книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала

40Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

Те о р е м а V I. 12. Пусть /0— конечная непрерывная положительная функция на Q. Предположим, что для

вен). Свойство Шоке эквивалентно следующему свойству.

Для всякой тонко полунепрерывной сверху функ­

оФ< ф < / ) .

Это— непосредственное следствие из IV . 11 и IV . 12. Установленная эквивалентность показывает, что аппроксимационное свойство, выражаемое последним равенством, может быть интерпретировано как свойство

компактно и имеет счетный базис, а Ф С-замкнуто. Тогда для конечных непрерывных функций f0> 0 свойство Шоке для веса Щ о) не зависит от выбора /0

и эквивалентно соответствующему локальному свой­

іпГ/?®* = 0. ■

іh

Это эквивалентно равенству

іп Л Ь = 0

іг’

,—s

(мы пишем R% вместо r Q.

Действительно, второе, априори более слабое усло­ вие показывает, что в любом открытом множестве а при любом е > 0 существует точка х и для которой

R efl (лг2) < Зе. Таким образом, множество, где inf Ref‘ <

< Зе, плотно, откуда вытекает и свойство /0-исчезания.

О д н о п р и м е н е н и е . Справедливость свойства

Шоке для веса Rt{X0) или даже для веса Ща(х0) для любой фиксированной функции f0^ 0 и любой фикси­ рованной точки х0 влечет за собой следующее: для любых множества е и семейства открытых множеств cof,

42 Ч. t. Внутренняя тонкая топология

У п р а ж н е н и е. Найти дополнительные предпо­ ложения, при которых равенство inf Ref‘ (х0) = 0 (для

одной функции /о и одной точки х0) эквивалентно fo-исчезаниго семейства (б;).

9. О теории Фугледе [2, 3]. Фугледе рассматри­ вает общую емкость, которя есть не что иное, как непрерывный справа счетно субаддитивный вес, обла­ дающий еще свойством: р (U а„) = sup р (а„) для любой возрастающей последовательности множеств а„. Сна­ чала он доказывает, что если Q имеет счетный базис открытых множеств, то всякое (непустое) семейство квазизамкнутых множеств (е;) содержит счетное под­ семейство, пересечение которого содержится в ка­ ждом е; с точностью до множества щ нулевого веса. Далее он изучает в рамках нашей схемы с конусом Ф следствия следующих аксиом:

1)Рассматриваемый вес тонкий.

2)Множество точек ,ѵ е Е , где £ \ {х} разрежено, имеет нулевой вес.

Заметим, что аксиома 2) в классической теории по­ тенциала в R" (см. п. 2 и гл. V I, где Ф является множе­ ством всех неотрицательных гипергармонических функ­ ций) есть ключевая теорема, так же как и свойство Шоке. Однако в соответствующей теории для про­ странств Грина (см. гл. VI) свойство 2) не имеет места,- если только не исключить неполярные точки. В аксио­ матических теориях гармонических функций, беру­ щих свое начало от классической теории, эта аксиома 2) (даже когда неполярных точек нет) не предпола­ гается выполненной (равно как и свойство Шоке).

Именно поэтому мы ввели сначала более слабые условия и рассмотрели свойство Шоке. Довольно сильные аксиомы Фугледе имеют интересные след­ ствия: из них выводятся свойство Шоке, существо­ вание наименьшего тонко замкнутого носителя для меры, которая равна нулю на множествах нулевого веса (обобщение теоремы Гетура), и т. д. В недавней работе [4] Фугледе обобщает свою теорию.

во всякой точке; никакая изолированная точка х0 не будет слабо разреженной в х0.

2. Предложение V . 2 (Рамасвами). Если в точке

х0е е множество е \ {х0} слабо разрежено, но не раз­ режено, то е слабо разрежено в х0.

Доказательство. Для любой окрестности о точки х0

имеем х0е (е \ (х0)) Л от, так как ( е \ { х 0] ) Ло неразрежено в х0. Следовательно, е Л er cz (е \ (х0)) П er. Так как R i — Ri (предложение II. 5), то

и то же самое верно для /?,. В силу сделанных пред­

Всякая изолированная точка пространства является сингулярной точкой.

