книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала
.pdf30 Ч. 1. Внутренняя тонкая топология
и, значит, |
inf |
|
|
sup |
|
с |
т. е. |
lim sup |
fs^A , |
|||||
откуда и |
б |
X |
G бП |
Е |
П С |
X |
-> .ѵ'о, |
X |
s |
Е |
П С |
е |
||
|
следует |
требуемое |
равенство. |
|
|
|
|
|
||||||
З а м е ч а н и я , |
|
і) |
Пусть |
V — тонкая |
|
окрестность |
||||||||
из предыдущей теоремы. Тогда для любой тонкой
окрестности |
er V имеем |
-> |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
lim sup |
|
/ = |
lim sup |
f — %. |
■ ' |
|||||||||
Действительно-V0,, |
X |
s |
V |
!П |
E |
X |
’ |
e |
у |
f) |
E |
|
|
||
|
X |
|
|
|
x0, X |
|
|
|
|
||||||
|
lim sup |
|
|
|
lim sup |
/ = |
A. |
|
|||||||
Но |
-v->Л'о, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иш sup |
|
/^тонкий |
lim sup |
f = |
A; |
|||||||||
|
іеКіПЯ |
|
|
|
,v->.v0, Д:e£ |
|
|
||||||||
отсюда и следует наш результат. |
|
|
|
|
|||||||||||
іі) В предположениях і) |
и іі) |
|
теорем III. 1 и I I I .2 |
||||||||||||
пусть |
fn— последовательность |
|
вещественных функ |
||||||||||||
ций на Е . Тогда имеется общая тонкая окрестность V, для которой выполнены утверждения этих теорем.
Действительно, обозначим через Ѵп ту тонкую окрестность точки ,ѵ0, для которой результат тео
ремы III. 1 пли III. 2 |
имеет место по отношению к f,L. |
||||||
Можно |
найти |
убывающую - |
последовательность б„ |
||||
окрестностей точки |
|
|
такую, |
что е = и ( С И я Г Ш |
|||
будет разрежено в х |
0. Тогда С е |
будет тонкой окрест |
|||||
|
а'0, |
|
|
|
|||
ностью |
точки ,ѵ0, причем С е |
б„ сі Ѵп для каждого п. |
|||||
Следовательно, |
Се |
|
обладаетП |
требуемым свойством. |
|||
2.Т е о р е м а III. З 1). Пусть А — тонкое предель
ное значение |
f на множестве Е , неразреженном |
в х0ф Е , где |
f — функция на Е е= Q со значениями |
в топологическом пространстве Q'. Тогда существует неразреженное множество е, на котором f —> А, х —>х0, X е е, при условии, что выполнены следующие пред
положения:
і) х0 имеет счетный базис окрестностей в Q,
') Эта теорема навеяна аналогичным результатом Дуба, относящимся к границе Мартина в классической теории по тенциала.
Гл. IV . Квазитопологииеские понятия |
31 |
||
i i ) в точке л*о |
неразреженность |
влечет |
строгую |
неразреженность, |
|
|
|
iii) в каждой точке Q' имеется |
счетный базис |
||
окрестностей. |
|
|
|
Доказательство. |
Пусть аа— убывающая последо |
||
вательность окрестностей точки J, в Q' и еп = |
f-1 (ап). |
||
Тогда множество еп должно пересекать любую тонкую окрестность точки Л'0, т. е. оно неразрежено в х0. По предположению оно будет строго неразреженным в х0. Согласно теореме II. 12 мы можем найти убы вающую последовательность 6„ окрестностей точки х0,
такую, что e = U ( e«\6,i) строго неразрежено в х0. Пусть о — любая окрестность точки X. Возьмем ancza.
