книги из ГПНТБ / Горелик, А. Л. Некоторые вопросы построения систем распознавания

явления

как элементарные высказывания.

Пусть А и

Az, ■■■,

Ап — множество признаков, а Кі, Кг,

. . ., Кт—

между

высказываниями

Кі,

■■■,

Кт и Ai, ..

Ап и,

с другой — зависимости

только

между

элементами

А и . ..,

А п или только между

элементами

Кі,

..., Кт,

К г ~ fi (А, , ..., Ап),

Кj —■hj(Al

t , Лп),

Lt (Al,..., Ап) —*Ки

Кі (Aj,..., An;

Kl t ... , Km) = Hi(Ait ... , An\

Кj,...,Km),

. (5.39)

®h(Alt ..., An;

Kt, ... ,K m) — l,

47r(Alt ...,An) = l,

/s (K„ ..., Km) ■--=I,

Предположим

также,

что

наряду

с (5.39)

дополни­

тельно

известны

некоторые

данные

части

признаков

А 1, ...,

Ап, присущих явлениям Кі, ...,

Кт, и что эти дан­

вания, сводится к

нахождению

неизвестной

функции

F (Ки . ■., Кт), удовлетворяющей уравнению

G(Ai, ...,

Ап) + F (Кі,

Кт)= I

(5.40)

при

ограничениях

(5.39), наложенных на

элементы

А і,

..., Ап; Кі, ■• -, Кт-

Задача, сопряженная с данной, состоит в том, чтобы

установить, какие

совокупности признаков

Аі, .... А п

Fi{Ku

• •

•> Кт) А-Gi (А1,

. . . , Ап) = I

(5.41)

при заданной функции Fi(Ki, ■

. Кт) и связях

(5.39).

Положим в соотношениях (5.40) и (5.41)

F(Ki,

.... Km) =Fi(Kl........ Km)-

Тогда,

если

Gi(Aiß

..., Ап) = G(Ai,

. .., A n),

то,

пере­

множив левые части (5.40) и (5.41),

получим

или

G-F + G-F = I,

G(Ai,

. .

An)=F(Ki,

- -

Km),

(5.42)

иначе говоря, в этом случае посылки G(Ait ...,

Ап) (или

Fi(Ki,

..

.,

Кт))

И следствия F(Ki, ..., Кт)

(или

Gi(Ai,

. .

Ап)) эквивалентны.

G{AI, ..., Ап), из

которых следуют некоторые выводы

F(Кі, ..., Km), при

условии, что

элементы Аи ...,

Д„;

Кі, ..., Km связаны зависимостями

(5.39). Покажем,

что

пусть F(Ki, ..

Km)

есть заданная функция, импликаиты

которой требуется найти в виде функции G(AU ..., Ап).

Перейдем

от

функции F(Ki, . •., Km)

к ее отрицанию

Fi = F(Kи •..,

Km)

и с помощью соотношения

(5.41) оп­

ределим

функцию

Gi(Ai, . .., Ап),

которая

связана

с F(Ki, ..., Km) зависимостью

F(Ki, .. ., Km)— >Gi(Ai, ...,

An).

(5.43)

Gi(Ai, ..., An)—+F(Ki, ..., Km),

(5.44)

то, следовательно, G{AU ..., Ап) =ДДЛі, ..., Ап) и яв­

ляется искомой функцией, Если окажется, что

наряду

с (5.44)

справедливо

соотношение

F (Кі, : .

Кт )—^

— »G (Ль ..

Л„),

то F(Ki,

..., Km)=G(Al, . .

Ап), т. е.

G(Aь ..

Л „ ) — полный

набор

импликант

функция

F (Кі, ...,

Кт), через сумму которых

данная

функция

может быть выражена.

Методы решения всех перечисленных выше задач

основываются на

построении

сокращенного

базиса

0с(Лі, .. ., Ап;

Кі,

. ..,

Кт],

который определяется следу­

дачи решаются либо в рамках уравнений

(5.40)

или

(5.44), либо (5.42).

Рассмотрим на конкретных примерах различные частные случаи

соответствия базисов 6С[ЛЬ ..

., А п 1 и Ь С[ К \ , . .., К т \ .

