книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала
.pdf80 |
Ч. 1. Внутренняя тонкая топология |
|
и мы |
получаем желаемое |
равенство. Наконец, |
|
и, следовательно, |
и] — |
З а м е ч а н и е . В частности, мы можем предполо жить, что функция и локально ограничена. Отсюда будет следовать, что ц не нагружает полярных мно жеств и, значит, не нагружает множества иррегуляр ных точек границы со.
Т е о р е м а V III. 6. Для всякого открытого множе ства ш е й множество тех его граничных точек, в ко торых со разрежено, имеет гармоническую меру нуль ').
Эта теорема содержится в работах Валле-Пуссена.
Доказательство. Рассмотрим потенциал V |
из тео |
||
ремы |
V II. 6 |
и потенциал U' = ^ u a ^ U . Мы |
видим, |
что |
и |
являются наибольшими гармоническими |
|
минорантами в со для U и U ' соответственно, и сле |
|||
довательно, |
они равны, ибо U = 11' на со. |
Отсюда |
|
Ни* = Ни', и U = 11' на öco П й почти всюду по гар монической мере.
2. Дальнейшие свойства |
функции &£. Л е м |
ма V III. 7. Если супергармоническая функция и не |
|
превосходит конечного числа X, |
то (тонко замкнутое) |
множество тех точек, в которых и = X, имеет тонкую внутренность р-меры нуль, где ц — мера, ассоции рованная с и.
Доказательство. Достаточно доказать утверждение леммы для пересечения нашего множества с открытым относительно компактным множеством т, и далее для
функции щ, положительной в со2 |
65j, |
где со2 отно |
||
сительно компактно, регулярно и |
связно. Заметим, |
|||
что |
«і = (д“')м на |
со,. Таким образом, |
мы приходим |
|
к |
случаю, когда |
и есть потенциал, |
стремящийся |
|
’ ) Так как ftp“ есть гармоническая мера со в х (гл. VI, п. 10),
то этот результат содержится в приводимой далее теореме VIII. 8 (однако ои используется при ее доказательстве, точнее, при доказательстве леммы VIII. 7).
Гл. V III. Применения к выметанию, весам и емкостям 81
к нулю в точке Александрова, и достаточно показать, что множество е, где и = Я = sup и имеет тонкую
О
внутренность р-меры нуль. Но открытое множество а, где и > Я — е, относительно компактно в ß, и и = Я— е на да, за возможным исключением множества точек, где а разрежено. Так как это множество имеет гармоническую меру нуль в а, то отсюда следует,
что H u = R <ua равно Я — е в а. Следовательно, Rue — h
на е и |
Rue — и квазивсюду |
и, значит, всюду. По |
|
скольку |
и совпадает |
с выметенной функцией |
|
то мерц [X сосредоточена на |
Все и ядро или тонкая |
||
внутренность е имеют нулевую р-меру. |
|||
Т е о р е м а V III. 8. |
Пусть |
мера р, соответствую |
|
щая некоторому потенциалу, |
такова, что р(Вс) — 0. |
||
Если множество а полярно и cz Ве или если а — тон кая внутренность множества Ве, то а имеет нулевую
внешнюю Ь^-меру.
Доказательство. В первом случае (когда а полярно) мы можем, расширив множество а, считать его борелевским. Достаточно рассмотреть случай, когда а компактно, а р = е(, х ^ В е. Тогда функция Gx будет
ограниченной на а, то же справедливо для и поэтому соответствующая мера будет на а равна
нулю (см. гл. |
V I, п. 9, ß)). |
Во втором случае мы снова рассматриваем ех (хф Ве) |
|
и применяем |
предыдущую лемму к пространству |
Q \ [х] и супергармонической функции $а (у) — Gx (у). Эта функция равна нулю на Ве\ следовательно, у Ве тонкая внутренность имеет нулевую üf -меру.
3. Приложения. Т е о р е м а V III. 9. Если и — не отрицательная супергармоническая функция, то функ
ция $ еи (которая равна и на В е) зависит на С Ве
только от значений и на тонкой границе множества Ве.
