книги из ГПНТБ / Горелик, А. Л. Некоторые вопросы построения систем распознавания

соотношение (5.1). Такие функции называются тавтоло­ гиями. Поскольку все тавтологии не различаются между

собой с точки зрения значений истинности, их обозна­ чают одинаково через I. Таким образом, мы могли бы

написать A + Ä = I, А - В + А = I и т. д. Отрицание I, т. е.

I, является тавтологически ложным элементом и обозна­ чается через 0. Легко видеть, что для любого X соотно­

шения (0— к А )= 0 + Х = І и (X— ѵ І)= х + І= І являются тавтологиями, так как не зависят от значения истинно­ сти X. Необходимо отличать тавтологически истинные

элементы от функций, которые истинны вследствие сде­ ланных предположений или физических законов. Первые не несут никакой полезной информации, в то время как

В дальнейшем мы познакомимся с другими возможными формами связей.

Приведем, наконец, основные формулы рассматривае­ мой нами булевой алгебры.

Эти формулы должны рассматриваться как тавтоло­ гии. Справедливость этих соотношений может быть про-

109

верена посредством вычисления значений истинности сложных высказываний в левой и правой частях равен­ ства. Некоторые из этих формул могут быть выведены из других, например, 19-я формула устанавливается с по­ мощью 12-й, 15-й, 7-й, 6-й, 4-й, 3-й и 17-й формул сле­ дующим образом:

А-В + А-С + В - С = А -В + А-С-1 + В-С = А- В +

+А-С- (В + В) +В-С = А - В + (А- С) -В+{ А-С) ‘В +

+В-С = А - В +( А - В ) -С+ В-С+(В-С) -А— А - В + В-С.

5.3.ИЗОБРАЖАЮЩИЕ ЧИСЛА И БАЗИС. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗОБРАЖАЮЩИХ ЧИСЕЛ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИИ

Булева функция считается заданной, если мы можем указать значения истинности этой функции при всех воз­ можных комбинациях значений истинности входящих в нее элементов. Таблицу, которая представляет все воз­ можные комбинации значений истинности некоторого на­ бора элементов А, В, С, ..., называют базисом.

Условимся значение истинности элемента «истина» обозначать единицей, а значение «ложь» — нулем. Тогда для одного элемента А базисом будет

О 1

# А = 0 1

для двух элементов А, В базис содержит 22 столбцов:

0 1 2 3

#А = 0 1 0 1

#5 = 0 0 1 1

для трех элементов А, В, С базис состоит из 23 столб­

цов:

# С = 0 0 0 0 1 1 1 1

и вообще для п элементов А\, ..., А„ базис содержит п

строк и 2" столбцов. Если колонки базиса рассматривать как целые двоичные числа, записанные так, что самый младший разряд их соответствует первой строке базиса,

110

а самый старший — последней строке, то колонки базиса для п элементов представляют собой числа от 0 до 2”— 1.

Будем считать эти числа номерами колонок (столбцов) базиса и пронумеруем сверху каждую колонку. Если ко­ лонки базиса упорядочены и записаны в порядке возра­ стания их номеров слева направо, то базис называется

т. е. (2П)!. Стандартный базис для элементов А, В, С, ...

обозначается b [А, В, С, . . .], причем порядок элементов

в квадратных скобках совпадает с порядком строк ба­ зиса.

Строки базиса называются изобраэюающими числами

соответствующих элементов. Для их обозначения следует приписывать слева от элемента знак ф . Заметим, что по отношению к стандартному базису Ь[А, В, С, ...] изобра­

жающее число фЛ состоит из чередующихся нулей и единиц, ф б — из пар нулей и пар единиц, фС — из чет­ верок нулей и четверок единиц и т. д., так что, например,

в Ь[А, В, С, £>]

# £ > = 0000 0000 1111 1111.

Используя базис, можно перечислить все значения истинности булевой функции при всех возможных комби­ нациях значений истинности элементов, от которых зави­ сит булева функция. Для этого нам потребуется ввести некоторые операции над изображающими числами эле­ ментов, соответствующие операциям над высказыва­ ниями.

По определению, изображающее число суммы двух элементов равно сумме изображающих чисел слагае­ мых:

причем сложение выполняется поразрядно без переносов в высшие разряды по следующему правилу:

0+ 0= 0, 0+1 = 1+ 0= 1, 1+ 1= 1.

