книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала

очевидным образом определяются интегралы I f и I f. Они либо равны + 00 или —Dоо, либо являются гарионическими функциями в ßtv

Задача Дирихле для данного открытого множе­ ства со состоит в отыскании гармонической в со функ­

ции, стремящейся в каждой граничной (в R") точке к заданным на öco граничным значениям. Для задан­ ной вещественной граничной функции / не может

быть более одного решения; в случае шара Вуа и не­ прерывной конечной функции / решение существует.

В качестве основных следствий свойств интеграла Пуассона J f отметим следующие:

а) Локальный критерий гармоничности. Функция и гармонична тогда и только тогда, когда она конечна, непрерывна и для каждой точки у0 существует такое

е > 0, что при г < е имеем и (г/0) = | и do^.

ß) Свойство сходимости. Для любого направлен­ ного по возрастанию семейства {«,) функций, гармо­ нических в области со, sup Ui есть либо + оо, либо гармоническая функция.

у) Положительные гармонические функции в обла­ сти со, равные 1 в некоторой точке х0<=со, равно­ степенно непрерывны в точке х0, а также в любой другой точке. Поэтому рассматриваемое множество функций компактно в топологии равномерной сходи­ мости на компактных подмножествах области со.2

2.Гипергармонические и супергармонические

и достаточно малых г.

Справедливы те же утверждения, аналогичные утверждениям а) — с) п. 1 (правда, лишь для мини­ мума в утверждении а)), а также факт сохранения гипергармоничности в открытом множестве со при предельном переходе по возрастающей последова­ тельности или направленному по возрастанию семей­

Будем говорить, что и — гипогармоническая функ­ ция, если функция — и — гипергармоническая.

Вобласти со гипер-(соотв. гипо-)гармоническая

функция и либо всюду равна + °о (соотв. — оо), либо конечна на плотном множестве и локально сум­ мируема по мере Лебега. В последнем случае функ­ ция называется супергармонической (соотв. субгар­ монической). Пользуясь интегралом Пуассона, можно для заданной супергармонической функции и построить возрастающую последовательность конечных непре­ рывных супергармонических функций, сходящуюся к и.

О б о з н а ч е н и я :

3.Понятия, связанные с точкой А. (См. Брело [6].)

Пусть открытое множество со er R" содержит точку Александрова А. Функция и называется гармониче­ ской в со, если она конечна, непрерывна, гармонична

полунепрерывна снизу, гипергармоническая вне А и

значим через Ву0(эта внешность содержит Л), положим

проблемы Дирихле, определения гипергармонических функций, замены в В'ц[ гппергармонической функции и

в'Г

на І аУа). Вся предыдущая теория легко обобщается на этот случай.

4. ^-пространства. (См. Брело и Шоке [1].) Ш-про­ странством называется связное отделимое простран­ ство, обладающее следующим свойством. Для каждой точки X существуют открытая окрестность V х и гомеоморфное отображение г/1— т л (£/) этой окрест­

ности Ѵх на открытое множество в Rrt, удовлетво­ ряющее следующему условию: для любых двух точек х и х2 соответствие между точками г, е m.v, (Vx. f) Ѵх) и Zi e №Xl(V fl Vx,), определяемое равенством m~1(2 ,) =

= itt“ 1 или, что то же самое, соответствие при отображении in^ otit“ 1, является изометрией (при этом точки, соответствующие точке Л, называются точками

на бесконечности), либо, в случае я = 2, конформным отображением (первого или второго рода).

Такое пространство локально связно, локально компактно и метризуемо. Всякое его связное подпро­ странство есть также éf-пространство. Точки на бе­ сконечности образуют изолированное множество.

Примером (^-пространства может'служить любая область в Rrt.

Определения гармонической, гипергармонической, супергармонической функций являются локальными и сводятся к соответствующему свойству на образе Ѵ'х.

