Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 233 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

20 V. 1. Внутренняя тонкая топология

inf і?фПа = ф (лг0) inf /?fПа.		Следовательно, критерий
а	а	записать в таком виде:
разреженности	можно	записать в таком виде:

inf і?фП° (л'о) < ф (л'0) для любой конечной непрерывной

полозкительной в точке .ѵ0 функции ф.

Доказательство. Пусть 0 < Ѳ ,< 1 < 02. Тогда в силу непрерывности ф в точке л-0 существует окрестность ст0 этой точки, такая, что на е П сг0.

Ѳ іф Ю < Ф < Ѳ 2ф(х0).

Следовательно, для		любой	окрестности				о сд сг0	имеем
ѲіФ (*0)		< Я ^ а<			Ѳур (Л'о) R in°,
откуда
ѲіФ (х0) inf		inf /?фПа<				Ѳ2ф (л'о) inf R lna,
и так как Ѳ,,	аѲ2 произвольныс			,	то		а
	inf /?;Пс = ф (л0)				іп{ tfjna.
П р е д л о ж е нa и е		II. 5.	Еслиa			функция ф ^ О		полу
непрерывна снизу в точке			х0,		а множество е нераз-
режено в точке хаф е , то Rq (х0) О ф (а'0);							если,	кроме

того, (р е Ф , то R$ (х0) = ф (л-0). Для любой функции ф, всюду полунепрерывной снизу, но не обязательно при

надлежащей Ф, имеем R% — R%.

Доказательство. Если о е Ф удовлетворяет на е неравенству о ^ ф , то

ѵ іха) =		lim inf V (x) ^	liminf ф (л) ^ ф (л0).
		X e et x -+x 0	x e e , x ->xQ
Следовательно, R ve (x0) ^ q> {x0).				Если ф £ ф ,	то имеет
место также		противоположное		неравенство,	а следо
вательно,	равенство.
Пусть	теперь ф всюду		полунепрерывна		снизу и
п ^ Ф на е; тогда ѵ^ц> также и на ё. Значит,					R%^R%,
и следовательно, имеет место				равенство.


	Гл. II. Понятие приведенной				функции	21
П р е д л о ж е н и е		II. 6.	Пусть		конечная функция
Ф ^ О имеет глобальный пик				в точке х0 и полунепре
рывна снизу в х0 (а значит,				непрерывна в л:0). Д опу
стим, что	любая положительная константа принад
лежит Ф.	Тогда разреженность множества е в х0фе
эквивалентна неравенству			R%> (х0) <		ф (х0).
Доказательство.		Если е неразрежено, то,				как мы

только что установили, выполнено противоположное неравенство Пусть е разрежено. Тогда существуют функция і і е Ф и окрестность сг точки х0, такие, что inf V > V (х0). Выберем К строго между этими числами

оПв

и рассмотрим функцию w — cp(x0) + k(v — Я), где k— константа, удовлетворяющая неравенствам 0 < k < < ф (,ѵ0)/Я. Тогда w <= Ф, и на е П сх имеем ш>ф (х0)^ф . Далее, w ^ cp (x0) — kX, что мажорирует ф на Ссг при достаточно малом k. Следовательно, ау^&ф на е, так

что w ^R% и

	R%		w х0
О б о б щ е н и е .		(л;0) <	( ) < ф (.ѵ'о).
		То же заключение имеет место,
если ф есть сумма функции ф, указанного выше типа
и функции и <= Ф,		конечной в х0.
Если е неразрежено, то проходят те же самые
рассуждения. Если же е разрежено, то				(х0)<ф , (х0),
R u(Xe o)<u (x0), и поэтому
R% (xq) < Др, (х0) + R i (х0) < Фі (xq) + и (х0) = ф (х0).
З а м е ч а н и е .		В предложениях 5 и 6 функцию ф
можно предполагать только тонко полунепрерывной
снизу.
3.	Строгая	разреженность. О п р е д е л е н и е I I .7.
Множество е называется строго разреженным в точке
х0 ф е,	если

i n f t f f n4 *o) = 0.

П р о с т е й ш и е с в о й с т в а . I) Всякое строго разреженное множество разрежено.

22Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

2)Любое подмножество строго разреженного мно жества строго разрежено.

3)Конечное объединение строго разреженных мно жеств строго разрежено.

Т е о р е м а	II. 8. Пусть для любого е > 0 каждая
функция из	Ф, конечная в а-0, может быть предста

влена в виде V - f Ѳ, где функция Ѳ конечна и непре

рывна	в л'о,	а и ё Ф и V (х0)		<	8. Тогда	всякое мно
жество е, разреженное			в х0,	будет строго разрежен
ным в х0.
Доказательство. Пусть е разрежено в х0. Тогда
существует		функция	и е Ф,		такая,	что и (,ѵ0) <
< sup	inf	ti(x). Выберем число К так, чтобы 0 < /(<

ох ( = е П а .

< sup inf u{x) — и(хо). По предположению сущест-

аj e еПа

вуют V и Ѳ,

такие,

что

і і е Ф и

ѵ (д:0) <

/<е (е >

за

дано), а функция 0

конечна и непрерывна в .ѵ0.

Заме

тим,

что

sup

inf

и (х) — и (х0) =

sup

inf

v(x) — V {xQ).

a jecflo

о x^efto

Так

как

К <

sup

inf

V (х) — V (х0),

то

sup

inf

v (х) > К

а.ѵ<=еПо

a x e e f l a

существует такая окрестность сг0, что

inf ѵ ( х ) Ж .

Jeena

Следовательно,

ЯкПа° ^ ѵ ,

или

^ v , ,

т.

■ Rin°0('vo) < V (*o)/K<e. Таким

образом, inf ^ fna (x0X

поскольку

это

верно

при

любом

е >

то

inf /?fna(%> =

Итак,

строго

разрежено

х0.

З а м е ч а н и е . Приведенная теорема остается спра ведливой, если мы потребуем лишь, чтобы разложе ние вида V + Ѳ существовало для функции и е Ф , ассоциированной с е, т. е. такой, что

и (х0) < lim inf a (х).

Гл. II. Понятие приведенной функции		23
Т е о р е м а I I . 9.	Пусть Ф С-замкнуто.	Если еп —
последовательность	множеств,, строго разреженных

в xQ, то существует убывающая последовательность ап

окрестностей точки х0, такая,		что (J (<?„ f\| оп)	строго
разреокено в х0.
Доказательство. Пусть	е„ — последовательность
положительных чисел, для	которой 2 е ,і < +		°°. Так
как е, строго разрежено в х0,		то существует	окрест

ность о, точки х0, такая, что /?ГПо'(л:0) < е,. Так как е2 строго разрежено в ха, то мы можем выбрать окрест

ность а2. с ь с о , так, чтобы ^ Г ПСТі(х0) < е2, и т. д., выбираем ollc :o n-.l так, чтобы R\nп°п(лг0) < еп. Пока-

жем, что Е — U (еп П ап) строго разрежено в х0.

п—1

Пусть б — любая окрестность точки .г0. Имеем

	N	(гПП М П6		с о
	U			U (еяПсг„)ЛÖ
	U		(.to) + R ?+l		(to).
Второй	член	справа	мажорируется		величиной
оо
U (еп ^ ап)				ОО
	(х0) и тем более			величиной 2	^ іпПОп(хп)>
	ОО			w+i оо		'
которая	2 8П.-Выберем		N	так, чтобы	2 е,г <	е/2.
	N W+1				А/+1

Так как (J(e„ricrn) строго разрежено в .т0, существует

U (е«П<т„)Пб

окрестность б точки х0,	такая, что R i1	(.t0) <
< е/2. Следовательно,	^ f n6(.v0)^en in f ^ f n°(.t0)^e .
	G

Поскольку e произвольно, мы заключаем, что Е строго разрежено в х0.

