книги из ГПНТБ / Бро, Г. Г. Методика анализа и прогнозирования производительности труда

иое использование новой техники, являются квалификация ра- ■бочих, их технический и культурный уровень и т. д.

Поскольку факторы социальной структуры явно не присут­ ствуют в моделях производительности труда, их влияние кос­ венно отражается через входящие в нее параметры, например, через скорость подвигания очистного забоя. Опосредованные действия социальных факторов и изменчивость их влияния на уровень производительности труда во времени должны отра­ жаться в моделях динамики и проявляться в качестве компо­ ненты, характеризующей «собственное» влияние К ней, очевидно, будет примешана и какая-то собственная часть из­ менчивости влияния фактора скорости подвигания очистного забоя. В математической форме искомая динамическая мо­ дель, характеризующая изменчивость во времени влияния

Исходя из выражения (2.28) и изложенных выше сообра­ жений относительно изменчивости по I всех коэффициентов регрессии Сх. можно записать

Выражение (2.33) представляет собой искомый вид много­ факторной модели, характеризующей закономерности измене­ ния во времени свободного члена динамической модели произ­ водительности труда.

Таким образом, в общем виде математическая модель ди­ намики влияния факторов, обусловленной тенденцией их раз­ вития, кратковременными колебаниями н собственной измен­ чивостью влияния во времени, выразится системой

(2. 34)

Cx = F a{x2, х3, х4, /),

С0 = (х1, х А, t).

§ 11. МЕТОДИКА АНАЛИЗА ИЗМЕНЧИВОСТИ ВЛИЯНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФАКТОРОВ

Выше указывалось, что динамика сложных экономических процессов складывается, как правило, из двух частей: детер­ минированной во времени (учитывает различного рода тен­ денции и закономерности отклонений от них) и случайных ко­ лебаний.

120

На основе системы зависимости (2.34) можно отразить закономерности формирования детерминированной части ди­ намики производительности труда, которые могут быть пред­ ставлены моделью вида

П/ = /75(Л'і, А'4, ,/) -Ь/7! (.Ѵ3, Хі, t)X[(t) +

+ F2(^1, -V'2, x3, X4, t) X2(t) + F3(X2, X3, X4, t)x a{t) +

Если сравнить полученное по модели (2.35) расчетное зна­ чение производительности труда на любой (из анализируемого промежутка) момент времени П( с фактическим уровнем этого показателя па данный момент, то выявится расхождение Д = Пф—П/. Совокупность этих расхождении за каждый год

анализируемого периода Д,- образует отклонения, вызванные влиянием случайных обстоятельств. При этом следует иметь в виду, что каждое случайное отклонение А,-, есть совокупность случайных отклонений коэффициентов регрессии, т. е.

Случайные отклонения А; связаны с различными обстоя­ тельствами: неправильный выбор аппроксимирующих функ­ ций (2.34), характеризующих детерминированную часть дина­ мики производительности труда; заведомо ограниченный (хотя и существенный) набор факторов производительности труда; наличие «шумового фона», обусловленного влиянием мас(;ы случайных факторов и обстоятельств в процессе формирова­ ния производительности труда и др.

В дифференциальном виде с учетом случайной компо­ ненты по каждому из анализируемых факторов модель (2.36) можно представить следующей системой зависимостей

Значения случайных колебаний До, Ді, Д2, Дз и Д4 полу­

чаются для каждого года анализируемрго периода. Эти значе­ ния могут рассматриваться не как случайные величины, а как конкретные реализации случайного процесса, сопровождаю­ щего формирование производительности труда. Задача раз­ работки динамической модели состоит не только в том, чтобы выделить детерминированную закономерность развития иссле­

121.

дуемого процесса, но и в том, чтобы каким-то образом оценить ту часть формирования производительности труда, которая характеризуется случайными колебаниями. Важность получе­ ния таких данных очевидна: они требуются как для оценки погрешностей результатов анализа динамики, так и для опре­ деления ошибок прогноза. С теоретической точки зрения ана­ лиз случайной компоненты формирования производительности труда означает качественно новый этап изучения закономер­ ностей развития экономических процессов.

Сущность анализа изменчивости случайных колебаний в процессе формирования производительности труда (по каж­ дому рассматриваемому фактору в отдельности и по всей их совокупности) состоит в определении наиболее вероятной ве­ личины отклонений, вызванных действием случайных факто­ ров. В дальнейшем найденная, наиболее вероятная величина случайных колебаний (отклонений), суммируется с детерми­ нированной частью процесса и в зависимости от целей иссле­ дования используется либо для анализа происшедших измене­ ний в динамике экономических показателей, либо для целей определения прогнозируемой величины этих показателей в будущем. Определение наиболее вероятной величины случай­ ных колебаний производится на основе тщательного изучения отдельных реализаций этого процесса, получаемых по выра­ жению (2.37).

Поскольку значения Д,- представляют собой реализации случайного процесса, для решения сформулированной задачи могут быть использованы методы теории случайных процес­ сов [8]. Методика использования авторегрессионных моделей для определения математического ожидания случайных коле­ баний сводится к следующему.

