Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Горелик, А. Л. Некоторые вопросы построения систем распознавания

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Рис. 4.2.

ствии С	ф о р м ) 'лой Б а й е с а		;равны
Р ( 2 , \| * * , = =о; х Ві = 0)			!і о	СО
Р{ 2 , 1	= і ;	* йі — 0)	II О	-*4

р ( 2 , 1	= о;	a '0j = і)	= 0 ,4 3 ,

я (2 ,1 * а 2 = 1; * „ == і) == 0 ,8 8 ,

Ю
м	І * а , =		0;
	І * а , =		0;
ю	1 А'в,	= : I;
Р ( 2 2	1 А'в,	= : I;
Р ( 2 2	І ^ а	, =	°;
Р ( 2 а 1 ^ =			1

•*«, -= 0) = 0 ,8 2 ,

=0,3 3 ,

*flI == 0) =

х^ --= 1) = 0 ,57,

: 1 ) == 0 ,1 2 .

3.Составим карту штрафов. Будем полагать, что стоимости


проведения экспериментов равны			С(аі) = С (а2) = 100, а			риски приня
тия окончательных решений составляют:
а) без проведения экспериментов
— риски правильных решений
с в,	(z„ -> 2 0	= С йа (z 0 -> Qa) = 100.
Выражение вида Cs	(г0 -» 2t)	означает риск принять				окончательное
решение г0 о том, что объект		cog5 2 j		тогда, когда	он в действитель
ности относится к классу 24, і =			1, ...	, т.	700; Сй (г0 -* 2 0 =
— риски ошибочных решений			Cffi	(z0 -►S2) =

= 600.

Выражение вида Са (г0 -* 2К) означает риск принять окончатель

ное решение г0 о том, что ш £ 2 г тогда, когда в действительности to относится к классу 2g, q, g = 1, ... , т, q ф g-

б) после проведения экспериментов первой стадии

— риски правильных решений

СВі [*, ( * ft) - 2,1 ==

[г, ( XaJ - 22] = 100;

— риски ошибочных решений

в)

после

проведения

экспериментов второй

стадии

— риски правильных решений

СЙ1 !** (*«,.

XaJ

ß,] =

[г, ( Хаі, Х аі)

2г] =

ЮО;

— риски ошибочных решений

CBl[z,(^fll,^ o,)-*S2,I =

500;

Ся, Iz2 {X0i, X aJ

-* 2j] =

300.

Заметим,

что

выражение

вида Csg [z ( Хаft) -* 23]

означает,

что

на основании исхода Х аft опыта аЛ

принято

решение,

что

объект

относится к классу 23, в то время

как

в действительности

он

при

надлежит

классу

2g, g, < 7 = 1 , . . . ,

т;

q ф S-

Произведем расчет значений рисков прекращения эксперимен

тов — р°

а)

Без проведения экспериментов.

что

объект

относится

Риск

принять

окончательное

решение,

к классу Qi

Pmcffi, —

(го

ö,) Р (2:) +

СВш(2Г0 — Q.)

(2.) =.

100-0,6 + 600 -0,4 =

300.

Риск

принять

окончательное

решение,

что

объект

относится

к классу

Рш^а, ~ С8і (20 —►2j) Р, (2,) +

Cffij (г0

2 г) Р (2а) =

700-0,6 +

100-0,4 =

460.

Таким образом, ро°= 300.

стадии.

б)

После

проведения

экспериментов первой

После проведения эксперимента ах.

Если Х аі = 0,

то

риск

принять

окончательное

решение,

что

объект

относится

к первому классу, равен

РшеЙ1 =

СВі \zt (Хаі =

0) -> 2,] Р (2 j!

0) +

Г*. (*„, = 0) -

2,] Р (2г I

Х'ь =

0) +

+ С (а,) =

100-0,43 +

300-0,57 +

100 =

314,

а риск принять окончательное решение, что объект относится к клас

су

равен

P<»s

a, =

CBl [z, ( Xüi =

0) -

2,] P

(QJX^

0) +

CSi \zx (Xai = 0) -

2a] P

(Q, I

X ai =

0) +

С (а,) =

500-0,43 +

100-0,57+ 100 =

372.