У п р а ж н е н и я. 1) Пусть еп — последовательность множеств, строго разреженных в х0. Предположим, что Ф С-замкнуто и что существует счетный базис {со,і} окрестностей точки х0, причем П и« — W - Тогда

24 Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

можно найти убывающую последовательность окрест-
		со	со
ностей <у„,	такую, что f \| ап = {.ѵ0}		и f \|	(ап	еп) \ {х0}
строго разрежено		0.	/1=1	,	U
строго разрежено		в х П= I	/1=1	,	U
У к а з а н и е . Для любых последовательностей мңо-
жеств еп и	можно	написать

оосо

П(ßnU б„) cz ( Р )б„) U ei U (е-iП 6і) U (е3П б2) U •••

/1=1

/1—1

иприменить предыдущую теорему.

2)Пусть (У„) — последовательность тонких окрест

ностей „точки л'0.		Предположим, что Ф С-замкнуто,
что	разреженность влечет строгую разреженность и
что	существует	счетный базис	(со„) окрестностей
точки х0,такой,		что П &>„ = {х0].	Тогда существует

убывающая последовательность о„ окрестностей х0,

такая, что П ф і= (* о ) 11 U	О7« \ сг„) U {*о}	является
тонкой окрестностью точки ,ѵ0.
[Это — переформулировка упражнения 1)		в терми
нах тонких окрестностей.]
П р е д л о ж е н и е II. 10.	Сверхразреженность вле

чет за собой строгую разреженность, а в случае, когда Ф С-замкнуто, оба понятия эквивалентны.

Доказательство. Первая часть доказывается легко. Существует функция и е Ф , такая, что и(х0) конечно

и и > Я ңа некотором е[\'а.	Поэтому
R lna (х0) < и (х0),	Д? п е (*0) < и (х'о)А

и, следовательно, inf ^ Псг(л'0) — 0.

			СГ	что е строго' разрежено
Обратно, предположим,
в х0, а Ф С-замкнуто.
Так как inf P incr(x0) = 0,				то для каждого п суще-
ствует	окрестность ст„ точки .ѵ0, такая, что				пстл (лг0) <
		а
<-^з-.		Следовательно, существуют и „ е Ф , такие, что
ипАо) <		Дз и ип	на е П оп. Рассмотрим и = V пип.

Гл. II. Понятие приведенной функции

По предположению м еФ , и(х0) = ^ п и Г1(хо )< У }~ 2 < ° ° -

Далее, и {х) ^ пип (х) ^ я на е П <уп. Для произвольного заданного X рассмотрим N > X. Имеем и (х) ^ X на еПсг,ѵ, т. е. я(л:)—>оо, jc e e , x —>xQ. Следовательно,

есверхразрежено в .ѵ0.

4.Строгая неразреженность. Для того чтобы е было неразрежено в хаф е , необходимо и достаточно, чтобы

inf R \ ^ { x è > 1-

Пусть б — какая-либо окрестность х0. Имеем

А Пе	Х \ Т )Х6 (х0)-

Следовательно,

^ ne(.v0) > s u p ^ nö>\ a (x-0)

іnf R i'n'0 (.v0) > inf (sup R [eln 1ay4 6 (,v0)).

О п р е д е л е н и е I I . 11. Множество е называется

строго неразреженным в точке х0 ф е, если

in f(su p ^ ena,X6(.r0) ) > l .

О б

Это условие влечет за собой неразреженность.

В а ж н ы е з а м е ч а н и я . 1) Пусть е строго нераз режено в х0. Для любого о имеем sup ^іеП<7,Хб (л'0)^ 1 .

Поэтому, если даны о и число К ,				б	1, то суще
				0 < І( <
ствует такое б, что		^ігПа)Хб W	>	Д-	1, и любом ст
2) Обратно, если при любом К , 0 < Д <
существует такое б,		что ^іеПа)Х6 Д'0) > R ,			то е строго
неразрежено в х0.
3)	Если для множества А ф х0 выполнено равен
ство	sup R ? ''5(х'о) =	R f (л'о),	где	б — произвольная
	6

окрестность точки ,ѵ0, то А будет строго неразрежен ным в х0 при условии, что оно неразрежено в х0.


26	Ч. 1. Внутренняя тонкая топология
Т е о р е м а 11.12.		Пусть еп— последовательность
строго неразреженных		множеств в х0, х0 ф еп. Пред
положим,	что существует счетный базис окрестностей
точки д'0.	Тогда существует убывающая последова

тельность окрестностей 6„ точки лг0, такая, что мно жество U (еп \ бд) будет строго неразрежено в х0.