Пусть Дь Д2, .. • ,Ді — значения случайных колебаний не­ которого фактора за t временных промежутков. Требуется определить математическое ожидание этой величины. Пред­ полагается. что последовательные величны Ді, Дг, . . . , Д і свя­ заны между собой такими линейными соотношениями, при ко­ торых значение искомой величины Ат в любой момент вре­ мени Т зависит только от предыдущих значений этой величины, т. е.

Ат-і, Ат-2, ■■■, Ат- t — значения случайных колебаний соответ­

ственно на момент предыдущего года (по отношению к пе-. риоду Г), два года, три года и т. д., t лет тому назад.

Построение модели (38) осуществляется на основе исполь­

122

зования метода наименьших квадратов. При этом математи­ ческое ожидание величины А аппроксимируется с помощью линейной комбинации t функций |і ( 0 . Ік(0> которые имеют следующий вид:

ставляет независимые переменные, из них выделяются наибо­ лее существенные, т. е. те, которыми можно ограничиться при разработке модели (2.39).

С одной стороны, увеличение числа переменных £,-(/) по­ вышает точность аппроксимации случайных колебаний и по­ этому не следует брать слишком малое число независимых переменных при построении модели. С другой, может оказать­ ся, что начиная с некоторого числа т, добавление новых пере­ менных £,т+і, Іпі+2 и т. д. приводит к столь незначительному

повышению точности описания исследуемого процесса, что возникающие при этом трудности вычислений не «окупают» получаемых результатов. Общим правилом (качественного ■ характера) при выборе порядка аппроксимирующего много­ члена является учет количества имеющихся данных (размер динамического ряда) и результатов предварительного анализа на основе инженерно-экономических соображений.

На практике для выбора необходимого и достаточного числа переменных факторов %i(t) разработано ряд статистике ских критериев [10]. Основной смысл их сводится к тому, что определяется такое число (т) переменных, при котором до­ бавление других £m+i(0> Іпі+2(0 . !т+з(0 и т. д. несущественно

повышает точность аппроксимации исследуемого случайногопроцесса.

Ниже излагается один из критериев, описанный в ра­ боте [10]. Удовлетворительность описания исследуемого про­

результаты этих отклонений. Для того чтобы определить, на каком порядке авторегрессии следует остановиться, вычисляют несколько моделей типа (2.38) разного порядка с включением

вала). Затем для авторегрессий различного порядка опреде­

имеет распределение х2 с р—т степенями свободы.

123

X

В выражении (2.40) <тр2 — сумма квадратов остатков для

о том, что исследуемый процесс, действительно, представляет авторегрессию определенного порядка.

Авторегрессионная модель считается подходящей, если ре­ зультат испытания ее, по критерию согласия К. Пирсона, под­ тверждает правильность выбора.

Возможны и другие подходы для определения иаилучшей авторегрессионной модели случайных колебаний. Самый эле­ ментарный из них состоит, например» в том, что построив авто­ регрессию для предыдущих .моментов времени, исчисли ютпредсказание па текущий год. Признаком удачного подбора уравнения авторегрессии выбранного порядка служит неболь­ шая дисперсия распределения случайных величин е/. опреде­ ляемых из соотношения

s( = Д Г 1 — (Аъ&г-і -г А2Дг-н -i ~г • • • “Ь А/Д7-_1). (2.41)

Другими словами, выражение (2.41) определяет ошибку в оценке наиболее вероятной величины изменчивости случай­ ных колебаний А/, т. е. ошибку в определении отклонения, вы­ званной случайными колебаниями.

Анализ динамического ряда случайной величины е/ пред­ ставляет значительный интерес при любых способах выбора необходимого количества членов в "авторегрессионной модели.

Без ограничения общности можно полагать, что остатки уравнения авторегрессии распределены по нормальному закону

сматематическим ожиданием,.равным нулю, с дисперсией а2.

Вэтом случае, как известно, легко получить вероятный интер­ вал предсказываемых значений. Действительно, если случай­

имеет /-распределение с п— иг степенями свободы. Исходя из изложенного, можно с определенной, наперед заданной веро­ ятностью ß, предсказать интервал /р, в котором будет нахо­ дится данная величина S,

где Д( — математическое ожидание предсказываемого значе­ ния случайных колебаний; Д?аііТ — истинное значение случай­ ных колебаний.

124

Для получения более точных результатов можно восполь­ зоваться некоторыми другими способами, которые, однако, требуют усложнения вычислений. Кроме этого, в этих случаях, как правило, неизвестны способы получения необходимых оценок.

Перейдем теперь к вопросу о методике определения пара­ метров выбранного уравнения авторегрессии. Выше указыва­ лось, что набор функций, описываемых выражением (2.39), представляет собой независимые факторы искомой модели. В этом случае исходные данные для разработки авторегрес­ сионной модели,' описывающей изменчивость случайных коле­ баний анализируемых факторов, могут быть представлены в виде табл. 26.