Пример 1. Предположим, что при некоторых условиях, характе­

ризуемых

признаками А і, А г ,

А 3,

в системе

могут

протекать

три

процесса

К і , К г , К з , причем

связи

между К і ,

К ч , К з

и А и

А 2,

А 3

представлены следующими двумя соотношениями:

К і • К г • А і • Лз+ ІСі • К ч ' А і • Лз+

+ Кі-Кч-Аі-Аз-\-Кі-Кг-Аі-Аз = \,

(5.45)

цам базиса Ь[Аи А2, А3, К\, Кг,

К3]. Сохраняя перечисленные столбцы

и отбрасывая остальные,

получаем следующий

сокращенный

базис:

/ =

3 5 0 4

1 7 2 6

4 М , =

1 100

1 1 00

#

Аг =

10 0 0

0 111

= М 3 = о і 0 1 0 10 1

# ^ = 0 1 0 1

0 10 1

#

Кг =

0 0 1 1

ООП

#

Л'з =

0 0 0 0

1111

і = 0 1 2 3

4 5 6 7

Разобьем базис (5.46) на

два

базиса

ЬС[А\, Аг,

А 3] и ЬС[Кь

Кг, ДзІ.

цов стандартных базисов Ь[Кі, Кг,

Кгі

и Ь[Аи Аг, А 3] соответственно.

Согласно (5.46) между значениями і

и /

устанавливается сле­

дующее взаимно однозначное соответствие:

I =•

0,

1,

2,

3,

4,

5,

6,

7;

/ =

3,

5,

0,

4,

1,

7,

2,

(5.47)

6

/ =

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7;

(5.48)

і =

2, 4, 6, 0, 3, 1, 7,

5.

Из (5.47) следует, что изображающие числа

ф Л 2 и # Л 3

отно­

сительно базиса Ь [ К і , К г ,

/(з] запишутся как

і =

0 1 2 3

4 5 6 7

4Мі =

1 100

110 0

= # j ? a,

# Д = І 0 0 0

0 111 = # { Е г К2-Е, + К3-{Кі+Кг)}-

(5-49)

# Л 3=

0101

0 101

= # * ,.

/ 3 5 0 4 1 7 2 6

0000

0010

(%) =

1000

0000

(5.50)

0001

0000

0100

0000

0000

0001

0000

0100

Аналогично (5.48) показывает, что в

базисе

Ь[Аи А2,

А31

#/<і = 0000

1111 = # А 3,

#/<2=1010

1010= # Л ь

(5.51)

#/(з=0110

0011 = #

{ A 1 - Ä 2 - Ä 3 + A 2 - ( ä , + A

3) } ,

а матрица ( R i j ) перехода от элементов К ъ

К ъ К з к

А и А2, А 3 по­

цессы К і ,

К ъ К з

проявляют

себя через какие-либо совокупности

признаков

Аь Л2,

А 3,

причем

сведения о признаках можно

предста­

вить в виде, булевой

функции

G(Ab А2, Аз), например,

G(Ai, Аг, Л3)= Л з+ Л ,-Л 2.

(5.52)

сов К и /<2 , К з

на основании

информации (5.52)

и связей (5.45). По

формуле (5.34)

находим

0010 0000

0000

1000

0000 0010

# ( А ,+ Л 1.А2) =

1000

0000

(0100 1111)

0000

0001

0100

0000

0000

0001

0000

0100

= (0101

1101) = # F ( К г , К г ,

К з)

и, следовательно,

F ( K i , К і , K 3) = G ( A i ( K \ , К 2, К з ) , А г ( К і , К г , К з ) ,

А 3 ( К \ ,

К г , К з ) ) = К г + К 2 - К з ,

(5.53)

0001

0000

0000

0100

1000

0000

0000

1000

# (ЛѴ К г ■Е 3) = (0100 0000) g) 0100

0000

0000

0001

0010

0000

0000

0010

= (0000 0100) =

# G (Л , Аг, А,).

Откуда следует

= А \ . А 2 *Аз,

(5.54)

G(At, А2, А3)

Т. е. в той группе наблюдений, где были установлены

А \ - А 2, тре­

буется дополнительно обнаружить наличие признака

А 3.

Заметим

при этом, что утверждения (5.53)

и (5.54) имеют смысл

необходи­

условия задачи запишутся в виде

соотношения

эквивалентности

К \ ■К 2 • К з • Лі + Кі ■К 2

• А\

■( К з *А2-\~К з

• А г ) —I.