Например, по отношению к Ь[А, В, С]

# (Л+ Д + С ) = # (Л + Д ) + # С = # Л + # Д + # С =

= 0101 0 1 0 1 +0 0 1 1 0 0 1 1 + 0 0 0 0 1111 = 0111 1111.

111

Изображающее число конъюнкции двух элементов определяется как произведение изображающих чисел со­ множителей

причем перемножение выполняется поразрядно по тако­ му правилу:

0-0 = 0, 0 1 = 1-0 = 0, 1-1 = 1,

например, по отношению к Ь[А, В, С]

#(Л -С )=#0101 0101)-(0000 1111) = 0000 0101.

Наконец, изображающее число отрицания Ж получается из изображающего числа А заменой в каждом разряде

0 на 1 и 1 на 0, например,

числами. В одном случае эти символы используются для обозначения операций дизъюнкции и конъюнкции над вы­ сказываниями, а в другом — для операций поразрядного логического сложения и умножения изображающих чи­ сел элементов.

Руководствуясь (5.2) — (5.4), можно найти изобра­ жающее число любой булевой функции. Например, по

1100 1100 1100) - (1111 0000 1111 0000)-(0000 0000 1111 1111) =0001 0001 0001 0001+0000 0000 1100 0000 = 0001

0001 1101 0001 и, следовательно, данная функция истин­ на только при таких комбинациях значений истинности элементов А, В, С, D, которые соответствуют столбцам

базиса с номерами 3, 7, 8, 9, 11 и 15. Укажем дополни­

ней мере в тех разрядах, в которых #2Г содержит еди­ ницы.

Используя изображающие числа, можно вывести лю­ бую из формул (1) — (20) булевой алгебры. Докажем,

112

булевой функции. Изображающее число левой части было вычислено в предыдущем примере: оно равно 0001 0001 1101 0001. Изображающее число правой части отличает­ ся от этого числа только на # Л • С -D= (0101 0101 0101

тельно, изображающие числа левой и правой частей рас­

1111 и убедиться, что в 3—7-м разрядах последнего чис­ ла стоят единицы.

5.4.ФОРМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ. ВОССТАНОВЛЕНИЕ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ ПО ИЗОБРАЖАЮЩЕМУ ЧИСЛУ

Рассмотрим методы, позволяющие переходить от за­ дания булевой функции в виде изображающего числа к явному выражению ее через элементы. Мы изложим несколько таких методов, позволяющих получать раз­ личные стандартные формы представлений булевых функций.

Представление в совершенной дизъюнктивной нор­ мальной форме. Пусть имеется множество из п элемен­ тов А і> ..., Ап. Произведение вида Аі-Аг-- ■. -Лп- 1 ѵ4и, со­ ставленное из элементов Л* или их отрицаний Aj и со­ держащее п сомножителей, называется элементарным пронзвеОснием. Из п элементов можно составить 2п раз­

личных элементарных произведений. Легко видеть, что изображающее число каждого элементарного произведе­ ния имеет только одну единицу в одном из 2п разрядов. Выпишем, например, для трех высказываний А, В, С все

возможные элементарные произведения и их изобра­ жающие числа по отношению к Ь[А, В, С]:

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма бу­ левой функции является суммой элементарных произве­ дений. Чтобы по данному изображающему числу восста­ новить булеву функцию в совершенной дизъюнктивной нормальной форме, нужно суммировать те элементар­ ные произведения, изображающие числа которых имеют единицы в тех же разрядах, что и изображающее число булевой функции. Например, 1001 ОНО имеет единицы в 0, 3, 5, 6-м разрядах, поэтому

1001 0110 = # ( Л - Л - С + Л - B - C + A - B - C + Ä - B - С).

Представление в конъюнктивной нормальной форме.

Элементарными суммами для_я элементов A lj_...,An на­ зываются суммы вида A i +A z+ ... + A n- i + Ä n, состав­ ленные из элементов А{ или их отрицаний Aj и содержажащие п слагаемых. Из п элементов можно составить 2п элементарных сумм. Изображающие числа элемен­ тарных сумм содержат только один нуль в одном из 2п разрядов. Для трех высказываний А, В, С, например,

имеем

Конъюнктивная нормальная форма булевой функции представляет собой произведение элементарных сумм. Для того чтобы написать булеву функцию, соответст­ вующую данному изображающему числу, в конъюнктив­ ной нормальной форме, нужно перемножить те элемен­ тарные суммы, изображающие числа которых имеют те же нули, что и изображающее число булевой функции.