На |
ер, |
р ^ п , имеем |
f (.v) с= ар cz er; |
следовательно, |
|
|
|
со |
|
|
|
то |
же |
верно на ( J (ер \ |
бр) |
и, значит, |
на Ьп{\е. Итак, |
|
|
р = п |
|
|
|
f — > X, X £= е, X — > X q. |
|
|
|
||
|
|
Глава |
IV |
|
|
|
К В А ЗИ Т О П О Л О ГИ Ч Е СК И Е П О Н Я Т И Я ') |
||||
1.В классической теории потенциала давно известны
теоремы типа |
Лузина (А. |
Картан[1]), а именно что |
в R3всякий потенциал допускает непрерывное сужение |
||
на множество, |
дополнение |
к которому имеет сколь |
угодно малую емкость. Эта идея была успешно исполь
зована Шоке в теории потенциала |
с более общими |
||||
ядрами (Шоке [4], |
см. также Брело [20]). С другой |
||||
стороны, в |
одной |
теореме |
Шоке [6] утверждается, |
||
что |
точки |
множества Се (для определенности в R3), |
|||
в |
которых |
е разрежено, |
могут |
быть заключены |
|
в открытое множество со так, |
чтобы со П е имело сколь |
||||
‘) Материал этом главы взят из мнмеографировашіых за писей лекций автора (Париж, 1963—1964) и несколько дополнен в основном результатами из Брело [32].
32 |
Ч. 1. Внутренняя тонная топология |
угодно малую емкость'). Этот результат также пред ставляется ключевым для тонкой теории потенциала.
В действительности оба вопроса тесно связаны друг с другом и теснейшим образом связаны с тонкой топологией. Это будет ясно пз следующего аксиома тического изложения, которое дополнено недавними исследованиями Фугледе[1—3].
2. Мы исходим из некоторого топологического пространства й. Предположим, что в нем введена еще одна, более сильная топология, которую будем называть тонкой топологией. Понятия, отвечающие этой топологии, будем отмечать эпитетом „тонкий“ . Тонкое замыкание множества е будем, как и выше, обозначать через ё.
О п р е д е л е н и е IV . 1. Весом называется функция
множеств р со значениями в R, определенная на классе всех подмножеств й, неотрицательная, возрастающая и равная нулю на пустом множестве2)* . Вес р назы вается тонким, если р(ё) — р(е), Ѵе; счетно субад
дитивным, если М І Х Х З р Ы для любой после довательности множеств е„; непрерывным справа, если р{е) — inf р {со) (где со — открытое множество).
(оэе
Пусть дан вес р. Будем говорить, что множество со
является р-квазиоткрытым, если |
для любого е > 0 |
|
существует |
открытое множество |
со' =э со, такое, что |
р(со'\ со) < |
в. Будем говорить, что множество р-квази- |
|
замкнуто, если его дополнение р-квазиоткрыто. Функцию f: й —> й' будем называть р-квазинепре-
рывной, если при любом е > 0 существует множество а сг й, такое, что р (а) < е и функция f | С а непрерывна.
Понятие р-квазиполунепрерывности определяется аналогичным образом.
*) Шоке рассматривал также точки .с е г , в которых е разрежено (см. гл. V, § 4, и гл. VI), но соответствующий результат для этих точек хорошо известен. Мы используем здесь только свойство Се, формулируемое в терминах разре женности множества в точках его дополнения.
2) Последнее условие эквивалентно существованию квази* открытых множеств или квазииепрерывных функций.
Г л. IV . Квазитопологические понятия |
33 |
Будем говорить, что некоторое свойство имеет место р-квазивсюду, если оно справедливо всюду, кроме множества е с р(е) = 0.
Имея дело с фиксированным весом р, мы будем писать просто „квазиоткрытое“ и т. д. вместо „р-квази- открытое“ и т. д.
П р о с т е й ш и е с в о й с т в а . П ред л о ж е н и е IV . 2.
а) Если множество а квазизамкнуто (соответственно квазиоткрыто), то функция квазиполунепрерывна сверху (соответственно снизу).
