книги из ГПНТБ / Горелик, А. Л. Некоторые вопросы построения систем распознавания

в отличие от матриц (Ец)^, не является унитарной, и поэтому, вооб­

ще говоря F(Ki, Кг, Кз ) фй ( Аі, Аг). Так как для каждого преобра­ зования (5,68) при фиксированном Я выполняется соотношение (5.69), то очевидно, что в общем случае

Рассмотрим преобразование

•изображающего числа произвольной функции G t ( A u Л2) с помощью матрицы

транспонированной по отношению к (5.71). Согласно (5.61), (5.62) преобразование

# 6 * (А , A ) ® ( £ * h = # f J X,(ff.. Кг, Kt)

f (,X)(K,, Кг, К3). связанную с Gl (Ai, Л2) соотношением имплика­

в задаче вопросы. Применяя преобразование (5.73) к набору функций А 1, Ли Аг, Л2, получаем

'0011 0001\ = # !* :, ■(*!+*,)],

ОНО ОНО 1 = # +

ООП ООП I = #к( К2,, - К г К , - К г ) ,

,0110 ото/ = # ( К г - К г + К г К г - К з ) .

Таким образом, справедливы соотношения

Лг— * - К г ‘ ( K i A - К з ) ,

Лг— ^Кг,

А\— уК\ • КгЛ~К\ • Кг,

Лг — >~К} • А л г А , • К г • Ал,

159

Например, последнее соотношение расшифровывается так: если местность холмистая, то либо применяются мины осколочного дей­ ствия и не применяются мины осколочно-фугасного действия, либо применяются только последние. Это ответ на первый вопрос.

Второй вопрос задачи имеет следующий смысл: каковы те при­ чины, которые вынуждают противника применять в данной местности только мины осколочно-фугасного действия? Чтобы ответить па этот

вопрос, применим преобразование (5.70) к функции ЛѴКз-А'з = Кі +

“ЬК2+ Кз-

Аі • А 2— *-Аі • Кг ‘ Кз-

Таким образом, если в каком-либо районе противник применяет только мины осколочно-фугасного действия, то это означает, что дан­

менных. Поэтому можно утверждать, что и в общем случае функции

Пусть дополнительно известно, что в данном районе нет других рот противника и что по крайней мере одна из названных рот находится в поле, т. е

Кроме того, известно, что рота автоматчиков никогда не сопровож­ дает роту пулеметчиков:

Допустим, разведчик, наблюдая за противником, заметил, что солда­ ты несли или пулеметы, или автоматы (он не мог уверенно опреде­ лить) и не было бронированного автомобиля, т. е. донесение развед-

1 0

чика представляется как

Па основании данных разведки (5.79) и априорных сведений о про­ тивнике (5.76) —(5.78) требуется установить, какие выводы можно сделать относительно видов рот противника, находящихся в поле.

строки с номерами t= 0, 6, 7 и столбцы с номерами /=4, 5, 6 состоят из одних нулей. В соответствии с этим изображающее число

= (0100 0000) = # ( K i -Кг-Кз).

6.МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ л о г и ч е с к и х

СИСТЕМ РАСПОЗНАВАНИЯ

ИСПОСОБЫ ОЦЕНКИ ИХ ЭФФЕКТИВНОСТИ

6.1.ВВЕДЕНИЕ

Для многократного решения однотипных задач рас­ познавания объектов или явлений на практике обычно приходится прибегать к построению систем классифика­ ции, или распознавания (гл. 1). Типичными примерами таких систем могут служить: система распознавания для прогноза погоды, система для распознавания истинных целей на фоне ложных, система контроля за состоянием сложной аппаратуры (с распознаванием типовых дефек­ тов) и т. п.

Как правило, для того чтобы распознавать незначи­ тельно различающиеся между собой объекты, необходи­ мо привлекать дополнительные признаки, и общее число классов (типов) объектов и их признаков может стать довольно большим. При этом отдельные группы призна­ ков оказываются логически зависимыми, другие — логи­ чески независимыми. Построение логических систем рас­ познавания объектов, содержащих большое количество классов и независимых признаков, и оценка эффектив­ ности таких систем связаны со значительными трудно­ стями.