Следовательно, на тонком замыкании множе ства С е определяется лишь значениями и на тонкой границе множества е.
82 |
Ч. 1. Внутренняя тонкая топология |
Доказательство. Будем исходить из формулы
W = ) и (у) dbix {у). Первое утверждение очевидно.
Пусть X е= Се. Если |
х е Ве, то |
|
(х) = |
и (х) и л е ё |
||
и, следовательно, х |
есть тонкая |
граничная точка |
||||
для е. Если же х |
Ве, то доказываемое утверждение |
|||||
следует из того, |
что тонкая граница Ве содержится |
|||||
в тонкой границе е. |
|
|
|
|
|
|
С л е д с т в и е . |
Рассмотрим |
две |
неотрицательные |
|||
супергармонические |
функции |
иь |
и2 |
и |
множество |
|
А — {.г I и, = и2}. Тогда |
щ = äfuf' + |
«і |
и на ядре |
|||
или на тонкой внутренности множества А меры, соответствующие иЛ и и2, совпадают.
Действительно, так как и{ = и2 на (тонко замкну том) множестве А , то это справедливо на тонкой
границе множества А или, |
что то же, множества С А, |
|||
и поэтому на А |
= |
Ж '1- |
С |
другой стороны, |
■ ®и,Л = «! квазивсюду |
на |
А, и |
то |
же верно для и2. |
Поэтому мы получаем требуемое равенство квази
всюду, |
а значит, всюду. |
|
|
|
||
|
Если |
и(, |
и2— потенциалы, |
то |
множества С В с а |
|
и |
К са |
имеют |
меру нуль для |
мер, |
отвечающих |
С А |
|
||||||
и |
Эзи2 у и поэтому равенство, которое мы выше дока- |
|||||
зали, дает искомый результат для мер. В общем
случае мы |
вводим |
открытое |
множество шсгй сг'й |
|||
и |
потенциалы 9tu, = |
3tlh = |
u2 (равные iiu |
и2 на со). |
||
На |
тонкой |
внутренности множества со П А |
соответ |
|||
ствующие |
меры |
тождественны. Отсюда — "искомый |
||||
результат для иь |
и2. |
|
|
|||
Частично это следствие содержится в следующем результате (представляющем собой уточнение теоремы
Валле-Пуссена, |
см. Брело [13]). |
|
||||
Т е о р е м а |
V III. |
10. |
Для |
тех оке функций |
иь |
|
и2^ 0 |
и мноокества |
А, |
что |
и в предыдущем след |
||
ствии, |
введем |
множество А 0, |
на котором иь и2 |
ко |
||
нечны и в точках которого тонко открытое мнооюество а = {х I Ui < гг2] разрежено. Тогда на А а мера ц,, ассоциированная с и2, маокорирует меру р.(, ассо циированную с «[.
Гл..-V U l. Применения к выметанию, весам и емкостям 83
Доказательство. Как и выше, можно свести дока зательство к случаю потенциалов ии и,. Рассмотрим
функции SS?h, которым соответствуют меры, равные Ці, ц2 на множестве А 0 (содержащемся в тонкой
внутренности множества |
Вса). |
Но |
и |
равны |
|||
на а, |
так как они равны |
на тонкой границе а, и мы |
|||||
возвращаемся к случаю, |
когда u y ^ u 2 всюду. |
|
|||||
При этих предположениях рассмотрим компактное |
|||||||
множество |
К <= А 0 |
и открытое множество |
со гэ Д , |
||||
такие, |
что |
ці (ш \ |
/() < |
е и |
ц2(со \ |
Д") < е. |
Пусть |
h — наибольшая гармоническая миноранта для и2 в со;
рассмотрим |
и\ — и\ — h и |
потенциал ц2 = н2— ц. |
Выметенная |
функция |
» определенная обычным |
образом в компонентах множества со, имеет ассоцииро ванную меру, равную ц2 на К с точностью до меры общей массы < е (отметим, что полярное множество точек разреженности К имеет нулевые р,[- и ц2-меры). Разложив и'\ на со в сумму потенциала и'( и гармони
ческой фуНКЦИИ ф ^ О , ПОЛУЧИМ |
= |
—+ (^ф)ш- Следовательно, соответствующая
мера на К мажорируется мерой ц, с точностью до меры
общей массы |
< |
в, и, таким образом, |
ц2(Ю |
(К). |
|
С в о й с т в а |
ф у н к ц и и $Іеи д л я |
г а р м о н и ч е |
|||
с ких и. |
В силу |
аддитивности при изучении свойств |
|||
функции |
9& |
достаточно рассмотреть |
случай, |
когда |
|
и — гармоническая функция.