Таблица 26

Общий вид исходных данных для разработки авторегрессионной модели

125

Допустим, что одним из Известных методов на основе имеіо* щегося набора переменных факторов li(t) (табл. 26) выбрано достаточное число их: (t) , . . . , £,„(/). В этом случае неизвест­ ные параметры Ль Л2, . . . , А т модели (2.38) находятся мето­ дом наименьших квадратов так, чтобы

П

авторегрессии минимизирует сумму квадратов отклонений от имеющихся наблюдений. Неизвестные параметры такой мо­ дели находятся путем решения следующей системы нормаль­ ных уравнений:

Г\ +Л I + Г]Л2 + • •. 4- гт-1Лm = 0 ,

Г9+ Г1Л1+ Л2+ . . . + Г,п_2Л,п = 0 ,

Гт~\-Гт-\А\ + . . . + Л ТО= 0,

где г1, /’г ,. . ., гт — коэффициенты автокорреляции соответст­

венно первого, второго и т. д. порядков; Ль Л2, . . . , Ат — неиз­ вестные (искомые) параметры уравнения авторегрессии.

В. наиболее удобной матричной форме записи система (2.44)

от традиционной системы нормальных уравнений, составляе­ мой на основе того же метода наименьших квадратов для оп­ ределения параметров обычных корреляционных миогофактор-

126

(гых моделей или параметров уравнений многофакторных регрессий. Основное отличие их состоит в том, что при реше­ нии системы нормальных уравнений (2.44) или (2.45) на вы­ ходе получается модель без свободного члена, в то время как решение обычной системы нормальных уравнений дает регрес­ сионную модель со свободным членом.

Таким образом, решение системы нормальных уравне­ ний (2.44) дает искомую авторегрессионную функцию (2.38), на основе которой можно производить оценку случайных коле­

очистного забоя на уровень производительности труда. Очевидно, что изложенная методика вполне пригодна для

определения математического ожидания величины случайных колебаний при оценке динамики влияния факторов с качест­ венной характеристикой (горногеологических условий произ­ водства: отжима угля, устойчивости кровли, гипсометрии лавы и ее обводненности). В табл. 11 приведены значения коэффи­ циентов Са, Ср, С, и С», которые отражают изменчивость во времени среднего влияния факторов с качественной.харак­ теристикой. При расчете этих коэффициентов для каждого

влияния каждого исследуемого фактора и по своей физической сущности представляют изменчивость случайных колебаний

которые и будут характеризовать усредненное влияние слу­ чайных колебаний горногеологических условий на уровень производительности труда.

Значения ДСі определяются также на основе авторегресси­ онной модели, которая находится путем решения' системы нор­ мальных уравнений (2.44). Результат решения представляется

Исходные данные для составления системы нормальных уравнений (2.44) берутся на основе разработок по каждому исследуемому фактору с качественной характеристикой а, ß,

127

Y и ö по схеме, представленной в табл. 26. В качестве исход­ ного значения (исследуемой случайной функции) для каждого фактора выбирается совокупность полученных величин АС,- по годам анализируемого периода. Независимые переменные (факторы) (/), . . . ,ëm (0 строятся по указанной схеме путем последовательного смещения значений АС,- относительно ис­ ходного набора соответственно на один, два, три года и т. д.

Выбор достаточного числа независимых переменных £,-(/) производится также на основе изложенной выше методики. После того, когда число переменных факторов £,■(•/) выбрано любым из известных методов, весьма важной методической проблемой остается решение вопроса о точности оценок, полу­ чаемых на основе регрессионных моделей вида (2.38) или

(2.46).

Очевидно, здесь возможны различные подходы в зависимо­ сти от целей исследования. Если, например, динамическая модель производительности труда строится исключительно для целей анализа закономерностей формирования этого по­ казателя во времени, видимо, будет достаточным результат, полученный на основе авторегрессионной модели, разработан­ ной по методу наименьших квадратов, при исходных данных, подготовленных по схеме табл. 26.

Если же искомая динамическая модель предназначена для прогноза производительности труда, то требуется, очевидно, несколько видоизменить подход к подготовке исходных дан­ ных и при решении других вопросов. Дело в том, что если ис­ пользовать для разработки авторегрессионной модели изло­ женную методику, то в полученной зависимости случайные отклонения за разные периоды времени входят с одинаковыми весами, т. е.равнозначно. Вместе с тем с точки зрения прогно­ зирования экономических показателей очевидно, что информа­ ция о закономерностях формирования исследуемого процесса в период, непосредственно предшествующий прогнозу, являет­ ся значительно более ценной по сравнению с информацией за более отдаленные периоды времени. Другими словами, для прогнозирования нельзя ставить на один уровень значимость сведений о процессе за различные периоды его развития.

Очевидно, для повышения точности прогнозирования нужно определять авторегрессионную функцию с учетом взве­ шивания коэффициентов, уменьшая вес коэффициентов регрес­ сии, характеризующих влияния на данное состояние системы ее более ранних состояний.

Для получения таких, более точных оценок необходимо воспользоваться некоторыми другими способами, которые, как правило, требуют усложнения вычислений по сравнению с опи­ санной выше схемой. Во многих из этих случаях, однако, пока неизвестны способы получения необходимых оценок аппрок­ симации. В качестве наиболее подходящего, очевидно, следует

128

(