Л е м м а Ѵ. 4. Предположим, что множество (х0) пренебрежимо. Тогда для любого множества е имеем

Доказательство. Для некоторой окрестности а точки х0

Д\е \ Ы)Па{х0) < 1.

Но

£(*\{*о>>Па(_ГаГ< ^ \ М ) П » (1.о)

согласно последней лемме. Так как f = inf (f, f), to

^ e 4 M )n o (.v0) = ^ eXW )na(.v0).

Д ?п<т (хо) ^ /??Пе {xq) < 1, и следовательно, е слабо раз­ режено В X q.

З а м е ч а н и е . Простые примеры Рамасвами пока­ зывают, что 1) условие несингулярности точки х0 является необходимым, 2) сумма двух множеств, слабо разреженных в х0, может не быть слабо раз­ реженной, 3) все точки могут быть сингулярными.

3.Теорема о сходимости (или о нижней огибаю­

{х 1inf «г (х) < inf iti (jc)} есть счетное объединение мно- оісеств, слабо разреженных в каждой точке.

Доказательство. Положим

еп — { х | іпГгіг < inf ^/г, (inf ut) “ “ ■ )}•

точке пространства. Пусть .ѵ0 — какая-либо точка из й.

Предположим сначала, что inf (.ѵ0) < + оо. Так как

функция inf Ui полунепрерывна в .ѵ0, то существует окрестность а точки х0, такая, что

inf Rn > Rai

inf и.

и свойство аддитивности класса Ф. Поэтому теорема остается справедливой при очевидных изменениях в определении приведенной функции и слабой разре­ женности и для более общих классов Ф.

Счетное объединение множеств, слабо разрежен­ ных в каждой точке, называется полуполярным мно­ жеством '). Теорема V . 7 утверждает, что „исключи­ тельное“ множество, определяемое неравенством из этой теоремы, является полуполярным.

ие слабо разрежено в х0.

Оп р е д е л е н и е V . 9. Базой В е множества е назы­ вается множество точек, в которых е неразрежено.

случае для любой точки разреженность эквивалентна слабой разреженности.

(i)ни одна точка не сингулярна-,

(ii)для любой точки х0 утверждение „ха пренебре­ жимо“ эквивалентно утверждению „х0 слабо разре­

жимо. Кроме того, тонкое замыкание любого мно­ жества е есть объединение Ве и множества пренебре-

!) В классическом пространстве Грина и в достаточно бога­ тых аксиоматических теориях полярные множества характери­ зуются тем, что они разрежены в любой точке (см. следующее ниже общее определение). Аналогичное понятие, связанное со слабой разреженностью, как раз и есть понятие полуполярпого множества.

жимых точек, из.е, являющихся тонко изолирован­ ными точками е ').

Предположения, фигурирующие в предыдущем за­ мечании, и последнее предложение выполняются в классической теории, к изучению которой мы вскоре приступим.

З а м е ч а й и е. Завершая наше общее изучение тон­ кой топологии, упомянем, что более глубокий анализ приводит к рассмотрению таких понятий, как связность и локальная связность, свойство Линделёфа, нормаль­ ность, паракомпактность, счетность полуполярных мно­ жеств при различных предположениях (классический

Глава VI

ПОН ЯТИ Я К Л А С С И Ч Е С К О Й Т Е О Р И И

ПО Т ЕН Ц И А Л А 2)

1.Прежде чем применять развитую выше общую теорию к классической теории потенциала, напомним

некоторые понятия (см., например, Брело [25]). Мы

') В аналогичных ситуациях некоторые авторы предпочи­ тают исключать возможность существования непренебрежимых

между внешней и внутренней задачами Дирихле- В случае /; > 3 эта точка будет неполярной для содержащих ее гриновых обла­ стей. В R 1 все точки неполярны, а в рамках аксиоматической тео­ рии гармонических функций легко (используя R 1 и R3) построить пространства, имеющие несчетное множество как полярных, так и неполярных точек, а также базы Ве. которые будут тонко замкнуты, но не тонко совершенны (см. гл. Vf).

2) Некоторые вопросы здесь можно было бы, вероятно, изложить и лучшим способом, по образцу аксиоматической теории гармонических функций. Наша цель — лишь напомнить