книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала

ций. Мы вводим специальный порядок следующим образом:

вается в общем случае. Множество всех неотрица­ тельных супергармонических функций образует пол­ ную решетку относительно специального порядка. В случае потенциалов из бэлее слабого условия и ^ і і 2

Грина, а) На компактном полярном множестве е су­

ированной мерой р) конечна на полярном множестве е,

а также в борелевском множестве, на котором и ко­ нечна. Поэтому мы можем считать, что е борелево и даже компактно, а и — потенциал меры р. Рассмо­ трим множество Кп. — [х п] и соответствующую

= | udv конечен, откуда ц(/(п) = 0 и ц(е) = 0.

у) Нам потребуется существование конечного не­ прерывного потенциала U > О, обладающего следую­ щим свойством: для каждой точки х0 е Q он допу­ скает разложение U = u\-\-u2, где и ,— конечный не­ прерывный потенциал, а и2— конечная непрерывная функция ^ 0 , для которой х0 есть глобальная точка пика (см. гл. I, п. 1).

Покроем Q счетным числом открытых множеств со/( таких, что ш,- компактно, не содержит точек на бес­ конечности и содержится в некотором Ѵх, и открытых множеств со', которые содержат точки на бесконеч­ ности. В каждом множестве со,- рассмотрим конечный непрерывный потенциал V;, порожденный мерой, рав­ ной нулю вне и,-, а в со; являющейся прообразом меры Лебега на со! (образе со,-). Если х0е со,-, то мы

рассмотрим множество со', образ которого есть шар

с центром в х'0, и функцию Ѵ\, полученную из Ѵі за­ меной ее на со*, функцией, образ которой есть интеграл

Пуассона для шара. Тогда функция Ѵі— Ѵ\ равна нулю вне соJ-, а в со! является функцией, образ которой есть

Рассмотрим теперь со' и содержащуюся в нем точку на бесконечности Х ‘. В случае п > 2 мы пола­ гаем Ѵ‘ равной функции Грина с полюсом в X 1, а при л =2 определяем на некотором множестве со} с: со' меру

так, чтобы ее С п-потенциал был конечен и непрерывен,

а G “ 1-потенциал, продолженный нулем, был также не­ прерывен и имел точку пика в X 1 (это можно сделать, переходя к образам и используя инверсию) и в качестве V 1берем Ой-потенциал этой меры. Наконец, мы рассма­

б) Уточнение аппроксимационной леммы п. 6, ß).

Если функция f конечна, непрерывна и неотрицательна на Q и равна нулю вне компактного множества К а О ,

^ О

а К і<=й—такое компактное множество, что Ка:Кі<аКи то существуют конечные непрерывные (?я-потенциалы

лемму п. 6, ß), получим (^'-потенциалы иь и2, такие,

в йі \ К 2 решениями задачи Дирихле с граничными значениями, равными нулю на дЙ] и соответственно и'ѵ и'2 на дК 2■ Продолжив эти функции нулем, мы

получим конечные непрерывные всюду функции суб­ гармонические вне К 2- Эти функции U b U 2 предста­ вляются в й локально, а следовательно, и глобально как разности конечных непрерывных Оя-потенциалов (мер, сосредоточенных на К :) до,— w\ и w2— w2 (это

представление справедливо с точностью до гармони­ ческих функций, которые в данном случае равны нулю). Легко видеть, что до, + w2 и до2 + w[ и могут

быть взяты в качестве щ и ѵ2.

10.Приведенные функции и выметание '). Возьмем

снова в качестве й пространство Грина, а в качестве

') Выметание здесь и далее строится для любого множе* ства е по методу работы Брело [8] 1945 года (несколько усовершен­ ствованному). Этот метод может быть обобщен и приспособлен к аксиоматическим теориям гармонических функции; при раз-

64Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

Ф— множество неотрицательных гипергармонических

или условие Ry — 0 где-нибудь, или же условие Ri < 1 всюду — все эти условия эквивалентны тому, что множество е полярно, а также тому, что оно прене­ брежимо. _

b) Rv (x) = inf I -7?pdp“ , где g — семейство откры-

тых окрестностей точки л*.

c) Rф= R% на С е и квазивсюду на е.

d) /?ф есть наименьшая гипергармоническая функ­ ция, которая ^ 0 на Q и ^ ф квазивсюду на е (а по­ тому не изменяется при изменении е на полярное

множество). Заметим еще, что І?Іе = Щ . RФ

e) Если ф„ \ ф, то Ryn | ЯФ; если еп f е, то Я*'*.Т Щ,.