(5.55)

Сокращенный в соответствии

с

(5.55) базис 6с[Ль А2;

К і , К ъ Кз]

имеет вид

/=0123

#

А, = 0 1 0 1

#*Л2 = 0011

#

К, =

0 101

(5-56)

# К2^1_о і'о

:# ' К з = 1 0 'і'Г

Г =

6 1 6 5

/ =

0,

1,

2,

3;

(5.57)

і =

6,

1,

6,

5,

где

/ и

і — номера

столбцов

стандартных

базисов Ь{А\,

ЛЛ и

Ь [ К и

К г ,

К А

в (5.56) представляют собой

Это означает, что # К ь # К 2 я # /(з

изображающие

числа элементов

К \ ,

К г

и К г ,

вычисленные

относи­

тельно базиса

Ь{Аі,

Л2]. Следовательно,

соотношения

/Сі = Лі, К2 = Лі,

К з = А і - \ - А г ,

(5.58)

уравнения

(5.55)

относительно К \ ,

К г ,

К з . Как видно

из

(5.57),

функции К і ,

К г ,

К з зависимы,

так

что

комбинации

значений

истин­

ности K t ,

К г ,

К з ,

отвечающие

столбцам

базиса Ь [ К и

К г ,

Кз]

с номе­

можно разрешить относительно Лі(Кі,

К г ,

К з )

и Л2(Кі, К г , К з ) .

Используя (5.58), можно любую

заданную

функцию F ( K i , К г ,

К з ) преобразовать к переменным Ль Л2 так,

чтобы

F [ K \ (Л4, Л2), К г ( А \ , Л2), К з ( А і ,

Л2)] = 0(Л ь Л2).

Преобразование выполняется при помощи унитарной перестановоч­

ной матрицы (Eij), которая строится так

же, как и перестановочная

матрица

(Кі,)'.

если столбец i=k переводится в столбец j=h,

то эле­

мент Ekh= 1,

остальные

элементы Ец = 0. Напомним,

что

булева

матрица

(Eij)

называется

унитарной, если в каждом ее

столбце со­

Например, если в соответствии

с первым вопросом задачи поло­

жить F ( K 1, К г , К з ) = К і - К з ,

то

изображающее

число

функции

0(Л Ь Л2) относительно Ь[Аі,

Л2] находится как

# (К і • Кз) = (0101 0000) <8)(£й) = (0Ю О)=#Л1-Л 2.

Таким образом, ответом на первый вопрос будет:

«В налете при­

мут участие тяжелые бомбардировщики и не будет

легких

бомбар-

Дйровщиков». Единица, стоящая

в 6-м

разряде

(t = 6)

#Е (Х і,

К 2,

К з )

переносится матрицей

(5.59)

в два

разряда

(/ = 0 и /= 2)

изоб­

ражающего числа

#G (A 1 ,

А 2) . Каждая

единица, стоящая в любом

другом

разряде

(£=1,5) # Ё (К ь

К ъ

К з ) ,

переставляется

только

в один разряд # 0 ( Л Ь А 2) ,

причем ни при какой

функции F ( K i ,

К г ,

К з )

мы

не получим

G = 1000 или 4j=G=0010,

т. е.

G = A \ - A

2

или

G = А 1• А 2-

Рассмотрим преобразование

# С (Л Ь А2)

® (£ Я)= # Т (К ,, Къ

Кз),

(5.61)

выполняемое

над

функцией

G(Ab А 2)

матрицей

( Е ц ) ,

транспониро­

ванной по отношению к матрице

(5.59).

Покажем, что определяемая

соотношением

(5.61)

функция F

( К і,

К г ,

К з )

в

общем

случае

при

произвольной функции G(Ab А 2)

удовлетворяет условию

G(Ai,

А г ) —> - F ( K i ( A i t А г ) ,

К г ( А \ ,

А г ) ,

К з { А і ,

/U)).

(5.62)

Действительно, так как произведение матрицы

( Е ц )

= (£ij)T, транс­

понированной

к унитарной,

на унитарную

матрицу

(Е ц) равно

( Е ц ) <S> (£«) = (бц )

+

( е ц ) ,

где

(öji) — единичная матрица,

а

(ец) — в общем

случае отличная

от нулевой симметричная девиаторная матрица,

то

умножая

(5.61)

справа на матрицу (Ец), получаем

#G (A b А2) ® ( Е зЧ) ®

(£ „)= #< ?(/!,,

А , ) +

+ #G (A ,,

Л2)®

(ея ) = # Е ( К ь К 2, К я) 2 >

( Е й ) .