Т е о р е м а V III. 11. Если и — неотрицательная гар моническая функция, то мера, соответствующая Д)еи, сосредоточена на тонкой границе множества Ве {и, следовательно, множества е).
Доказательство; Прежде всего, в соответствии с последним следствием (или теоремой 10) функции и
и 5Эи, равные между собой на Ве, имеют одинаковые
ассоциированные |
меры на |
тонкой |
внутренности В е. |
Если представить |
в виде суммы потенциала ѵ |
||
и гармонической |
функции |
1г, то |
после выметания |
84 |
Ч. 1. Внутренняя тонкая топология |
|
получим |
. Поэтому V = $ѵ (и h = |
Но |
мера, соответствующая ѵ, сосредоточена на Ве, и это дает желаемый результат.
З а м е ч а н и е . Мы уже упоминали (гл. V I, п. 10, подстрочное примечание на стр. 63 п 64) о теории выме тания Картана [2]. Используемое в этой работе поня тие тонкой сходимости неотрицательных мер (с по тенциалами ф + со), примененное к мерам Дирака ех, порождает, в силу соответствия гх •«-»■ х, понятие сходимости в R", совпадающее с нашей тонкой схо димостью.
4. Примеры весов и емкостей. Свойство Шоке.
Напомним, что в теории Шоке (см. Шоке [1, 5], Брело [20]) общей емкостью (в книге Брел [20] исполь зуется название „истинная емкость“) называется веще ственная (конечная или нет) функция множества ‘S’ (е), определенная на всех подмножествах е отделимого пространства и удовлетворяющая следующим усло
виям: |
і) Ѵ(е) — возрастающая функция; |
іі) |
'S V e J-* |
|
—><S’ (U^a) Для |
всякой возрастающей последователь |
|||
ности |
множеств |
еп\ ііі) ^ {е п) -> 43(Г) еп) |
для |
всякой |
убывающей последовательности компактных мно жеств еп. Множество е называется С-измеримым, если “йДе) = sup*8{К), где К — компакт, / ( с е . Шоке до казал С-измеримость всех так называемых /(-анали- тических множеств (и, в частности, что важно для
нас, всех |
борелевских множеств), содержащихся |
в множестве типа G&. |
|
Пример |
общей емкости можно получить, отпра |
вляясь от конечной вещественной функции 'S’ (/ 0 ^ 0 {К — компакт), удовлетворяющей условиям: а) Ф (К)— возрастающая функция; Ь) ^ {К ) непрерывна справа, что в случае локально компактного метрического про
странства эквивалентно |
свойству ііі); с) ^ (/<] (J -^С2) ~4~ |
- f ‘S’ (7(і fU(2) ^ ^ (Кі)+ |
^(/(2) (строгая субаддитив |
ность). Такая функция Ф(К) называется емкостью Шоке.