Например, число 1001 ОНО имеет нули в 1, 2, 4 и 7-м разрядах, поэтому

1001 0110 = # [ ( H + ß + C) Д Л + Л + + С) • (Л+ ß + C) • ОА + В + С)].

Представление в виде суммы первых импликант. Рас­ смотрим какую-либо булеву функцию F(A, В, С,...). Функция f{A, В, С,...) называется импликантой функ­ ции F(A, В, С,...), если /(Л, В, C , . . . ) ^ F ( A , В, С,... ).

Изображающее число импликанты функции F имеет

нули во всех тех разрядах, в каких имеет нули 4j=ß, на-

114

личие же единицы в разряде ф / влечет наличие единицы в том же самом разряде # / \

Заметим, что если Рі и Р2 представляют собой какиелибо произведения из элементов А, В, С,... или из их отрицаний и Pr+Pz, то Р% получается из Р4 отбрасыва­ нием некоторых сомножителей. Например, А - В - С^~А • С,

А - В - С-+В -С, А- В-+А и т. д.

F= A> B’C + Ä - B - Ü + A - B - C + A - B ' C =

=(А • В • С+А • В - С) + (А • В • С+А • В • С) +

+(Ä-B -С+А- В- С) = А - С + А - В + В-С =

=А - В + В - С ,

то, во-первых, А-С, А-В, В-С все являются импликан­

тами функщш_/7,_во-вторых, поскольку ни один из эле­ ментов А, В, Д С н^ является импликантой F, то, сле­ довательно, А-С, А-В, Д С — первые импликанты F и, в-третьих, импликанта АС несущественная [см. правило (19)]. Запишем столбцы базиса Ь[А, В, С], соответствую­ щие единицам в ф F, в виде двоичных чисел и отметим, как и в Ь[А, В, С] разряды этих чисел буквами А, В, С

в обратном порядке (справа налево):

Объединению импликант А - В - С и А- В- С, отвечающих столбцам 1 и 3 в базисе Ь[АВС], можно поставить в со­

ответствие аналогичную операцию с числами 001 и 011, отличающимися только содержимым 2-го разряда, при­ чем результат последнего объединения, т. е. А • С, выра­

жается как 0x1, где символ X во 2-м разряде указыва­ ет, что элемент В в возникающей импликанте отсутст­

вует.

Аналогично можно объединить повернутые столбцы 001 и 101, а также 010 и 011; в результате получим чис­ ла Х01 и 01 X для импликант А - В и ß • С соответствен­

но. Заметим, что число 0X1 выражает тот факт, что сре­ ди номеров единичных разрядов

могут только столбцы, отличающиеся содержимым одно­ го единственного разряда, то перед началом работы для удобства следует распределить все номера единичных разрядов по группам, объединяя в одну группу такие числа (номера столбцов), которые, будучи записаны в двоичном коде, имеют одинаковое число единиц, на­ пример, если # А = 0111 0100, то числа 1, 2 образуют одну группу, 3, 5 — другую.

Поясним на примере способ нахождения таких первых импликант булевой функции по ее изображающему числу, через сумму которых данная функция выражается. Пусть по-прежнему задано изображающее число #А (Т , В, С) =0111 0100. Разобьем числа, представляющие номера единичных разрядов # А, по группам, как

показано в верхней строке таблицы:

116

Для представления в двоичном коде номера столбца базиса (или, что то же, повернутого столбца), соответствующего той ис­ ходной импликанте, которую мы попытаемся упростить, припишем справа столбец степенных разрядов, отмеченных элементами А, В, С. Пусть 001— представление проверяемой импликанты А - В - С в дво­ ичном коде. Запишем в столбец степенных разрядов число 001 и от­

что изображающее число импликанты. представленной как 0X1, по­ крывает единицу в 3-м разряде Ф А (фЛ • С=0101 0000):

исходным, а 3 имеется в соседней группе номеров, поэтому перей­ дем от 010 к 01X, а против 3 поставим знак V :

117

Разобьем номера единичных разрядов # # на группы по количеству единиц в соответствующих колонках базиса и разместим их в рабо­ чей таблице

убедимся в том, что в соответствующих группах рабочей таблицы

118