Таким образом,

риск прекращения

экспериментов

после проведе

ния опыта а,

исходом

Х Пі =

равен

р®( Ха =

0)= 314,

Если

Ха — 1,

то

риски

принять

окончательные

решения,

что

объект

относится к классу

или

2 а соответственно

равны

= 256 и

Рт^я2 =

438, и значит риск прекращения экспериментов после прове

дения опыта'а, с исходом Х а^ =1

равен р°(А'аі =

1) =-256,

Аналогично после

проведения

эксперимента

аг\

если

Х а = 0,

то Р ^ я , ^ 340 и

значит,

р° (A(Ij = 0)

320;“

если

х а, = 1> то

= 240 и P«,e a, =

520,

значит,

р° (А ^ == 1) =

240.

в)

после проведения эксприментов второй стадии.

Цепочка экспе

риментов а х, а2.

При

Х аг =

X aj =

рше52і =

464,

р(1,е

„г =

372

значит

ро ( Хаз= 0 , Х аі = 0) =

372.

При

АОі= 0

ршейі =

366;

Рш 6ца

568

значит

Р° (2+_ = 1,

2 ^ =

0) =

366.

При AUj =

О;

^ =

рш ейі=414;

472

значит

Р»(Аа і = 0 ,

Х Пі =

1) =

414.

При Х а%= 1;

Х йі =

1 ршеЯі =

324;

Ршейз=

652

значит

р«(А0. =

Х аі =

1) =

324.

Цепочка

экспериментов а2ах со

всевозможными

исходами

приво

дит к следующим значениям:

р» ( Хаі =

0, А'Яа =

0) = 372, р° (Х% =

0) =

414,

Р° ( X ^

1) = 366, p° ( Xai =

1, * öa =

1) =

324.

Произведем расчет значений рисков

продолжения эксперимен-

тов р.

Риск продолжения опытов после

эксперимента

а х

исходом

а)

Х а = 0 равен

7 (АГЯі = 0) = р ( Х аі = 0, Х ^

= о) Р Хаі =0 (Ха,

= °) +

+ Р(2Гаі=0,

Хаг=1)РХаі=0(Ха^ \ ) .

Вероятности исходов

X ch = 0 и X lh = 1

эксперимента

аг после

проведения опыта

я,,

закончившегося исходом Х а^ =

0, соответствен

но равны:

Рх0і =о (Ха, = °) =

Ря, (Ха, =

0 I Х^ =

0) Р (Q, I Х 0і = 0)+

Ря,

(Ха, = 0 12Гаі = 0) Р (О, I Х йі =

0) =

0,2-0,43 + 0,7 .0,57 =

0,49

Р Хаі =0 (*а,

И =

Ря,

(Ха, = 1 I Ха,

0) Р (0Ж| Х ^

0)+

Р®, (Ха, = 1 I Х йі =

0) Р (Sj 1Х а^ =

0) =

0,8-0,43 + 0,3-0,57 =

0,51.

С учетом того, что в данном случае

р(АГ0і, Х а^ ~

р° (Л ^, А я>)

о(АЯі =

0) = 372-0,49 +

366-0,51 =

369

Аналогично при исходе

Х а^ = 1

7 ( А а>

1) =

414-0,34 + 324-0,66 =

355.

	б) Риск продолжения опытов после					эксперимента		а2		с исходом
Х йі = 0 равен
		~?(Х	= 0 ) = 372-0,51 +414-0,49 = 394
	При исходе Х а — 1			опыта а2
		7 (X	= 1) =	366-0,36 + 324-0,63 = 339.
том	в) Риски проведения экспериментов первой стадии							а,	и дг		с уче
	того, что и в данном случае				при любых		исходах экспериментов
д, и аг р ( X		) = р° ( Ха ),		А: = 1,2,	соответственно равны:
		Л	h
	7=314 • 0,42+256 • 058= 281, "р= 320 • 0,4 + 240 • 0,6 = 272.
	Сравнение величин [>° и р дает основание утверждать следую
щее.
тов,	1. Принимать окончательное решение г0, не проводя эксперимен
	нецелесообразно.			следует провести эксперимент а2. При
	2. На первой		стадии
любом исходе эксперимента аг (т.					е.	при	АГ0 = 0	или		Х а^ = 1)
дальнейшее		проведение		экспериментов		нерационально.			При		этом,

если Х 0і = 0, то следует принять окончательное решение z 1(X„t =0)->

~>S2,	т-	е- решение о том, что		распознаваемый объект относится к
классу 2 г. Если Х а =			1, то следует принять		окончательное решение
г, (А'	=	1)-*£!,, т.	е. решение	о том, что	распознаваемый объект
относится		к классу I.