Jf-пространстве или на открытом его подмножестве любую неотрицательную супергармоническую функ­ цию, у которой наибольшая гармоническая миноранта

на со щ продолженная нулем, будет гипергармониче­ ской в й; эта функция ^ — ѵ и поэтому мажорирует

лучим для конечных непрерывных потенциалов ѵ

неотрицательные супергармонические функции и функ­ цию + оо. Тот же выбор используем для любого связного подпространства в £2. Отметим счетнуоі

жительная ') супергармоннческая функция, равная + оо на е (а может быть, и в других точках). Эту функцию

множества будем называть полярным, если оно является таковым в каждой компоненте связности. Отсюда вытекает, что оно является строго полярным относительно конуса неотрицательных гипергармони­ ческих функций на данном открытом множестве. Множество е называется локально полярным, на открытом множестве со, если для всякого х е со суще­ ствует открытая окрестность со0 точки х, такая, что е П «о полярно в со (эквивалентное определение полу­ чим, рассматривая только окрестности точек из е)*2). Будем говорить квазивсюду, имея в виду „за исклю­ чением некоторого локально полярного множества“ .

') Без требования положительности мы получили бы поня­ тие, эквивалентное локальному определению в пространстве Гр-ина (см. ниже); однако в общей аксиоматической теории, когда нет положительных потенциалов, это было бы уже не так (см. статью Анаидама, в Ann.. Inst. Fourier, 22 (1972),

№4).

2)Здесь нужно рассматривать окрестности в R", включая А

.наряду с- другими точками.

кально ограниченная снизу, может быть продолжена, и притом единственным образом, до супергармони­ ческой функции в со. Отметим также, что если со связно, то со \ {е} также связно.

5. Пространство Грина и функции Грина, ^-про­ странство Q называется пространством Грина, если

на Q существует положительный потенциал или, что равносильно, положительная супергармоническая функ­ ция, отличная от константы. Область со в простран­ стве Грина является снова пространством Грина; область со в (^-пространстве, не являющемся про­ странством Грина, будет пространством Грина тогда и только тогда, когда множество Q \ со не локально полярно. В пространстве Грина всякое локально по­ лярное мнооісество полярно и даже строго полярно или, что эквивалентно, пренебрежимо. В простран­ стве Грина все потенциалы, гармонические вне дан­ ной точки х0, пропорциональны. Сейчас мы выделим один из этих потенциалов и назовем его функцией

Грина G% или G.vv Выделение осуществляется с по­ мощью следующего условия: вблизи х0 этот потен­ циал является такой функцией f(x), что функция /(nt“ 1(л/)), где х' — ѵкх^\х), с точностью до гармони­

ческой функции равна /г( \х' — xj|), если х'0 Ф А (где А — это точка Александрова пространства К"), и равна

.являются пространствами Грина.

= J fdp°, и f разрешима в том и только в том слу­

чае, когда она 'dp^-суммируема для всех точек х или

хотя бы для одной точки в каждой компоненте Q (теорема о разрешимости из Брело [3]).

З а м е ч а н и е . Если ѵ супергармонична и имеет гармоническую миноранту, то наибольшую миноранту можно получить как предел

Ни11 (Qn с; Q, Q„ f , U Й„ = Й).

Равенство нулю этого предела характеризует потен­ циалы.

В качестве следствия аддитивности отображения f 1—> Н f для разрешимых функций f получаем адди­

тивность наибольшей гармонической миноранты для функций V (супергармонических ^ 0 ) . Это же можно получить непосредственно, используя аддитивность потенциалов (см. подстрочное примечание на стр. 53).

Необходимым и достаточным условием для этого

функции f имеем lim sup H f (х) ^ lim sup f (у).

существует конус (с вершиной X' не на бесконеч­ ности), непустая внутренность которого вблизи X ' лежит вне образа КА Пй. Это дает возможность по­

Теорема сходимости позволяет показать, что мно­ жество иррегулярных точек области (и, значит, лю­

субгармоңична вне х0. Предельная функция Gx", про­ долженная нулем и затем регуляризованная с помощью lim sup, будет субгармонической (вне х0) и будет на <ЭЙ отличаться от' нуля на локально полярном множестве, которое совпадает с множеством иррегулярных точек.

О б о б щ е н и е . Рассмотрим ^-пространство й0 и '

рим в й0 гриново открытое множество Й. Можно

ление огибающих и теоремы о разрешимости. Для функции /, заданной на некомпактном Q0, будем обоз­ начать ft ее продолжение нулем в точке А. Тогда

получают смысл обозначения Н}'°. Сохраняют силу замечание об аддитивности наибольшей гармонической миноранты, определение и свойства регулярности точки

нические в некоторой открытой окрестности множе­ ства К функции о, удовлетворяющие условию