и февралю:

«Какая завтра погода?» Это ты можешь узнать сам, если вни­ мательно приглядишься к солнцу, луне, звездам. Сегодня был мороз, и солнце как бы спряталось за льдистый серебряный дымок. За та­ ким же дымком спрятаны дома и деревья. Дома и деревья казались неясными и расплывчатыми, как солнце морозного дня. Запомни: льдистый серебряный дымок всегда обещает продолжение мороза. О завтрашнем сильном морозе предупредит тебя заходящее солнце. Когда оно уходит на ночь красным, обмороженным, то назавтра не жди снега — будет ясно и холодно.

Когда сильный мороз собирается простоять несколько дней, во­ круг заходящего солнца могут появиться большие белые круги или высокие столбы. Иногда вместо кругов и столбов ты можешь уви­

176

Будем дополнительно считать, что й данной местности не происходит резкой смены температуры, т. е.

Перемножив левые части соотношений (6.22), (6.23) и (6.27), полу­ чим условие, которому должны удовлетворять элементы Ті и tj,

tl • I 2 • Тз • T l ■ Т 2 - Т з + І і - І 2 ‘ І З ' Т і - Т 2 - Т з +

Заметим далее, что в соответствии со смыслом высказываний Lu L2 и К необходимо потребовать, чтобы (Li + L2)— *-К, или что то же

Соотношение (6.29) утверждает, что снег или дождь могут выпадать только при пасмурной погоде.

Мы рассмотрели набор высказываний, характеризующих с определен­ ной детализацией состояние погоды, и установили те связи, которые налагаются па эти высказывания.

Обратимся теперь к приведенному выше тексту и в соответствии со встречающимися в нем понятиями введем дополнительно следую­ щие обозначения: Л) — солнце, дома, деревья видятся через льдистый серебряный дымок; А2 — заходящее солнце красное; А 3 — вокруг за­ ходящего солнца появились большие белые круги или высокие стол­

рят ярко и чисто, звезд много и их хорошо видно; Äg — звезды плохо

178