Введем внутреннюю емкость
<& ,( е ) = sup'S’ t/C). где /( — компакт,
Д с;е
Гл. |
V III. |
Применения к выметанию, весам |
и емкостям 85 |
|
и внешнюю |
емкость |
|
||
е) |
= |
inf ^ |
(со), где а — открытое |
множество, |
|
о)=>е |
|
|
|
Шоке доказал, |
что ^ ’ (е) является общей емкостью, |
|||
причем условие С-измеримости записывается в виде ‘5’* (е) — & (е). Кроме того, внешняя емкость ^ ‘ (е) счетно субаддитивна,
В рамках изложенной выше классической схемы с пространством Грина Q и гипергармоническими неотри цательными функциями мы изучим в связи со ска занным в гл. IV такие функции множеств:
А(е) — Ry (х), где точка х фиксирована, а ср — ко нечная неотрицательная непрерывная функция,
А,п(е)— J R%(x)dm(x), где функция ср — такая же,
как выше, a m — неотрицательная мера, не нагру жающая полярных множеств и либо имеющая ком пактный носитель, либо такая, что существует супер гармоническая неотрицательная функция V, удовле
творяющая условиям |
и J V dm <-)- со. Примеры: |
а) гармоническая мера ф “а в точке ,ѵ0е со 0, где со0 относительно компактно; Ь) у (е) = ц (Q), где ц — мера, ассоциированная с R%, (функция ф такая же, как выше).
Т е о р е м а V III. 12. Функции А (е), А,п (е) являются весами, причем весами тонкими, непрерывными справа, счетно субаддитивными и типа Шоке. Второй из этих весов есть общая емкость, а если ф, кроме всего, супергармонична, то оба веса являются внеш ними емкостями для некоторых емкостей Шоке. Если множество е содержится в каком-либо фиксированном
Q' cz Q' cz Q, |
то у (е) в Q' |
имеет |
те оке свойства, |
||||||
что |
А т. |
Внешняя |
емкость, |
соответствующая |
у (К) |
||||
при |
ф = |
1, |
называется в н е ш н е й |
г р и н о в о й |
ем |
||||
к о с т ь ю |
(или к л а с с и ч е с к о й |
е мкос тью) . |
Если |
||||||
Ф > |
0 |
и |
т ф О, то |
множество |
е |
будет полярным |
|||
в том |
и |
только в том случае, когда или А,п(е) = О, |
|||||||
или А (е) = |
0 (х ф е), или |
у (<?) = |
|
О (ё cz Q), или его |
|||||
классическая емкость равна |
нулю. |
|
|
||||||
86 |
Ч. 1. Внутренняя тонкая топология |
Доказательство, а) Рассмотрим функцию множества |
|
et—^Рф(-Ѵо). |
Нам известно, что это — тонкий счетно |
субаддитивный вес. Он непрерывен справа. В самом деле, если он конечен, то существует положительная
супергармоническая |
функция и, |
удовлетворяющая |
на е неравенству |
и ~ ^ ф; возьмем |
0 < А . < 1 , тогда |
множество (л;|и^Яф) содержит некоторую окрест
ность а множества е; далее, u^XR% , |
и ^ Х inf Яф |
|
(i) ZD е |
(со — открытое множество), и ^ inf Яф |
и Яф (а0) = |
=inf Я£ (а'о). 0)
Предположим теперь, что функция ср супергармо
нична; тогда из соотношений R*n-> R ^ '1, Яф = Ф на е,
Яф= Яф на С е получаем, что Я*'1(а) -> R ^ n (х). Сле
довательно, Яф есть общая емкость. Кроме того, функция множества R ь-> Яф (а-) строго субаддитивна,
т. е. Яф,и/С: + |
Яф‘лк’ ^ |
Яф'+ Яф3- Это очевидно при |
||||
А е / С іІІЯ г; |
если |
же |
а |
лежит вне этого множества, |
||
то |
нужно |
обе |
стороны |
неравенства рассматривать |
||
как |
решения задачи Дирихле в C (/(1U К 2) с гранич |
|||||
ными значениями, |
равными на (ДЯіІІКг) соответ |
|||||
ствующим |
частям |
неравенства и нулю на бесконеч |
||||
ности. Итак К ^ Яф (а) есть емкость Шоке, и из общих свойств следует, что соответствующая внешняя
емкость есть Яф(а).
Б) Относительно J R%dm или f R%dm ясно, что
это — тонкие счетно субаддитивные веса. Докажем непрерывность справа. Если рассматриваемый инте грал равен + оо или пг = 0, то это очевидно. В про тивном случае существует неотрицательная супер гармоническая функция и, такая, что «^ ср на е
и J udm < + оо (ввиду предположений о пг). Функ
ция Яф есть нижняя огибающая таких функций.
