книги из ГПНТБ / Горелик, А. Л. Некоторые вопросы построения систем распознавания

го, из тех или других соображений можно полагать, что наиболее вероятные значения признаков объекта, кото­ рые экспериментально определить не удалось, таковы

Наличие указанных данных позволяет определить значения априорных условных плотностей распределе­ ния значений признаков Xlt. . . , по классам й г-, і = = 1,. .. , т, т. е. функций

Решающее правило может быть основано на крите­ рии максимума апостериорной вероятности. Для этого необходимо определить значения апостериорных веро­ ятностей

При рассмотрении этих задач предполагалось, как и выше, что сц = С2 2 = 0 , а с12 = с21 .

4.7.ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ СИСТЕМ

РАСПОЗНАВАНИЯ

Для оценки эффективности вероятностных систем распознавания может быть использован метод статисти­ ческих испытаний. Основой для проведения таких испы­ таний может служить математическая модель, структур­ ная схема которой представлена на рис. 4.3.

Рис. 4.3.

Принцип действия модели состоит в следующем. Для проведения каждого испытания осуществляется фор­ мирование модели объекта, принадлежность которого к определенному классу заранее известна. Формирова­ ние объекта в модели производится с помощью модели­ рования совокупности численных значений признаков,

как непрерывных Г,так и дискретных т/ ( а = 1 , . .. Д;

ß—1, .. . , р). Многократное повторение этой процедуры позволяет определить количество правильных и непра­ вильных решений задачи распознавания, число отказов системы от решения задачи и неоднозначных решений. При этом эффективность системы распознавания можно характеризовать предельной величиной отношения ко-

100

личества правильных ответов тѴпр к общему числу испы­ таний N:

На практике число испытаний N определяется довери­

тельной вероятностью, задаваемой при формулировке задачи исследования.

При построении модели для обеспечения ее адекват­ ности реальной системе распознавания в качестве апри­ орных данных в модели необходимо использовать те же

значения функций f;(Sa), Р(т)Э/г) и Р(П,), z' = l , . . . , т,

которые применяются в моделируемой системе.

В блоках модели первоначально производится обра­ ботка статистического материала для получения априор­

ных характеристик классов /у (Г) и P(-rf|,-). Пусть при­

нято разбиение всей совокупности объектов на т клас­

сов в соответствии с заранее выбранным принципом классификации. Априорная информация представляется в виде т таблиц (табл. 4.1).

Алгоритмы построения функций ft- (£“) и Р | г) изложе­

ны в гл. 2. Формирование объекта проводится в три этапа.

Первый этап — определение номера класса объекта, поступающего на вход алгоритма распознавания. Для этого вырабатывается реализация случайной величины і, (= 1, 2, ..., т на основе известной априорной вероятно­

сти появления объектов г-го класса Р (й г). Технически

101

Третий этап формирования объекта состоит в полу­ чении дискретного признака i f ; этот этап технически

реализуется по «схеме жребиев», т. е. аналогично пер­ вому этапу, а именно, вычисляются количества

Рі < <7г <С А> т0 Т(р = 2 и т. д.

После того как объект сформирован значениями прису­ щих ему признаков, информация о нем поступает в блок классификации. В зависимости от характера исследова­ ния эта информация подвергается той или иной обработ­ ке («ухудшается» в соответствии с точностными харак­ теристиками средств измерения, ограничивается ввиду отсутствия тех или других средств определения при­ знаков и т. д.). В блоке классификации определяется класс объекта при условии, что истинный номер класса, к которому принадлежит объект, не сообщается алгорит­ му распознавания. Найденный в результате работы блока номер класса, к которому отнесен объект, сопоставляется с истинным номером, т. е. с тем, который задавался на первом этапе формирования объекта. При совпадении номеров результат испытания положителен, при несовпа­ дении — отрицателен.

Выходной блок модели определяет правильность рас­ познавания объекта и систематизирует соответствующую информацию для подсчета оценок эффективности распо­ знавания по большому количеству испытаний.

При заданных функциях fz- (?“), Р (if\i) и Р (Пг) и заданном

алгоритме распознавания рассмотренная модель позво­ ляет оценить, как изменяется эффективность системы распознавания в зависимости от объема и качества апо­ стериорной информации о распознаваемых объектах.

103

II.ЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ РАСПОЗНАВАНИЯ

5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

5.1. ВВЕДЕНИЕ

Методы алгебры логики (исчисления высказываний), по существу, необходимы для исследования ряда важных задач из самых различных областей: биологии, медици­ ны, военного дела, автоматики, управления, планирования экспериментов и т. д. — и вообще всюду, где сущест­ венны не только количественные соотношения между ве­ личинами, характеризующими рассматриваемые процес­ сы, но и связывающие их логические зависимости.

Новой областью приложения методов алгебры логи­ ки, обозначившейся в последнее время, является пробле­ ма распознавания объектов. В этой проблеме методы алгебры логики выступают на передний план в двух слу­ чаях: когда отсутствуют сведения о количественном рас­ пределении объектов по пространственным, временным, весовым, энергетическим или каким-либо другим интер­ валам в соответствующем пространстве признаков, а в распоряжении исследователя имеются лишь детерми­ нированные логические связи между рассматриваемыми объектами и их признаками;

когда распределение объектов в пространстве при­ знаков известно, законы распределения ошибок изме­ рения величин, характеризующих отдельные объекты, также заданы, но логические зависимости, связывающие признаки и классы объектов, сложны и не поддаются не­ посредственному анализу.