Доказательство. Пусть а квазизамкнуто. Рас
смотрим замкнутое |
ß er а, такое, |
что |
p ( a \ ß ) < e . |
|
Функция |
полунепрерывна сверху, |
а функция |
||
Xa | C ( a \ ß ) |
равна |
на C ( a \ ß ) . |
Следовательно, |
|
Ха квазиполунепрерывна сверху.
b) Если вес р непрерывен справа, то верно также обратное.
Доказательство. Рассмотрим открытое множеством с р(е) < е, такое, что функция %а \С е полунепрерывна сверху. Тогда функция хй\ е также полунепрерывна
сверху, так что а \ е замкнуто.
c) Пусть вес р непрерывен справа. Если функция f
квазинепрерывна, то множество f~ l (со') квазиоткрыто для любого открытого множества со': если f квази полунепрерывна сверху, то множество {х|/<А. ) при любом к будет квазиоткрыто.
Доказательство. Для доказательства первого утвер ждения рассмотрим открытое множество е с р (е) < е, такое, что функция f \С е непрерывна; тогда множество
f -1 (co')nCe |
открыто в Се, |
и поэтому (/-I |
(co') fl Се) U е |
открыто. Таким образом, |
/-1 (co') содержится в этом |
||
открытом |
множестве с |
точностью до |
множества |
веса ^ р (е).
Рассуждение для второй части аналогично.
d) Пусть вес р счетно субаддитивен. Если для
функции f: Q —> Q', где Q' имеет счетный базис, f~ l (а/) квазиоткрыто для любого открытого со', то f квазине прерывна. Если для вещественной функции f множество2
2 М. Брело
34 |
Ч. 1. Внутренняя тонкая топология |
{л: I / (лг) < Я} |
при любом % квазиоткрыто, то f квази- |
полу непрерывка сверху.
Доказательство. Для доказательства первого ут верждения рассмотрим счетный базис (ш„) открытых
множеств |
Q'. |
Пусть еп а |
Q — такое открытое множе |
||
ство, что |
f |
1(со,,) cz еп |
и |
р (еп \ |
Г ‘ (“ »)) < Ф '1- Рас |
смотрим множество А = |
и ( е » \ г ' |
(со,,)). Имеемр(Л)<е. |
|||
Достаточно убедиться в том, что для любого п мно
жество |
/-1 (©„) Г) С/1 открыто в С А. Но это следует |
из того, |
что f_1 (со,,) П С/1 = е„ П С/1. Аналогично полу |
чается второе утверждение, но только вместо со,, следует воспользоваться множествами (х|/< Л „), где числд %п образуют плотное множество.
Подчеркнем, что в случае непрерывного справа веса можно, как это делают некоторые авторы, в определении квазиполунепрерывности считать мно жество а открытым. Поэтому представляет интерес следующее замечание.
З а м е ч а н и е . |
Определим внешний вес р* сле |
||
дующим |
образом: р '{ е ) = inf р (в>) ^ р {е), где ©— от- |
||
|
|
|
е |
крытое |
множество. |
Внешний вес всегда непрерывен |
|
ш=> |
|
||
справа. Он будет тонким или счетно субаддитивным,
если р является таковым. Отметим, |
что (р‘)* = р*. |
К л а с с и ч е с к и й п р и м е р в R" |
(я 3). Описан |
ная выше тонкая топология совпадает с так назы ваемой классической тонкой топологией. Внешняя ньютонова емкость является весом, непрерывным справа, счетно субаддитивным и тонким. Как мы увидим ниже, последнее свойство не столь элемен тарно, как первые два. Напомним, что множества нулевой емкости совпадают с полярными множе ствами. Более подробно см. об этом гл. V I —V III.
3. Сравнение квазинепрерывности и тонкой непре рывности. Докажем сначала одну простую теорему, достаточно известную в классической теории потен циала (см., например, Дени и Лионе [1]).