Поэтому Яф = inf tin (согласно топологической лемме Шоке, см. Брело [20], такая убывающая подпоследо
Г л. V III. |
Применения к выметанию, |
весам и емкостям |
87 |
|||||||||
вательность {«„} существует). Введем открытые мно |
||||||||||||
жества ап = |
{х \ип > |
Ѳф}, |
0 < |
Ѳ < |
1. Тогда ип^ |
Ѳ/?“'1и |
||||||
J R$ dm — J |
inf и,j dm = |
l i m |
J un dm ^ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
> 0 inf f |
dm > 0 |
inf |
f Яф dm. |
|||||
Следовательно, |
J R%dm'^ inf |
J R§dm , и значит, |
имеет |
|||||||||
место знак |
равенства. Предельное свойство для ея| |
|||||||||||
следует отсюда немедленно и, таким образом, J |
Rqdm |
|||||||||||
есть общая |
емкость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если функция ер супергармонична, то, используя а), |
||||||||||||
заключаем, |
что J /?$ dm есть емкость Шоке. Внутрен |
|||||||||||
няя емкость множества со есть sup |
[ R§ d m = |
Г R%dm, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
К<=га •' |
|
|
J |
|
|
|
а внешняя емкость |
множества е есть |
inf I |
R%dm = |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
со=эе ^ |
|
|
||
= J /?ф d |
m ( 0 открыто). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
с) |
Свойство |
монотонности |
отображения |
e^ -R % |
||||||||
(е cz £У) в течет за собой аналогичное свойство для у (е) |
||||||||||||
(см. гл. |
V I, |
конец п. 8). Мы используем сейчас_ана- |
||||||||||
логичные рассуждения, а также |
равный |
1 |
на |
|
по |
|||||||
тенциал W (меры V, сосредоточенной в некоторой |
||||||||||||
окрестности границы ÖQ')- Пусть р„, р ассоциированы |
||||||||||||
с Щ? и R у е’1(еп cz й'). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Y(l)ert) = |
j |
Wdn=j |
|
|
|
Kndv= |
|
|
||||
и по аналогичным соображениям Y(en)—>Y(Uen)- |
|
|||||||||||
Если |
ё а |
|
и а з е , |
â c £ l ', |
то, |
как |
известно, |
|||||
= |
|
и |
поэтому |
І?* = |
inf /?“« |
Для |
некоторой |
|||||
убывающей последовательности (coj; отсюда инте |
||||||||||||
грированием |
по |
мере dv получаем у(е) = |
|
Y (®л)- |
||||||||
88 |
Ч. 1. Внутренняя тонкая топология |
|
|
||
|
Итак, у (е) является в Q' весом с требуемыми |
||||
свойствами, а также общей емкостью. |
|
|
|||
Если функция |
ер— супергармоническая, |
то |
функ |
||
ция |
множеств у (/(), подобно R§, |
строго |
субадди |
||
тивна и является, |
следовательно, |
емкостью |
Шоке. |
||
Опираясь на предыдущие свойства, заключаем, что
соответствующие |
внутренняя, |
а |
также |
внешняя |
емкости множества со (соотв. |
е) |
совпадают с у (со) |
||
(соотв. с у (е)). |
|
|
|
|
У п р а ж н е н и е. Для любого e c ë c Q существует |
||||
убывающая последовательность |
открытых |
множеств |
||
такая, что |
у (а п) —>у(е) |
и |
R^n—> R l |
(ф — лю |
бая конечная непрерывная положительная функция). То же верно для внешней емкости, если ф супергар монична.
d) Характеризация полярных множеств является
простым следствием критерия = 0 '(ф > 0).
e) Осталось доказать свойство Шоке. Вместо пер воначального доказательства Шоке мы приведем другое, просто вытекающее из следующего резуль тата, имеющего и самостоятельный интерес.