Доказательство. Пусть %п — возрастающая после довательность чисел, такая, что 0 < Я , „ < 1 , >1 при п -> оо. Пусть со,,— счетный убывающий базис окрестностей точки .ѵ0. Так как множество е, строго неразрежено в х0, то можно найти окрестность б(,

такую, что с соі и ^ie'n“’)N6' (-^о) > Из строгой неразреженности е2 в х0 следует, что можно выбрать 62

так, чтобы 62c co 2f]6j и і?іе:П“!)Ѵч0! (.ѵ0) > ^2. И вообще для любого я можно выбрать б„так, чтобы 6nczanf| 6„_i

и^ > я(і. Положим Е — U (еп \ бп). Тогда

		(Е П а,г) \			б„ го (епf) со,,) \ б,„
и поэтому
д{яп®„)\вп^ д
Возьмем	0 <	АГ <		1;	для	всех	n ^ N	будем иметь
ß(En<on)\ön^		^	рг	Следовательно,
			sup^[£n“")XÖ(A:0)>/iC.
Так как	любое		а содержит			со,г	при я >	N , то

in fSu p ^ £na>46(.to)>/C.

аб

Значит, inf sup £<£Па>\6 (^о) ^ 1 и Е строго неразре-

0ö

жено в хй.

За м е ч а н и е . Предположим, что неразреженность

в xQ всегда строгая и что существует счетный базис окрестностей точки х0. Из ңеразреженности е„ в х0 следует, что х0 является тонкой предельной точкой для <?„. Доказанное предложение показывает, что если х0 является тонкой предельной точкой для

Гл. H I. Общие результаты о тонких пределах

всех еп, то существует убывающая последователь

ность б„ окрестностей точки х0,		такая, что х0 является
тонкой предельной	точкой для	U(ert\ ö ;J).
б. Иногда полезно следующее
О п р е д е л е н и е	11.13. Множество		е называется
пренебрежимым, если V e 'er е,		R\ — 0	на С е '.
П р о с т е й ш и е	с в о й с т в а ,	і) Конечная сумма

пренебрежимых мнозісеств будет пренебрежимым мно

жеством.
ii) Строго полярное множество пренебрежимо.
Действительно, если е ' с е		и .ѵ е С е ', то существует
функция и е Ф,	такая, что	и =	+	оо на е',	а и (х)
конечно. Тогда для любого		Я >	0	имеем Яц =	+	оо
на е', так что Ri {х) Xu (x'). Таким образом, Ri (л:) =						0.
iii) Если е пренебрежимо,		то е \		[х] будет строго
разреженным в х	при любом х.
разреженным в х	^
Предположим	еще, что Ф С-замкнуто. Тогда

іѵ) Счетная сумма пренебрежимых множеств будет пренебрежимым множеством.

ѵ) Всякое пренебрежимое множество е является

строго полярным.
Действительно, пусть	е' с: е и х ф е'. Существуют
ип е Ф, такие, что ип > 1	на е' и ип(х) < 2~п. Но тогда
2 м „ е Ф , 2 иа = + °о на е' и 2		{х) < + оо.

Глава III

О БЩ И Е РЕЗУЛ ЬТАТЫ О ТО Н К И Х П Р Е Д Е Л А Х 1)

1.Будеэд рассматривать пространство Q, основную

топологию W \ и конус Ф, определенные в гл. I, § 1, и проведем сравнение тонких пределов и обычных СГX-пределов. Начнем с нескольких простых замечаний.

!) Отправными пунктами для этой главы послужили неко торые результаты Картана и Дуба в классической теории потен циала, а также аксиоматическое построение теории, данное в Брело [21].

