книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала

Глава VII

К Л А ССИ Ч ЕСК А Я ТОНКАЯ ТО П О Л О ГИ Я .

ОБЩ И Е СВ О Й СТ В А

1.Будем исходить из пространства Грина П и конуса Ф неотрицательных гипергармонических функ­

в которой функции из Ф полунепрерывны снизу. Это вытекает, например, из того факта, что любая точка х0е й является глобальным пиком для Gx, (см. гл. I, п. 1, и гл. V I, п. 5). Напомним, что классы полярных, строго полярных и пренебрежимых множеств совпа­ дают и что такие множества разрежены в каждой точке.

супергармонической функции ѵ в открытой окрест­ ности со0 точки х0, что

Отсюда следует локальный характер разреженности.

Нужно лишь убедиться, что указанное условие влечет за собой разреженность относительно Q и Ф. Мера, ассоциированная с о в окрестности точки х0, имеет G-потенциал, удовлетворяющий тому же самому неравенству. Возможно также не пользоваться этой мерой, а построить неотрицательную супергармониче­ скую функцию в Q, которая вблизи х0 с точностью до гармонической функции совпадает с ѵ (см. аксиома­ тические теории).

Т о н к а я т о по ло г ия в е?-п р о с т р а н с т в е . Если в качестве определения разреженности принять свой­ ство, указанное в предыдущей теореме, то дополне­ ния к разреженным множествам будут удовлетворять аксиомам для окрестностей (как в любом гриновом подпространстве) и определят так называемую тон­ кую топологию данного пространства; она индуцирует

слабой разреженности. Необходимым и достаточным условием разреженности е в ,ѵ0 является выполнение

полуполярность^ полярность^ пренебрежимость.

Доказательство. Полунепрерывность снизу и нера­ венство со средним для супергармонических функций показывают, что Q \ {х0} неразрежено. Дальнейшие свойства являются следствиями результатов гл. V, п. 4.

Заметим, что полярные множества разрежены в любой точке (и не содержат неполярных точек). Разреженность множества е в х0 сохраняется при выбрасывании из е или добавлении к е полярного множества.

Т е о р е м а V II. 5. Пусть а — окрестность точки х0, а V — конечный непрерывный потенциал > 0 на Q. Неразреженность множества е в х0 эквивалентна тому, что равенство

РѵПа(хо) = и(х0),

выполняется в одной из следующих ситуаций:

а) для всех а и ѵ,

ß) для всех V и для какой-нибудь одной а, у) для всех а и для какого-нибудь одного ѵ.

Доказательство. Если дго^е, то І?оПа(хо) == <Rono(xo).

Из предложений II. 4 и II. 5 вытекает эквивалентность неразреженности условию у), а также необходимость условий а) и ß). Далее, пусть выполнено ß). Из раз­

Runa (хо) < U (хо). Значит, е Г) сг и е неразрежены. Пусть Если точка х0 не полярна, то имеют место неразреженность и одновременно а), если же х0 полярна, то наше утверждение эквивалентно анало­

гичному утверждению для е \ (x0).

множества е множество тех точек, где оно разрежено, совпадает с множеством {х, Ru (х) < U (х)}.

показывает, что указанное неравенство влечет за собой разреженность, а как мы только что напоминали, из разреженности следует неравенство.

Т е о р е м а V II. 7 (Брело [5,6]). Мнооюество тех точек из е, где е разрежено, есть полярное множество.

Доказательство. Очевидно, что Ru — U на е,

а теорема сходимости показывает, что Ru = Ru квазивсюду.

С л е д с т в и е . Полярное множество е можно оха­ рактеризовать, как множество, разреженное в любой точке, или как множество, разреженное в любой точке из е, или, наконец, как множество, образованное полярными тонко изолированными точками.

У п р а ж н е н и е . Доказать теорему V II. 7 без при­ влечения U, используя счетный базис открытых мно­ жеств и критерий из теоремы V II. 4.

Применяя топологическую лемму Шоке (см. Брело [25], гл. 1), видим, что для некоторого счетного подсе­ мейства {еіп}

тых) множеств с точностью до полярного множества совпадает с пересечением (объединением) некоторого счетного подсемейства данных множеств.

Это — частный случай общих результатов Дуба [8].

П р е д л о ж е н и е V II. 11. Для любого семейства тонко полунепрерывных сверху функций іц существует счетное подсемейство іц , такое, что inf щ = inf ui квазивсюду.

Г л. V III. Применения к выметанию, весам и емкостям 79

Т е о р е м а V III. 5. Пусть Е — множество иррегу­ лярных граничных точек открытого множества со.

ческой минорантой и ').

Доказательство. Если через ѵ* обозначить наиболь­ шую гармоническую минораиту в со функции о (супер­ гармонической и неотрицательной), то, как мы знаем, (üj + о2)* = yj + о* (гл. V I, п. 6, у)). Поэтому мы рас­

смотрим сужения р,ь Цо меры ц на со и на С а с по­ тенциалами ии и2. Мы знаем, что на со равенство

=«9 (это гармоническая функция в со) имеет место

втом и только в том случае, когда мера д2 нагружает только базу множества Ссо, Т. е. не нагружает Е .

тельно компактно. В общем случае введем возрастаю­ щую последовательность Qp, Qpc:Q , U Q p = Q, и поло­ жим ф„ равным ѵп на да П Q и нулю в других точках.

ваемой наилучшей гармонической минорантой) и наибольшей гармонической минорантой равна J С х (у) dp. (у), где функция Gx

П е с о ) продолжена на с?со таким образом, чтобы при продолже­ нии нулем на Ссо получилась субгармоническая функция в й \{.т} (такое продолжение единственно). Для ограниченных со в- R” это результат Брело, полученный способом, принадлежащим Фростману; см. ссылки у Брело [25].