4.6.ЧАСТНЫЕ ПОДХОДЫ К ПРИНЯТИЮ РЕШЕНИИ ПРИ РАСПОЗНАВАНИИ

Мы рассмотрели задачу оптимизации процесса рас познавания. При этом установили, что общий подход к принятию решения при распознавании объектов со стоит в сравнении рисков продолжения и прекращения экспериментов. Эти риски зависят от целого ряда факто ров— мы уже о них говорили. Однако далеко не всегда удается определить значения этих факторов, а подчас даже просто выявить всю их совокупность. В этих слу чаях приходится пользоватьбя некоторыми частными подходами к принятию решений. На некоторых из них и остановимся.

А. Критерий заданного превышения максимальной вероятности по отношению ко всем остальным. Поло жим, в результате проведения опытов определено ѵ признаков объекта и установлены условные апостериор ные вероятности отнесения этого объекта к каждому

г-му классу Qi, і = \ , . .. , т, т. е. величины

Р(СѴа), где а . ^ Х ^ Х ? , Х2 = Х°2 , X = Х ° ) .

Решение о принадлежности этого объекта к тому или

другому классу в соответствии с рассматриваемым кри терием производится на основании соотношения

Р (Qija) ^ ацР (Qj/a),	(4.17)
где ац — некоторые числа для какого-либо	фиксирован
ного і-го класса при всех

При выполнении этого условия принимается гипотеза Ни которая означает утверждение: объект принадле жит к классу Qi. Величины ац связаны с вероятностями

ошибочного решения	следующим образом.	Обозначим
через bji вероятность	принять гипотезу Я*.	в то время
как справедлива гипотеза Ну.
Ьн = Р(Ні \Нj).		(4.18)

Тогда вероятность щ отклонить гипотезу Яг- в то время,

как она справедлива, будет равна

ТП
оц = Р (Н і\Н і) = ' £ І Ьц.	(4.19)
Ш ■

Так как в соответствии с принятым критерием веро ятность не совершить ошибки при принятии гипотезы Ні должна быть по крайней мере в ац раз больше вероят

ности совершить ошибку при том же условии о приня тии гипотезы Ні, то

				m
		1— X ьн
	=			■		(4-20)
Пусть для каждого k-ro класса,				k = \ , . . . ,		m, величины
вероятностей ошибочных решений				bjk, j=/=k, равны меж
ду собой; bik= b2k=	■■■= b m-ih,			тогда	bjk = cnl(m— l).
Если, кроме того,	положить		аі = а2=		. . . — ат = а , то
ßH = a/(m— 1), І^Я,	js^ni,	где	m — число			классов, для
которых Р( Пі \| аѵ) # 0 .	Следовательно,
а ц ^ ( ш — 1)(1—а)/а,		іфі,		1		j ^ m .

Положим aij=(m— 1)(1—а)/а. Тогда, если ао — вы

бранное значение вероятности ошибочного решения, то в соответствии с (4.17) гипотеза /Д принимается, когда неравенство

	Д2 і К )	( m - l ) ( l —а0)		, „ 01ч
	Pi2j\aJ ^	а„		(	'
выполняется для всех ]фі,		j ^ m .	В противном слу
чае	необходимо учитывать	(ѵ+1)-й признак, так как
при	ѵ-х признаках не обеспечивается		уровень	довери

тельной вероятности (1—ао). Например, если вероят ность ошибки принять равной ао=0,05, то для случая двух гипотез вероятность отнести объект к одному клас су должна быть в 19 раз больше вероятности отнести объект к другому классу.