28Ч. ]. Внутренняя тонкая топология

a)Если множество е неразрежено в х0, то хо является тонкой предельной точкой для е. Верно и обратное.


b )	Пусть Q '—какое-либо топологическое простран
ство,	а f — функция				на подмножестве Е из Q,						нераз
реженном в точке х0					ф Е ,		со значениями в Q'.				Пусть
V — тонкая			окрестность			точки ха				Q, и допустим,
что /	имеет		предел /, когда л'->.ѵ0,							V f l £ .	Тогда
тонкий		lim		f существует				и равен		I.
c)		X->.ѵ0, .vs£				предельное			значение1)		f на Е
	Пусть А,— тонкое
в точке Л'о,			причем Е		неразрежено				в х0ф Е . Тогда А,
есть также			^-предельное				значение f в х0 на любой
тонкой		окрестности V.
Т е о р е м а				III. I 2). Пусть				f — функция,			опреде
ленная		на	подмножестве				Е	из Q,		неразреженном
в А'о ф Е , со значениями						в топологическом простран
стве	Q'.		Предположим,				что *существует				тонкий
lim		f — l		и что	выполнены следующие условия:

х-+ха, is £

i)Ф С-замкнуто,

ii)разреженность влечет строгую разреженность,

iii)в каждой точке пространства Q' существует

счетный базис	окрестностей.
Тогда существует такая тонкая окрестность V
точки х0, что	lim	f = l {т. е. f стремится к I
	X S E пѵ
вне некоторого разреженного множества).

Доказательство. Пусть <х„ — убывающая последова тельность окрестностей точки I. Для каждого п суще


ствует	тонкая	окрестность б;і				точки хй,			такая,	что
из	П б,г	следует		f(x)	е	а„.	Положим			еп =
= [х е	Е I/ (х) ф а„).		Так	как		еп с	Сб„,		то еп будет
разрежено в х0 для любого п. В							силу іі) еп будет
строго	разрежено в		х0	для	любого п.			Но тогда по
‘) X	является тонким (соответственно						г)	предельным зна

чением в том и только в том случае, когда при отображении / прообраз любой окрестности А пересекает любую тонкую (соот ветственно 2Г\-) окрестность точки л'о-

2) В классическом случае эта теорема принадлежит А. Кар тину (см. Дени [3]).

Гл. III.

Общие результаты о тонких пределах

теореме

II. 9

существуют окрестности ап точки ,ѵ0,

такие, что

е =

и(£мГ)<п)

строго

разрежено

в х0.

Следовательно,

С е

является тонкой окрестностью х0.

Если а — любая окрестность точки I в Q', то а го ап

при достаточно больших п.

Пусть л:<= ап Л Се Л Е сд Се„.

Тогда / ( х ) е а „

и,

следовательно,

f( i') e a .

Итак,

lim

f =

х-ь-Хо,

В *г=СеЛ

£У — это

расширенная

числовая

случае когда

ось R, можно получить более сильный результат для

функции

определенной

на

множестве Ё , неразре

женном в ха<£Е.

Т е о р е м а

III. 2.

Пусть f — вещественная функция

и тонкий

lim sup / — X. Предположим, что выполнены

условия

лі:)-» а-0,

х і = Е

іі). Тогда существует такая тонкая

окрестность

точки х0, что

lim sup f =

Â.

х- Хц.

Доказательство. Для любойі-фиксированнойl e f i f l V

тонкой

окрестности

имеем

Я, =

тонкий

lim sup

x ^ x 0, X f = E

j e E H l '

Если Я, = + о о , то теорема верна с любой V. Пред положим поэтому, что Я-< + оо, и покажем, что для некоторой окрестности V

lim sup		тонкий		lim sup f.			веще
Пусть A „—a -*.убывающаяv0, л -еЕП У		последовательность.t—».v0,
					x<=E
ственных чисел, причем А,,-»			Л.	Для	любого и имеем
su p f< !A „ в некоторой тонкой				окрестности точки х0.
Поэтому множество еп— (і е			Е \|/(.ѵ) > А„)			разрежено
в х0 и, следовательно, строго				разрежено в х0, Ѵ/г.
Но тогда можно найти убывающую последователь
ность б„ окрестностей точки			такую, что е =			(J (епП 6 J
будет строго разреженнымЛ'0,в х0. Поэтому						С е	будет
тонкой окрестностью х0 и С е f) б„ сг С е п.
Следовательно, Ѵ/г,
sup	/ < А „,	inf		sup	/<А/г

х е 0 ,гП £ЛСе

6 А е б Л £ Л Се

<<< < Предыдущая 1 23 / 233 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