В этой главе идея использования сокращенного базиса распространяется на логические системы с большим чис­ лом элементов; на конкретных примерах показаны осо­ бенности построения алгоритмов решения логических задач и реализации этих алгоритмов на ЭВМ. Разрабо­ тан общий подход к оценке эффективности логических систем распознавания объектов и применению метода статистических испытаний для нахождения значений по­ казателей эффективности системы. На примере построе­ ния системы распознавания для прогноза погоды показа­ но, как можно использовать основные идеи и аппарат алгебры логики для установления эмпирических законо-

162

мерностей, связывающих отдельные явления или процесс сы. Приводится решение ряда практических задач по­ строения и оптимизации логических систем распознава­ ния объектов.

6.2, РЕШЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИ БОЛЬШОМ ЧИСЛЕ ЭЛЕМЕНТОВ

Использование изложенных в предыдущей главе методов построения сокращенного базиса и решения ло­ гических задач существенно ограничивается объемом памяти и быстродействием современных ЭВМ. Так, на­

с изображающими числами, состоящими из Ю6 разрядов, и матрицами такой же размерности, практически не вы­ полнимы на современных вычислительных машинах. Вместе с тем для построения сокращенного базиса со­ вершенно не требуется перебирать все колонки полного базиса и проверять истинность булевых функций (5.39), представляющих наложенные на элементы Л4, . .., Ап; Ки . ■■, Кт связи, при всех возможных комбинациях зна­

чений истинности этих элементов. Вместо этого можно выписать только те колонки базиса Ь[Аі, ..., Л„; Кі, ...,

и перемножить функции /ф ..., /ф. Так как все эти функ­ ции должны быть истинны одновременно, то условия (6.1) можно записать в виде одного соотношения:

N

Е (А „ ...,АпК1, . . . , К т) = \ \ П ( А 1, ... , А п- К.........Кт) = \ і=\

в совершенной дизъюнктивной нормальной форме, на­ пример,

Е = А\Аъ■... • Ап ■К і•... • Кт,Л- . • • + Äi •Л2 • . . . ■An •

(6.3)

то каждое слагаемое в (6.3) можно интерпретировать как колонку сокращенного базиса, ибо в элементарном произведении явным образом указываются те значения истинности элементов Ль . .., Л„; К\, . . К т , при кото­ рых функция Е истинна. Так, например, функции (6.3) соответствуют следующие колонки базиса ЬС[Аи .. ., Л„;

Поскольку при представлении булевой функции в совер­ шенной дизъюнктивной нормальной форме суммируются все те и только те элементарные произведения, при ко­ торых данная функция истинна, то базис вида (6.4) действительно содержит все колонки базиса Ьс[Аи .. .,Ап;

Рассмотрим, например, соотношение (5.8):

A + B- X- Y + C - Y = ä - X- Y + B- X + C+ A- B,

связывающее элементы А, В, С, X, Y. По определению

эквивалентности, данное соотношение можно записать в виде

(A + B- X- 7+C- Y) ■{Ж- X - Y + B - X + C + Ä • В ) +

+ (.A + B - X - Y +C - Y ) ■( Ä - X - Y + B- X + C+A- B) = I

или после преобразований

A - B - X + A - C+A - B + B- C- X- Y + C - Y + Ä - B - C - Y +

Г64

Представим функцию (6.5) в совершенной дизъюнктив­ ной нормальной форме

A- ß - C- X- Y + A -В- C - X - Y + A ■B- C- X- Y+ +A - B - C- X - 7 +A - B - C- X - Y+A - B - C - X - Y +

+А - В - С - Х • Y + A - B - C - X - Y + A - В- С- Х- Y+

+A - B - C - X - Y + A - B - C - X - Y + A - B - C - X - Y + +A- B- C- X- Y + A - B - C - X - Y + Ä - B - C - X - T +

+Ä - B - C - X - Y +Ä - B - C - X - Y + Ä - B - C - X - Y + -TÄ-B-C-X • Y+Ä ■В -С-Х ■Y+Ä- B -С-Х- Y+

Трансформируя каждое слагаемое (6.6) в колонку сокращенного базиса ЬС[А, В, С, X, У], получим