Примерами задач, для решения которых требуется применение методов алгебры логики, могут служить:

распознавание типа объекта на основе данных наблю­ дения и известных априорных зависимостей между типа­ ми объектов и соответствующими признаками;

установление различных совокупностей признаков распознаваемого объекта, учет которых наряду с уже известными приводил бы к определенному заключению о типе объекта;

анализ информации, содержащейся в каком-либо до­ кладе или сообщении и относящейся к определенным ти­

105

пам объектов, с целью определить, какие выводы можно сделать о данных объектах на основании полученного сообщения;

выбор технической политики предприятия, направ­ ленной на достижение определенного экономического эффекта, если известны некоторые общие закономернос­ ти, связывающие, например, отдельные изменения в об­ ласти технологии производства с расходами на рекламу, наличием запасов сырья и товаров, уровнем производи­ тельности труда, снижением себестоимости продукта и объемом сбыта;

задачи прогноза погоды; выявление закономерностей, связывающих определен­

ные типы объектов и их признаки (задача обучения). Вместе с тем, в настоящее время имеется сравнитель­

но немного работ, где предпринимается попытка приме­ нить аппарат алгебры логики к решению задач распоз­ навания объектов [13— 17]. Это объясняется, с одной стороны, тем, что широкий круг инженеров не в доста­ точной степени знаком с вычислительными методами алгебры логики и, с другой — некоторой трудностью стандартного применения этих методов к решению логи­ ческих задач с числом элементов порядка 20 и более.

Применение методов алгебры логики, основанное на использовании ЭВМ, для решения различных практичес­ ких задач может принести ощутимую пользу. Для того чтобы привлечь внимание инженеров к этим методам, мы стремились доступно и систематически изложить их и показать, как ими пользоваться в тех нетривиальных случаях, когда без формального аппарата невозможно получить какие-либо значительные результаты.

В гл. 5 изложены фундаментальные идеи, лежащие в основе вычислительных методов алгебры логики и свя­ занные с понятиями изображающего числа булевой функции, базиса и сокращенного базиса. Эта глава пред­ ставляет собой переработанный (иногда весьма значи­ тельно) и дополненный новыми примерами материал некоторых разделов книги [13], с чтения которой началось наше знакомство с данным предметом. Эта глава долж­ на ввести читателя в круг основных понятий и идей исчисления высказываний и обрисовать в общих чертах область приложений данного математического аппарата, связанную главным образом с задачами построения ло­ гических систем распознавания объектов.

106

5.2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ. ФОРМУЛЫ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ

По определению, алгеброй *) называется непустое

множество элементов, являющееся ее областью, вместе с некоторым заданным набором операций, которые мож­ но совершать над элементами, не выходя за пределы области. Область алгебры логики состоит из множества высказываний. Высказыванием называется законченное

предложение, которое может иметь два значения истин­ ности: быть либо истинным, либо ложным. Например,

В качестве операций над высказываниями, с по­ мощью которых из данных высказываний можно полу­ чить новые, в рассматриваемой нами алгебре исполь­ зуются логическое умножение, или конъюнкция, логиче­ ское сложение, или дизъюнкция, и отрицание.

Логическое умножение совершается по крайней мере

над двумя высказываниями, что соответствует комбина­ ции этих двух высказываний при помощи связки И и обозначается знаком «•», например, А-В читается «А и Ву>. П о определению, высказывание А-В истинно тогда и только тогда, когда истинны и А, и В одновременно. На­

пример, конъюнкция двух высказываний: «самолет — это летательный аппарат»-«прямое попадание мощного сна­ ряда в цель приводит к поражению цели» является истинным, тогда как. конъюнкция «три — четное чис­ ло»-«применение танков целесообразно» ло^кна.

Логическое сложение совершается по крайней мере

над двумя высказываниями, соответствует объединению этих двух высказываний при помощи связки ИЛИ и обо­ значается знаком « + », например, А + В читается «А или В». По определению, высказывание А + В истинно, когда истинно либо только одно А, либо только одно В, либо А я В вместе. Например, высказывание «танки могут

остановить наступление пехоты» + «собака — насекомое» истинное. Дизъюнкция А + В ложна тогда и только тогда, когда А ложно и В ложно.

*> Точнее, абстрактной алгеброй.

107

Операция отрицания в отличие от умножения и сло­

жения может совершаться над одним высказыванием. Эту операцию мы будем обозначать чертой над буквой, например, Л читается «не Л». По определению, высказы­ вание Л истинно тогда и только тогда, когда А ложно.

Как мы уже отметили, высказывания являются эле­ ментами области алгебры логики и поэтому наряду со словом «высказывание» мы часто будем употреблять термин «элемент». В результате применения операций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания к некоторому исходному набору элементов А, В, С, ... возникают но­ вые комбинированные элементы X, У, ..., которые назы­ ваются булевыми функциями*~> от элементов А, В, С, ...

Чтобы подчеркнуть зависимость функций от данных эле­ ментов, часто пишут: Х(А, В, С, ...), Y(A, В, С,

Рассмотрим _две особо важные булевы функции А + + В и A - B+Ä - B, с помощью которых выражаются опре­ деленные связи между элементами А и В.

Предположим, что булева функция Ä + B истинна.

Тогда в соответствии с определённей операций дизъюнк­ ции и отрицания заключаем, что если А истинно, то В тоже истинно, если В ложно, то А также ложно. Однако

определения операций над высказываниями следует, что А и В имеют одинаковые значения истинности, т. е. А и В либо оба истинны, либо оба ложны. Такая зависимость между А и В называется эквивалентностью и записы­ вается в виде А = В, читается «А эквивалентно В». Если

Среди всех булевых функций можно выделить та­ кие, которые остаются истинными, независимо от того, какие значения истинности принимают входящие в эти

108