Для трех классов наибольшее значение вероятности

Р (Qi I аѵ) должно быть в 38 раз больше всех		других ве
роятностей P(Q j\|aJ, / ф і ,	т. д.
Значение ошибочного	решения ао может	быть вы

брано из следующих соображений. Пусть при использо вании признаков получено г исключающих друг друга гипотез Нj, j = 1, 2 , , г. Обозначим через Cj стоимость ошибки при принятии гипотезы Hj. Предположим так

же, что при правильном ответе плата не производится. Тогда математическое ожидание платы за одно решение будет равно

г	= £	С р і Р і ,	(4.22)
	/=1
где Pj — вероятности	гипотез Hj, а		ctj — соответствую
щие вероятности ошибок.
Обозначим через	Сѵ+1	стоимость	определения (ѵ+

+ 4 ) -го признака, а через Р* — вероятность того, что на

(ѵ+ 1)-м шаге процесс закончится принятием определен ного решения (например, однозначного решения) .

Тогда после проведения (v-f- 1)-го*эксперимента сред няя плата за ошибки, включая стоимость этого экспери

мента, выразится С(ѵ+1)—[—(1 — Р*) С. Очевидно,	что если
С(ѵ+І) + (1 - Р * ) с ^ С ,	(4.23)

то рационально принять решение на ѵ-й стадии экспери ментирования, а при

С(ѵ+І) + (1 - P * ) C < Ü	(4.24)
рационально проводить (ѵ +!1)-й эксперимент. Перепи
шем предпоследнее неравенство в виде
С(ѵ+1>- Р* £ C5aöPj > 0	(4.25)
/=1	г. Тогда мож
и положим, что ссз = ссо при всех / = 1 , . . . ,	г. Тогда мож
но определить значение а0
а0< С (ѵ + 1)/Р * .£ C f , .	(4.26)
/=I
Б. Критерий идеального наблюдателя	(критерий Зи-

герта — Котельникова). В том случае, когда мы лишены возможности определить числа в соответствии с рас смотренным выше методом, решение о принадлежности объекта к тому или другому классу может быть приня то на основе критерия идеального наблюдателя, исполь зование которого обеспечивает минимум ошибочных ре шений.

Пусть все множество объектов подразделено на два класса fii и ß2 и априорные вероятности появления объ ектов этих классов равны P(Qt) и Р(Й2) соответственно.

Пусть, кроме		того, стоимости правильных решений
Сц = С22=0,	а	стоимости ошибочных решений равны
между собой,	т. е. С12 = С21.

Критическое (пороговое) значение отношения или коэффициента правдоподобия в этом случае равно отно

шению априорных вероятностей
X o=P(fli)/P(ß2).	(4.27)

Пусть в результате эксперимента установлено, что зна

чение признака у распознаваемого объекта	равно Х°.
Тогда коэффициент правдоподобия равен
K(X = X°)=f2(X°)IU(X°).	(4.28)

В соответствии с критерием идеального наблюдателя объект относится к классу Qi, если А,(Х°)<Хо и к классу

Qg> если Я(Х°)>Яо,

Если установлено значение Хо, при котором имеет

место равенство

P(Ql)h(Xo)=P(Qz)f2(Xo), (4.29)

то в соответствии с рассматриваемым критерием объект относится к классу Йі, когда измеренное значение при знака этого объекта А°<А0, и к классу й 2, когда А0>АоКритерий идеального наблюдателя совпадает с кри терием максимума апостериорной вероятности. В самом деле, в соответствии с критерием максимума апостери орной вероятности решение о принадлежности объекта к классу Q,., г —1, .. . , т, принимается тогда, когда

апостериорная вероятность отнесения объекта к этому классу больше, чем апостериорная вероятность отнесе ния его ко всем остальным классам:

если	Р (QrI Х°) =		max Р (Йг-\| Х°), г =	1,..., т.
Апостериорные вероятности			того, что объект	относится
к классам йі и Й2, равны соответственно:
П /П 1Ѵ»\ --			Р (йі) /і (А0)	(4.30)
1	11	j " P (2.) h [X°)+IP (Ö.) h {X')
p (Q i vo\_			E1(S 2) f 2 (yY°)	(4.31)
12	Л '	P (2.) h (*°)+ P (2,) f2 (X'oy		(4.31)
12	Л '	P (2.) h (*°)+ P (2,) f2 (X'oy
Объект относится к классу Qi, если
	P(Ql \X°)>P(Q2\X°),			(4.32)
и к классу й 2,	если Р (й 2\|А0) > Р (й і\| А0).
Граница соответствует равенству
	Р(Й1\|А0)=Я(Й2\|А°)			(4.33)
или с учетом (4.30)		и (4.31)	равенству
f2(X°)lfi (X°)=P(Ql)/P(Q2)=X0.				(4.34)

Таким образом, применение критерия максимума апостериорной вероятности предусматривает в качестве порога критическое значение коэффициента правдопо добия.

