книги из ГПНТБ / Горелик, А. Л. Некоторые вопросы построения систем распознавания

преобразовании (5.20) матрица (Rij) должна переводить

набор

#Л=О101,

# 0 = 0011,

представляющий собой просто базис b[A, ß], в набор изображающих чисел #Л (Л ', В') и # £ (Л ', В'), вычис­ ленных относительно Ь[А', В'], т. е. в набор (5.21). Таким образом, матрица Rij должна удовлетворять уравнению

Столбцы с номерами і и / переставляются следующим образом: і = 0— >-/=1, і =1 — y j = 3, і = 2— yj = 2, і —

= 3— yj— 0. Если в матрице (Rij) элементы с указанны­

то уравнение (5.30) удовлетворится. При этом преобра­ зование функций Fi и Fi, заданных выражениями (5.23)

и (5.25), получится из соотношения (5.29):

вычисленных относительно базиса Ь[А', В', С', ... ], то матричный элемент RhH= \ l все другие элементы Rij=0.

139

Для квадратной перестановочной булевой матрицы (Rij), содержащей только одну единицу в каждом столб­

це и в каждой строке, существует обратная матрица (Ru)-', равная транспонированной матрице (Rij)T:

№ . 0 - 1= № і ) т = № 0 ,

и, таким образом,

140

отличаются только порядком расположения нулей и еди­ ниц, то, следовательно, существует преобразование пере­ менных вида (5.19), переводящее F в G. Положим в ма­ трице (Ra) элементы Roo, Rie, Rn, Дзг, Rn, Ru, Reu и R13

равными 1, а все остальные Дц = 0. Это означает, что

разряд t' = 0 переводится в разряд / = 0, разряд і = 1 — в разряд / = 6; і= 2 — в / = 7 и т. д. Таким образом мы

выбираем

1000 0000

0000 0010

0000 0001

0010 0000

т0100 0000

0000 1000

0000 0100

0001 0000

Соответствующее данной перестановочной матрице (Ra)

преобразование переменных можно определить с по­ мощью соотношения (5.29), если положить

( Л г ) = # Л (/v ) = # ß , (/ѵ) = # С .

Относительно базиса Ь[А, В, С] получим

1000 0000

0000 0010

/ООН 1010\ = # А ( Л ' , В’, С),

ООП 0101 ] = # Я( Л' В', С'),

\0101 1100/ = # С (А ', В', С).

Откуда следует, что

A ^ Ä ' - C + B'-C', В = А ' -C' + B'-C', С =А'-С '+В'-С ,

142

Обратное преобразование по отношению к данному по­ лучается как.

т. е. А '= А (В + С)+В-С, В’ = А- (В + С) +В-С, С'=А-В + + А - В.

Легко видеть, что найденное преобразование перемен­ ных не единственное, которое удовлетворяет условию

F(A, В, C)=G(A', B', С').

В самом деле, если положить

0010 0000

0100 0000

личных перестановочных матриц (Rij). В отдельных слу­

чаях к замене переменных сводится задача нахождения решения специальных булевых уравнений.

Рассмотрим пример [13]. Предположим, что разведчик, прово­ дивший в течение какого-то времени наблюдения за действиями войск противника с целью получить сведения о тактике вооружен-

143

ных сил, представил своему командованию доклад следующего содержания.

1. На холмистой местности в ясные дни локализованные атаки пехоты сопровождались действиями дальнобойной артиллерии, а не

танков.

2. На равнине в ночное время или при плохой погоде применя­ лась легкая артиллерия и никогда не предпринималось общее наступление пехоты на широком фронте, поддерживаемое тяжелыми

танками.

3. На холмистой местности ночью или при плохой погоде в дневное время использовались тяжелые танки и осуществлялись

ной местности, или же при хорошей погоде на холмистой местности применялись либо локализованные атаки пехоты, либо дальнобойная артиллерия и тяжелые танки совместно с наступлением пехоты на

2)при каких условиях будет предпринято: г) наступление на широком фронте, д) использована дальнобойная артиллерия, е) ис­ пользованы тяжелые танки?

3)если предположить, что битва происходит на равнине в яс­

ный день, то какова будет тактика противника?

Для того чтобы решить эту задачу, выделим, прежде всего,

—атака пехоты — или локализованная, или наступление на ши­ роком фронте. Заметим здесь же, что все битвы происходили с ата­ ками пехоты;

—артиллерия — дальнобойная или легкая;

—танки — тяжелые или легкие (легкие танки вообще не участ­

вовали в сражениях).

В соответствии с перечисленными понятиями введем в рассмот­

лые танки, С' — без танков.