вернутом изложении он базируется на большой теореме сходи­ мости. Совершенно иной метод был указан несколько позже

ранств и положил начало обобщениям в иных направлениях. Что касается предшествующих работ Валле-Пуссена, Фростмана и других по теории выметания в основном для случая компакт­ ных множеств, см. библиографию в Брело [14].

Упомянем еще о выметании второго типа, которое полу­ чается, если в d) (см. п. 10) заменить слова „квазивсюду на е" словами „за исключением множества, все замкнутые подмноже­ ства которого полярны“ . Соответствующие этому случаю рас­ суждения см. в статьях Брело [8] н Картан [2]. Они предста­ вляются нам не столь полезными и не будут здесь рассматри­

ваться. Для функций Ry, и Щу где IF — неотрицательная

супергармоническая функция, могут быть получены дальнейшие свойства и даны другие доказательства устанавливаемых здесь свойств (без использования задачи Дирихле и большой теоремы сходимости), которые сохраняют силу и в более общих аксио­ матических теориях (см. Бобок, Константннеску и Корня [2]).

Следовательно, $fäana'(xo) < ѵ (хо), и получено про­ тиворечие.

b") Для всякого компакта k и ,v0<=ö& имеем

kv = Rvk на к, и устойчивость точки х0 эквивалентна условию

Ruk(xо) = ѵ{хо)

для всех конечных непрерывных потенциалов ѵ.

c') Отображение v н—> $1 аддитивно. Действительно, в силу а') это верно для замкну­

тых е; согласно п. 10, е), это верно для открытых е; для любых е и непрерывных ѵ это следует из f); на­

используя е). Отсюда следует аддитивность отобра­

Ввиду е) и {) достаточно рассмотреть только слу­ чай, когда е замкнуто или даже компактно. Если х, у находятся в Се, то искомый результат вытекает из того факта, что для любого потенциала и ^ О , конеч­ ного и непрерывного на де, наибольшая гармониче­

или обе эти точки не полярны и по крайней мере одна из них находится в е, то мы используем свой­

жат е, причем х не полярна, а у полярна, то мы можем снова добавить к Се окрестность точки у.

12. Свойства, относящиеся к выметенным мерам. е') Для любой супергармонической функции ѵ ^ О на Q

Прежде всего, если функция ср^О конечна, не­ прерывна, имеет компактный носитель и представляется

щается на случай любого потенциала и любой супер­ гармонической неотрицательной функции (нужно ис­ пользовать возрастающие последовательности подхо­

ской мерой в X для со. Отсюда можно вывести, что для любого открытого со мера Ь?х есть сужение на да fl й гармонической меры в х0 для со').

множества е выметенные меры р', ѵ' и их потен­ циалы u', ѵ'. Тогда

I и dv' = | v' dp = I и' dv = J V dp'.

Это следует из (7).

f f) Мера b% есть интеграл семейства мер bl по мере р, т. е. для любой конечной непрерывной функ­

ции ер с компактным носителем интеграл J ф dblx

является ^.-суммируемым и

Более общо, мы покажем, что если функция ф

(^-суммируема, то интеграл J я[idblx имеет смысл

dp -почти всюду и

*) Исторически интегральное представление ff“ в R3 было

получено (Валле-Пуссен []]) при помощи меры, соответствую­ щей другой процедуре выметания.

При доказательстве достаточно рассмотреть слу­ чай ер, ф ^ О . Когда ф является потенциалом, резуль­ тат верен. Далее, согласно аппроксимационной лемме

ным носителем и мажорируется некоторой константой,

Отсюда следует формула (11). В случае общей функ­ ции ф введем последовательность ф„ J, полунепрерыв­ ных снизу функций !>ф , а также последовательность

откуда (ф (Q) (Q) (см. конец п. 8). Отме­ тим, что это — следствие случая ц = гх (соответствую­ щее свойство получается из формулы (8)) при ѵ = 1.