В. Критерий заданного превышения максимальной апостериорной вероятности над суммарной апостериор ной вероятностью всех остальных гипотез. Пусть в ре зультате проведения экспериментов установлены значе96

ния п ризн ак ов	рас п о зн ав ае м о го о б ъек та	Х і = Х і °,
X N = X N° и пусть,	кром е того,
Р (Qr I X ?, ..., Х°ы ) = шах Р (й,- [ X ?,		X°N).

Всоответствии с рассматриваемым критерием решение

опринадлежности распознаваемого объекта к классу

Qr, r=l,	, m,	принимается в том случае, если
		Ш—I
m i *	? ......	a d --., s m i а ; ........	и -35)

І = 1

ІфГ

Применение подобного критерия оправдано в тех слу чаях, когда решение о принадлежности распознаваемо го объекта к Пг-му классу сопряжено со значительным риском.

Д. Принятие решений при неполных данных. В ряде практически важных случаев не представляется возмож ным измерить всю совокупность признаков, использо ванных для описания объектов различных классов. По добная ситуация может иметь место вследствие самых разнообразных причин. Например, у врача может не оказаться под рукой той или другой аппаратуры, необ ходимой для определения соответствующих симптомов заболевания, геолог в полевых условиях, как правило, лишен возможности произвести подробные исследования физических и химических свойств исследуемых материа лов и т. д. Более того, мы уже говорили о том, что в самом общем случае планирования работы систем распознавания решение на проведение очередной серии экспериментов или о прекращении экспериментирования производится именно при неполных данных, т. е. когда известна лишь часть признаков, характеризующих распо знаваемый объект. Во всех подобных ситуациях возни кает задача нахождения оптимального решающего пра вила, обеспечивающего решение задачи распознавания

сминимальной ошибкой. Подобное правило может быть

вряде случаев построено на основе определения макси

мального неполного коэффициента подобия. Рассмотрим основные методы решения задачи.

I. Пусть N — общее число признаков, характеризую щих объект со, а k ■— число признаков этого объекта,

определить которые не удалось. Итак, задан объект зна-

7—452

9 7

чениями своих признаков

V	,	Y®	—	Y®	) -■X	О	А
Л	,		—	- д ,А _а	) -■X	,	А
						N —k '

Тогда для определения принадлежности этого объек та к одному из двух классов можно воспользоваться следующим решающим правилом:

öjgr&j, если	P{Q,\X\,...,X*N_k)
öjgr&j, если	(4.36)
	Р<Р*\Х\..... X°N_k) ^
Здесь P(Qj\|X“	— условные апостериорные ве

роятности отнесения объекта к классу Q,{.

В соответствии с байесовым правилом

Р(9.,\Х\,..., X V ,)	P(ßi)h{X\ ......X \ _ k)
	т

S	/>(0МѴ •••• W >
t=1
Р (Q21X0,, X V ,) =	...... (4.37)

2 P ( i ) f t ( X \ . . . . . X ^ ) i=l

где P(Qj), г'=1, 2,— априорные вероятности появления объектов соответствующих классов. И значит, решаю щее правило можно записать в следующем виде:

ce(=Q,, если

<в £ Q,, если

fЛ Х %	.....	x ° N_k) ^ p ^ ) ’
M * °......
fi(x% .....	* V -,)		(4.38)
U (X\,	....	^ ( 2 , ) '

Заметим, что левая часть неравенства представляет собой не что иное, как неполный коэффициент правдо подобия X(Х°і, ..., Х°іѵ_,). Применение приведенного пра

вила является вынужденным, хотя оно может быть весь ма отличным от оптимального.

II. Второй метод может быть использован в тех слу чаях, когда удается определить наиболее вероятные зна чения отсутствующих признаков XN- h+i, . . . , XN, кото рые обозначим через Х*л--ь+і,. . . , X*N.

Пусть в результате проведения экспериментов уста новлены значения следующих признаков распознаваемого

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