численное относительно Ь [ А ь А 2]

изображающее число

( К \ ( А і , А г ) , К г ( А і , А г ) , К з ( А і , А г ) ) .

Поскольку в общем случае

# 0 ( Л Ь А2) — )-:[#G(A,,

A2)+ # G (A ,, Л2) ® (ец)],

то справедливость соотношения (5.62) доказана.

^Положим,

в соответствии со вторым вопросом задачи, G(Ai, А г ) —

--=Аі -А2, Тогда согласно (5.61) найдем

_

_

/0000

0010\

(ЮОО)®

/ 0100 0000 )

=

-Л ) <8> (£?<) =

0000

0010

\ 0000 0100 /

= (0000 0010) = #КцКг-К3.

(5.63)

Точно так же,

если

G ( А 3, А 2) =

А 1 - А 2 , то

, 0000 0010

# (Лі-Л2) ® ( Е н ) =

(0010)®

0100

0000

0000

0010

L0000 0100

= (0000 0010) = ^ К г К г - К з -

(5.64)

вики и истребители-перехватчики.

__

■К г ) ® ( £ іі) = (1010) =

Так как в переменных А и А2 #(АТ • К 2

= 4М 1, мы действительно убеждаемся, что А\

• А2— +Аі и А\ • А2— »-

—>-Лі.

мостью вида (5.61), будут в общем случае удовлетворять

соотноше­

нию импликации G(At, .. ., А п)— >F(Ki, .. ., К т ).

три типа

Пример 3. Предположим, что у противника имеется

мин: К і — осколочного действия, К 2 —осколочно-фугасного

действия,

ландшафта

и типа грунта и что можно

сказать о

свойствах

мест­

ности, если

известно, что противник применяет только мины осколоч­

но-фугасного действия [22].

грунт,

Вводя

обозначения

для высказываний: A t — каменистый

А 1 — песчаная почва,

А2— равнинная

местность,

Ä 2— холмистая

Кі —А і • А2 ~\~А1 *А 2,

К2= А і '\-А2,

А і ' А 2— >-А'з.

(5.65)

Сокращенный в соответствии с (5.65)

базис

&С[ЛЬ А2, К і ,

К 2, Кз]

имеет вид

# Л, = 0 0 1О 0 1 1

#

А г =

0 о

0 1 11 !

#

Кі =

1 1

00 0 1

1(5-66)

# К г = 0 0

11 11 1

# Кг = 0 1

00

1О 1

Базис (5.66) между столбцами Ь[Аи Л2І и Ьс[Кі, К2, Кз\, устанавли­

вает следующее соответствие:

/ =

0,

1,2,

3;

(5.67)

і =

1,5

2, 2,6,

3,7,

где / — номер столбца

Ь[А\,

А 21, а

і — номер столбца

стандартного

базиса Ь [ К і , К 2,

К г ] . Выражение (5.67)

показывает, что существуют

23 = 8 различных

решений

последнего уравнения

(5.65)

относительно

К г - Изображающие числа

#Дь # К 2,

# К г

в

базисе

&[ЛЬ

Л 2] для

каждого решения можно получить при различных комбинациях столб­

цов базиса Ь [ К і ,

К 2, К г ]

с номерами і=1,5; 2,6;

3,7 со столбцами ба-

зііса b[Ä\, Ai1 при /= 0; 2;

3 соответственно. Унитарные перестановоч­

ные матрицы

(Еij) X для каждого из решений

К 1)

) = К ^ ) (Л .

Л ), А — 1, , 8; / 7 = 1 , 2 , 3

(5.68)

і

X

0

1

2

3

1

2

2

3

1

5

2

2

3

2

1

2

6

3

3

і

5

2

6

3

4

1

2

2

7

5

5

2

2

7

6

1

2

6

7

7

5

2

6

7

8

А = 1.......

8,

(5.69)

причем # в ™ ( А и A ) = # F { K i ,

Кг, * ,) <g> (£ t,)v

8

8

# G {Ar, Л ) = Е #

G<x> {Аи Л ) = #

F (Кг,

к2,К 3Х8) Е (£*і)ѵ

х=і

Х=і

Перестановочная

(5.70)

матрица преобразования (5.70)

0000

1000

8

оно

(5.71)

(Л'.і) 'Е

0001

0000

’

Х=1

1000

0010

000 J