Т е о р е м а IV. 3. |
Если вес р гонкий, то всякая |
|
р-квазинепрерывная |
функция /; П -> |
тонко непре- |
Г л. IV . Квазитопологические понятия |
35 |
рывна р-квазивсюду, а всякая р-квазиполунепрерывная функция тонко полунепрерывна р-квазивсюду.
Доказательство. Выберем множество <хп так, чтобы функция f |Cct,i была непрерывна и чтобы р (а„) < 1/п. Тогда р(й„)<1/л и р(Пй„) = 0. Если х ф [)5 „, то существует такое п0, что х ф й„0. Множество Сй „0 тонко открыто, а функция f |Сй„0 непрерывна и, следовательно, тонко непрерывна в х. Поэтому функ ция / на £2 также тонко непрерывна в х и, значит, тонко непрерывна р-квдзивсюду в Q. Доказательство для случая полунепрерывности аналогично.
С л е д с т в и е . Если вес р тонкий, то для всякого квазизамкнутого множества а имеет место равенство р{а \ а) = 0. Аналогичный результат верен для квазиоткрытых множеств.
Доказательство. Функция %а квазиполунепрерывна сверху (см. предложение IV . 2, а)); следовательно, она тонко полунепрерывна сверху вне множества е нуле вого веса. Далее, в любой точке r e â \ a функция %а равна нулю, в то время как ее тонкий lim sup равен 1, так что она не будет тонко полунепрерывной сверху в точке X . Таким образом, о \ а с е .
У п р а ж н е н и е . Дать прямое |
доказательство |
последнего следствия. Для случая, когда Q' имеет |
|
счетный базис, а вес р непрерывен |
справа и счетно |
субаддитивен, вывести из него теорему IV . 3.
4. Свойство Шоке. О п р е д е л е н и е IV . 4. Для данного веса р свойство Шоке состоит в следующем: всякое тонко открытое множество является р-квази- открытым (или всякое тонко замкнутое множество является р-квазизамкнутым).
-Эквивалентная форма свойства Шоке такова:
(а) Для любого множества е и любого е > 0 тон кая внешность в может быть заключена в открытое множество со, такое, что р (со (] е) < е.
Заметим, что отсюда вытекает такое свойство:
2*
36Ч. 1. Внутренняя тонкая топология
(ß)Всякая вещественнная функция со значениями О или 1, тонко полунепрерывная сверху '), квазиполуне прерывна сверху.
Если вес р непрерывен справа, то, обратно, (ß)
влечет (а) и является, следовательно, эквивалентной формой свойства Шоке.
Вес, обладающий свойством Шоке, будем называть
весом типа Шоке.
П р е д л о ж е н и е IV . 5. Если вес р — типа Ш оке, то всякое тонко замкнутое множество есть объедине ние множества типа F0 и множества нулевого веса. Если р к тому же непрерывен справа, то всякое тон кое борелевское множество есть объединение борелевского множества и множества нулевого веса.
Доказательство. Первая часть очевидна. Что ка сается второго утверждения, то заметим, что тонкие борелевские множества образуют по определению сг-алгебру, которая является наименьшей ст-алгеброй, содержащей все тонко замкнутые множества. Множе ства, являющиеся объединением борелевского множе ства и множества нулевого веса, также образуют сг-алгебру (это следует из рассмотрения счетного пере сечения и дополнения к счетной сумме таких мно жеств). Эта а-алгебра содержит все тонко замкнутые множества и, следовательно, всю тонкую борелевскую o-алгебру.
П р е д л о ж е н и е IV . 6. Если |
вес р тонкий и типа |
Шоке, то, каково бы ни было в > |
0, любое множество е |
можно представить как объединение множеств ву и е2, таких, что р (ё\)^ р (е) а р (е2) < в.