Нетрудно проверить, что четыре пункта в донесении разведчика можно представить следующими булевыми,уравнениями:

1)Ä ■В ■С = Л' • В' ■С',

2)А ■(В + С ) - Б ' - (.Ф Д 7),

3)Л - В + Б - С = Л'-С' + А'-В',

144

Вычислим пО отнрщйнию к базисам Ь[А, В, С] й Ь[А', В', С'] изображающие числа булевых функций в левых и правых частях приведенных соотношений эквивалентности:

Легко видеть, что один набор изображающих чисел может быть получен из другого простой перестановкой столбцов двумя различ­ ными способами. Это означает, что существуют два различных ре­ шения данных уравнений (как относительно А, В, С, так и относи­ тельно А', В', С'), которые можно найти, если произвести соответ­ ствующую замену переменных, переводящую левый набор функций в правый и наоборот.

Исследуем вначале решение, при котором единичными элемен­ тами перестановочной матрицы (Rij) являются /?ог= 1, Ra = h -^26= 1,

/?31= 1, ^43=1, ^54=1, Rq7 = 1, /?70= 1-

Тогда,

0010 0000

0000 0100

0000 0010

(Ru) = 01С0 0000

0С01 0000

0000 1000

0000 0001

1000 оосо

и согласно (5.29) искомое преобразование переменных есть

0010 0000

0000 0100

0000 0001

1000 0000

Откуда находим

а) Л= 5',

(5.35)

б) В = В ' - С '+ В , -С',

в) С=А' - B '+ Ä - B '.

и имеет вид

0101 1010 = 4 М '( Л , В, С),

=1010 1010 = # В' (А , В , С),

,0110 оно = # С ' (А, В, С)

или в явном виде

г) A '= A - C + Ä -С,

е) С’=А - B + Ä - В.

При другом воможном решении единичными элементами пере­ становочной матрицы (Rij) будут = 1, Ris=h Rs7 =l, Взі = 1, R4з=1, /?54=1, Rm=l, Rio—U так что

Соответствующее данной перестановочной матрице преобразование переменных имеет вид:

0010 0000

0000 0100

146

1100 1100\ = # А ( А ' , B’, С ),

1100 ООП = # Д ( Л ', В', С ) , 1001 1010/ = # С (A', B', С ) .

Откуда находим

И, наконец, разрешая соотношения (5.37) относительно переменных А', В', С получаем

/0111 1000\ = 4 М ' (А, В, С),

I 1010 1010 = # £ ' ( Н , В, С),

\0110 ОНО) = # С {А, В, С)

в) при плохой погоде следует ожидать наступления пехоты на широком фронте, поддержанного дальнобойной артиллерией, или же локализованных атак пехоты, сопровождаемых огнем легкой артил­ лерии, причем локализованные атаки пехоты будут поддерживаться наступлением тяжелых танков, либо может быть предпринято на­ ступление пехоты на широком фронте, сопровождаемое огнем даль­ нобойной артиллерии без поддержки танков.

Соотношения (5.36) и (5.38) допускают следующую интерпре­ тацию:

г) наступление на широком фронте будет предпринято на равни­ не при хорошей погоде, или на холмистой местности при плохой погоде (в дневное время), или при хорошей погоде ночью;

д) дальнобойная артиллерия применяется на холмистой мест­ ности;

А-В -С=В '-(В' + С')-(В' + С') ■(Ä'+B') ■(A'+B') =

=W ■{B'-C'+B' -С ) ■(В '-А'+Л'-В')=А' 'B ' -С'.

Следовательно, в сражении, которое происходит на равнине днем при хорошей погоде, будет предпринято наступление пехоты на ши­ роком фронте, поддержанное огнем легкой артиллерии и тяжелых танков.

. Для решения (5.37) найдем

Ав - С = В ' - ( В '■С'+В'-С') ■(А' ■В'+ А' ■C'+Ä' ■В’ ■С) =

=b '-c , -(A'-b /+A'- c '+ ä '-b ' - c,) = a '-b '-c '.

Таким образом, .этот результат не отличается от результата первого варианта.

5.8.СОКРАЩЕННЫЙ ЛОГИЧЕСКИЙ БАЗИС.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ С РАСПОЗНАВАНИЕМ ОБЪЕКТОВ

Любое научное исследование физических или соци­ альных проблем связано с установлением определенных закономерностей, которым подчиняются изучаемые явле­ ния. Эти закономерности могут иметь вид либо количе­ ственных соотношений и выражаться как физические формулы, либо логических соотношений, отражающих связь между событиями.

С примерами логических связей, которые формулиро­ вались как некоторые законы, мы встречались в трех последних параграфах гл. 5, когда рассматривали част­ ные задачи, решаемые с помощью методов алгебры логики. Исходные булевы уравнения, получаемые в ре­ зультате анализа задачи, выделения необходимых по­ нятий и введения соответствующих обозначений, харак­ теризовали степень изученности данной проблемы и определяли в основном те выводы, которые мы в состоя­ нии сделать об интересующем нас предмете.

В общем случае исследуемое сложное явление или процесс можно разбить на ряд более простых взаимо­ связанных явлений или процессов, которые характеризу-

148