5. |
Л е м м а |
V III. |
13. Пусть даны множество е с Q |
|||
и точка |
|
0 g Q . |
Тогда |
существует потенциал V, ко |
||
нечный вi |
|
что для любой точки х е ё \ ё |
||||
|
|
х0 и такой, |
||||
|
|
V (у) -> + |
оо |
при г/ е е, |
у -> X. |
|
Доказательство. |
Воспользуемся |
потенциалом U |
||||
из теоремы V II. 6. (с мерой ц). Сначала предположим, |
||||||
что е есть |
база. |
Сужения ц1= р \е, |
р2 — р \Се имеют |
|||
конечные непрерывные |
потенциалы |
ии и2 и Ърх= \і\, |
||||
bp.(Се) = 0. Введем открытые множества ап п Се,
такие, что (ш„)-» 0, и положим ѵп = Ь^1| а„. Можно выделить подпоследовательность мер ѵ„ с потенциа
лами Ѵр, для которых 2 Ѵр(х0) < + оо. Тогда ряд
і Ѵр решает нашу задачу: для |
точки х е ё , х е Се, |
|
lim inf Vp(y) — Ѵр (х) = |
lim inf |
(у) — З&Ь (х) = |
у ^ е , у - > х |
у ^ е , у - * х |
|
= U (х) — % (х) > 0.
|
Гл. VIII. Применения к выметанию, весам и емкостям |
89 |
|||||||||||
Отсюда получается требуемое свойство для |
2 |
ѵр. |
|||||||||||
Для |
произвольного множества е имеем е ст ё = |
В еЦ а, |
|||||||||||
где |
а — полярное |
множество. Сумма функции, по |
|||||||||||
строенной |
указанным выше |
способом для В е, и по |
|||||||||||
тенциала, бесконечного н а а \ |
(.ѵ0}, |
но конечного в „ѵ0, |
|||||||||||
и будет искомым потенциалом. Действительно, |
ё с ё = |
||||||||||||
= .Bella и |
ё \ |
Ве — [Ве \ |
Ве) U (ä \ |
Ве), |
если ,ѵ0е е |
и |
|||||||
х е е \ ё , то х ф х0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
З а м е н а и и е. |
Аналогично |
существует |
потен |
||||||||||
циал W, такой, |
что в каждой точке х е |
ё \ Ве выпол |
|||||||||||
нено соотношение |
W{y) —>- f - оо при |
|
|
Дока |
|||||||||
зательство |
то же |
(надо взять |
х0фе\ |
если e = Q, |
то |
||||||||
ё \ Ве = 0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Л е м м а |
V III. |
14. |
Если |
Ч '— неотрицательная, ло |
|||||||||
кально ограниченная функция, а |
со — произвольное |
||||||||||||
открытое |
мнооісество, |
содержащее |
|
ё \ |
ё, |
то |
|||||||
inf ВжП°Ѵ'о) = 0, Ѵ,ѵ0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
Для |
любой |
|
точки |
х ^ |
ё \ ё |
и |
||||||
любого X существует открытая окрестность а точки х |
|||||||||||||
такая, что потенциал V нз предыдущей |
леммы удо |
||||||||||||
влетворяет на о Л е неравенству Ч; < XV. Если б—объе |
|||||||||||||
динение этих о, |
то мы получаем Ч; > XV на öf]e, и |
||||||||||||
ЯчРѴ'о) < |
XV (х0). |
Следовательно, |
inf Вт/1“ (.г0) = |
0 |
|||||||||
(где |
со =э ё \ ё, |
со |
открыто), и |
это |
0) |
для |
любой |
||||||
верно |
|||||||||||||
точки х0 ф е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тот же |
самый |
результат и то же доказательство |
|||||||||||
сохраняют |
силу для |
со го ё \ В е |
при х0ф е (этот ре |
||||||||||
зультат можно |
получить как следствие леммы). |
|
|||||||||||
Доказательство свойства Шоке получается теперь
просто. Мы |
установим1 его |
сейчас даже |
при более |
|
общих предположениях. |
|
|
||
Т е о р е м а |
V III. |
15. Если |
функция Чг |
неотрица |
тельна и локально |
ограничена, то следующие функ |
|||
ции множества: Вѵ (*0) при любом фиксированном х0;
J Rb dm (х), где мера m ^ 0 не нагружает полярных