Доказательство (такое же, как в оригинальной работе Шоке)' Тонкое замыкание ё содержит замкну
тое множество е0, |
такое, что р (ё \ |
е0) < в, причем |
р (е0) ^ р (ё) — р (е). |
В качестве ех мы |
возьмем е (1 е0, |
а в качестве е2— множество е \ е 0. |
|
|
‘) Можно предполагать тонко полунепрерывным сверху лишь сужение этой функции на дополнение к множеству нулевого вес а
Гл. IV . Квазитопологические понятия |
37 |
5.Эквивалентность квазинепрерывности и тонкой
непрерывности |
квазивсюду. Т е о р е м а |
IV . 7. |
Пусть |
|
вес р — типа |
Шоке и счетно |
субаддитивен. |
Тогда |
|
всякая функция f : Q —>Q', где |
имеет счетный базис, |
|||
тонко непрерывная р-квазивсюду (или |
даже |
такая, |
||
сужение которой на множество Е с р (СЕ) = 0 тонко непрерывно) будет р-квазинепрерывной. Всякая вещест венная функция f, тонко полунепрерывная (сверху или снизу) р-квазивсюду (или даже функция, сужение которой, аналогичное указанному выше, тонко полу непрерывно) будет р-квазиполунепрерывной (сверху или снизу).
Доказательство. Предположим сначала, что f тонко непрерывна. Рассмотрим базис (со„) открытых мно
жеств в Q', п о л о ж и м |
еп — |
(а>п) и выберем открытые |
||||
множества е'п по еп так, чтобы р (е'п \ |
еп) < |
е/2". |
Поло |
|||
жим Е = (J (eh \ |
еп). |
Тогда |
р ( Е ) < г . |
Покажем, что |
||
функция f \СЕ непрерывна.-Рассматривая |
прообразы |
|||||
открытых множеств в Q', видим, что достаточно убе |
||||||
диться' в том, |
что |
ел( ] С Е |
открыто |
на С Е . |
Но это |
|
следует из того, |
что епП С Е — е'пf] С Е '). |
|
|
|||
Пусть теперь для некоторого множества а с р(а) — 0 |
||||||
функция f jC a |
тонко непрерывна на С а . |
Применим |
||||
предыдущий результат к функции / на С а , |
используя |
|||||
тот же самый вес р и индуцированную топологию. Мы получим, что f квазинепрерывна на Q \ а и, сле довательно, на Q. Аналогичные рассуждения можно провести в случае, когда f тонко полунепрерывна сверху (или снизу), рассмотрев множества {х \f < Я„), где {Я„] всюду плотно, и открытые множества е'п тэ еп, такие, что р (е'п \ еп) < г/2п.
Д а л ь н е й ш и е с в о й с т в а э к в и в а л е н т н о с т и -
Из теорем IV . 3 и IV . 7 и определения IV . 4 (в форме (ß)) вытекают две следующие теоремы:
Т е о р е м а IV. 8. Предположим, что вес р — тон кий, счетно субаддитивный и типа Шоке.)*
*) Это рассуждение принадлежит Дубу. В классическом примере и. 2 мы получаем для ньютоновых потенциалов свойство квазинепрерывиости, указанное А. Картаиом.
38Ч. 1. Внутренняя тонкая топология
a)Для любой функции f: Q —>-£У (где Q' имеет счетный базис) [/ квазинепрерывна\€$[{ тонко непре рывна квазивсюду].
b ) Для любой вещественной функции / [/ квази полунепрерывна (сверху или cHU3tj)]^[f тонко полу- непрерывна (сверху или снизу) квазивсюду].
Т е о р е м а IV . 9. Если вес р непрерывен справа и счетно субаддитивен, то свойство Шоке эквива лентно следующему свойству, для всякой веществен ной функции f тонкая полунепрерывность сверху влечет за собой квазиполунепрерывность сверху. Если, кроме того, вес р тонкий, то свойство Шоке равно сильно эквивалентности тонкой полунепрерывности сверху квазивсюду и квазинепрерывности сверху.
6. Случай тонкой топологии, определяемой кону сом функций. Рассмотрим теперь, как в гл. I, конус Ф, соответствующую разреженность и тонкую топологию.