і = 5 5 1 17 7.7 7 5 5 3 3 3 3 6 6 6 4 4 2 2 0 0

#А = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

#В = 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0

# С = 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 (6.7)

# Х = 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1

# У = 10101 0 1 0 1 0 1 0 1 001 1 1 1 1 1 10

і = 2 0 2 0 3 1 2 0 3 1 3 1 2 0 1 3 2 3 2 3 2 3 1

Базис (6.7) устанавливает следующее соответствие меж­

производить как умножение, так и сложение отдельных соотношений вида (6.1). Например, если в задаче, рас­ смотренной в § 5.7, в качестве исходных зависимостей,

165

то для построения сокращенного базиса ЬК[А, В, С; А', В', С'] необходимо вначале сложить левые части соотно­

шений

C -(A'-B'+Ä'-B')+C- (A'-B'+Ä'-B') = l,

С■(Ä'-B' + Ä'-C' + A'-B'-C') + С - (А'-В' + А ' -С' +

+Л'-В'-С') - I ,

эквивалентных зависимостям (6.9), и полученный резуль­ тат

С- {A'-B'+Ä'-B'+Ä'-C') +

+ Ü- (A'-B' + A ' - C ' + Ä ' - B ' ) ^

умножить на функции

A -B'+ Ä'-B' = l,

B-iB'-C' + B'-C') +В-{В'-С' + В'-С') = I,

# С = 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0

(6.11)

#А ' = 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0

#В ' = 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1

# С ' = 0 0 1 1 1 1 1 100

/ = 0 1 7 6 6 7 4 5 3 2

Соответствие между номерами / и / столбцов базисов

Ь[А, В, С] и Ь[А', В', С']

166

полностью согласуется с тем соответствием, которое уста­

Вернемся еще раз к задаче о нахождении неизвест­ ной функции F(Ki, К2, •••)> удовлетворяющей уравнению

стями (5.39). Соотношение (6.13) имеет смысл утверж­ дения: «Некоторая совокупность признаков, характери­ зующая распознаваемые явления (процессы) Кі, К2, ■■■

и представленная функцией G(Ai, Â2, ...), действительно

имеет место».

Для нахождения функции F (Кі, Кг, • • •) необходимо определить, какие комбинации элементов Кі, Кг, ... бу­

дут истинны при различных предположениях об истин­ ности независимых элементов из числа Аи А2........ Наи­

более просто эта задача решается для случая, когда функция G(Ai, А2, ..-) имеет вид элементарного произ­ ведения, составленного из элементов Аи А2, ..., так как при этом значения истинности всех элементов А и Аг, ...

определены однозначно. Пусть, например, применительно к (6.5) дополнительно утверждается, что

Соотношение (6.14) справедливо тогда и только тогда, когда одновременно Л = 0, В = I, С—I. Подставляя эти значения истинности элементов А, В, С в (6.5), полу­ чаем X ■У + У = I, или после упрощения

Следовательно, из истинности функции (6.14) следует истинность (6.15), т. е. А - В ■С— Д(Х+ У).

В общем случае функцию G (Ді, А2, ...) можно пред­

ставить в виде суммы нескольких элементарных произ­

167

ведений и предыдущие рассуждения применить отдель­ но к каждому слагаемому. Логическая сумма получен­ ных следствий будет представлять искомую функцию

F(Ku Кг, ...).

Действительно, пусть для произвольных элементов а, Ь, с, d справедливы зависимости а— *Ь, с— к/

Например, допустим, что при наличии связи (6.10) дополнительно утверждается, что

G(A, В, С) =А- В + В - С = I

или в совершенной дизъюнктивной нормальной форме

G=A - В-С + А -B-C+Ä -В-С=\.

Последовательно подставляя в (6.10) значения

/4 = 1, В = 0, С= I; А = 1, 5 = 0, С= 0;

Л= 0, 5 = 0, С= I

искладывая полученные результаты, находим

F = B'-C'+A'-B'-C'=-A,

Г.сли каждый суммируемый член в функции G(Ai, Аг, ■..)

представить также в виде колонки, аналогичной колон­ кам базиса b[Alt Л2, ...], то логическое умножение Е на G можно выполнить как операцию над колонками со­ кращенного базиса Ьс[Аи Л2, ...; Кі, Кг, ■■■} и набором

168