В этом случае можно получить дополнительные доста точные условия для выполнения свойства Шоке.
Т е о р е м а IV. 10. Предположим., что вес р счетно субаддитивен и непрерывен справа, а Q имеет счет ный базис. Тогда если нижняя огибающая (inf) любого семейства из Ф квазиполунепрерывна сверху, то р обладает свойством Шоке.
Доказательство. |
Пусть |
{сол} — базис |
открытых |
|
множеств Q. |
Для |
любого |
множества е |
положим |
еп= {х |
(.г) < і). |
Согласно сказанному |
в гл. I, |
|
множество Е точек С е , где е разрежено, есть \J{en(] о>л).
Так как функция |
квазиполунепрерывна сверху |
(по предположению), то существует открытое множе ство ап, такое, что р (<хп) < e/2rt и функция /?®Пи« |С а л
полунепрерывна сверху. Поскольку |
^ I на е П юп, |
это неравенство справедливо также на е П а>.( \ апс= С е п. Следовательно, С (е Л <ал \ ал) по еп.
Рассмотрим множества Ап= |
С (е Л «>л \ |
а„) Л <йл zo |
епЛ ш„; (J А п открыто и содержит Е . Далее, |
А п Л eczan |
|
или С Ап U С е ~э С а п, поскольку |
С Ап(J Се |
содержит |
Гл. IV . КвазитопологичесКие |
понятия |
39 |
множество ((е П w„) \ ап) U С (е Л со,,), |
содержащее Öan, |
|
Итак, (U Ап) П е с : U а„ и р ((U А п) П е ) < е. |
|
|
7.Примеры весов. Исходя из веса р и возрастающей
вещественной функции L (х) О (х^ О ), можно полу* чить новый вес L (р (е)), свойства которого могут быть выведены из свойств р и L.
Рассмотрим конус Ф и связанный с ним вес р(е) =
— R%(х0) (см. гл. II), где jc0ë ö |
и ф ^ О |
фиксированы. |
||
Если функция ф полунепрерывна снизу, |
то вес р тон |
|||
кий (следствие предложения |
II. 5); если |
ф конечна, |
||
непрерывна и положительна, то |
вес р |
непрерывен |
||
справа (доказательство то же, что |
и в аксиоматической, |
|||
теории гармонических функций, см. Брело [20], стр. 122, теорема 23); если Ф С-замкнуто, то вес р счетно субаддитивен.
З а м е ч а н и е . Если взять р (е) — Rt (х0), то всякое квазизамкнутое множество а будет разрежено в х0,
если х0 ф а, |
и всегда существует замкнутое множе |
ство а0 cz а, |
такое, что множество а \ а0 не содержит |
точки х0 и разрежено в ней.
Это легко получается, если выбрать содержащееся в а замкнутое множество а0 так, чтобы R ?''a“ (х0) < 1.
В е с |
Rft(х0) и |
с о о т в е т с т в у ю щ е е с в о й с т в о |
|
Шо к е . |
П р е д л о ж е н и е IV . 11. |
Предположим, что |
|
для функции fo ^ O |
на Q вес Пц(х0) непрерывен справа. |
||
Тогда для любой |
функции f, |
квазиполуне |
|
прерывной сверху (в частности, если вес счетно субад дитивен и типа Шоке, то для всякой тонко полуне
прерывной |
сверху |
квазивсюду |
функции) имеем |
||
inf R f-v (хо) = |
0 |
(здесь функция |
ф ^ О , полунепре- |
||
Ф>0 |
|
^ |
f , |
и в точках, где / = ф = + о о , мы |
|
рывна сверху, |
|||||
полагаем |
f — ф = |
0). |
|
||
Доказательство. Существует открытое множество со,
такое, что R%(х0) < е и функция f |Ссо полунепрерывна сверху. Обозначим через эту функцию, продолжен ную нулем на со; тогда /у будет полунепрерывна сверху
на Ö и /?f-f,(*0Kflft(*o) < в .