книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала

200Ч. 2. Граничные теории и Минимальная разреженность

Вкачестве приложения дать другое доказатель­ ство следующей части предыдущей теоремы:

2)Если «//г имеет в точке „v0 тонкий (или полу-

тонкий) предел X (и, Іг — положительные гармониче­ ские функции в со), то существует равный ему угло­ вой предел.

. (Указание. Если А, = + оо, то на І'р отношение' и/Іі стремится к + оо. Если же X конечно, то и/Іі остается ограниченным в любой области Штольца и стремится к X вне некоторого открытого полуразреженного мно­ жества е. Введем функцию и', равную и вне е и Xh

на е, и затем рассмотрим функцию и — н'/1. Исполь­

зуя упражнение 1), показать, что частное от деления этой функции на /г стремится к нулю на Гр, откуда и вытекает искомый результат.)

П р и м е н е н и е к р а н н е й т е о р е м е Ф а т у .

предел отношения ujh существует рл-почти всюду на гиперплоскости да. (Если h = 1, как в первоначаль­ ном случае Фату, то понятие „щ-почти всюду“ совпа­

ное Кальдероном и Карлесоном, было далее уточнено Дубом (см. Брело и Дуб [1]) следующим образом: пусть h — по-прежнему положительная функция, гар­ моническая в полупространстве, а и — функция, гар­ моническая в открытом множестве со0сгсо; предполо­ жим, что со0 содержит переменную общую область Штольца, вершина которой описывает некоторое гра­ ничное множество е а да. Пусть отношение ti/h в ка­ ждой такой области ограничено либо сверху, либо снизу в зависимости от положения вершины. Тогда и//г имеет конечный угловой предел на е, если исклю­ чить множество лебеговой меры нуль и множество р.л-меры нуль.

В а ж н о е з а м е ч а н и е . Для супергармонических функций аналогичного свойства нет. См. контрпример Зигмунда (в R2 для /г— 1) у Толстеда [1]. Это пока­ зывает преимущество и силу понятия тонкого предела.

О б о б щ е н и е на с л у ч а й л и п ш и ц е в ы х о б ­

в каждой граничной точке имеют внутренний и внеш­ ний конусы Штольца) более сложные в техническом отношении рассуждения приводят к следующим важ­ ным результатам: евклидово замыкание такой области

гомеоморфно пространству Мартина Q (причем все его граничные точки минимальны); теорема X V II. 9 допускает при /г = 1, обобщение при соответствующем определении минимальной полуразреженности и угло­ вого предела. Отсюда получается и обобщение тео­ ремы Фату (которое можно доказать также непосред­ ственно).

5. Сравнение угловых, тонких и нормальных пределов (краткие указания). Дубу [7] удалось вы­ вести из своей общей теоремы о тонких пределах классические результаты о нормальных пределах и тем самым продвинуться далее в этом круге вопросов.

Рассмотрим сначала множество А в полупростран­ стве ш cz R". Нормальной предельной точкой х0 мно­ жества А называется точка из кЗсо, принадлежащая евклидовому замыканию множества ЛПШс0І где пч — нормаль к да в точке х0. Для почти всех (по мере Лебега на да) таких точек х0 множество А будет (минимально) неразрежено в х0 (т. е. х0 является (минимальной) тонкой предельной точкой А) ‘).

Рассмотрим теперь функцию f на .а со значениями в компактном метрическом пространстве Е и обозна­ чим через ЛД0, Л.*„, F x, предельные множества функции f

') Доказательство Дуба сложно. Из приведенного резуль­ тата следует аналогичное свойство с обычной разреженностью (в IR”). Отметим, что последнее свойство (даже для произволь­ ного е а R'1) доказывается проще непосредственно, причем пря­ мое доказательство дает даже „квазивсюду на д а “ вместо „почти всюду на

имеем Nx„ с : F Xa,- это показывает, что из существова­ ния почти всюду тонкого предела следует существо­ вание почти всюду равного ему нормального предела.

Если функция f супергармонична, то можно полу­ чить больше: в этом случае £ = [— оо, -|-°°] и для всех точек х0 на да, исключая множество лебеговой меры нуль, имеем либо

о.) — оо s F Xaст /1Л-0,

либо ß) существуют конечный тонкий предел и равный

ему нормальный предел, хотя углового предела может и не быть.

Если f — супергармоническая функция с гармони­ ческой минорантой и ^ 0, то эта миноранта имеет конечный тонкий предел почти всюду на <3(о и слу­ чай а) исключается. Следовательно, f имеет нормаль­ ный предел почти всюду. Это эквивалентно класси­

жения к теории функций Дуб получил следующее уточнение классической теоремы Плеснера. Если f — мероморфная функция в полуплоскости со, то, как доказал Плеснер, почти всюду либо

а) А Хй есть расширенная плоскость, либо

ß) А х, состоит из одной точки (т. е. имеется угло­ вой предел)').

Дуб показал, что если исключить еще одно мно­ жество меры нуль на дсо, то можно утверждать боль­ шее: случай а) разбивается на два подслучая: либо F Xa также есть расширенная плоскость, либо FXt и ЛД, сводятся к одной и той же точке. Далее, ß) допол-

]) Отметим, что (даже для функций {, принимающих зна­ чения в произвольном компактном метрическом пространстве Е )

почти всюду совпадает с предельным множеством в любой области Штольца.

Гл. Х Ѵ ІІІ. Пространство Мартина в аксиоматик, теориях 2Ö3

няется утверждением, что F Xt также состоит из одной точки (той же самой, что и A Xt).

Часть этой теоремы, не относящаяся к нормаль­ ным пределам, была доказана также Константинеску и Корня.

Глава ХѴІІІ

П РО СТРА Н СТВ О М АРТИ Н А И М И НИ М АЛ ЬНАЯ Р А ЗР ЕЖ Е Н Н О СТ Ь

В А К СИ О М А Т И Ч ЕСК И Х ТЕО РИ Я Х (КРАТКИЙ ОБЗОР)

1. Различные предположения и обозначения. Будем исходить из аксиоматики Брело, указанной в гл. X I. Основное пространство Q будет предполагаться име­ ющим счетный базис (хотя это не всегда необходимо). Будет предполагаться, далее, что выполнены акси­ омы 1— 3 и что существует положительный потен­ циал. Совокупность этих предположений обозначим

супергармонических функций Г-топологией Эрве и рас­ смотрим компактное метризуемое основание В конуса

S +. Будем обозначать через Д, множество минималь­ ных гармонических в Q функций, принадлежа­ щих В, т. е. множество всех крайних элементов В (которое отождествляется с минимальной границей Q).

Символом (/if) будем обозначать совокупность пред­ положений (Aj) вместе с предположением о пропор­ циональности (всех потенциалов с одним и тем же точечным носителем). В таком случае принадлежа­ щие В потенциалы этого типа, обозначаемые через рх (где {х}— носитель), образуют множество, гомеоморфное Q (Гаурисанкаран [ 1]). Его Г-замыкание есть

обобщенное пространство Мартина Q (называемое так потому, что в классическом случае оно гомеоморфно ранее рассмотренному пространству Мартина). Граница

204 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреокенность

Мартина A = Q \ Q содержит Л,; точки X последнего множества, являющиеся гармоническими функциями на Q, обозначаются иногда через рх (у). В интеграль­

ном представлении Рнсса супергармонической функ­

Возможное отсутствие функций типа рх (у)Х(х), аналогичных симметрической функции Грина, оправ­ дывает использование сопряженных пучков Эрве и приводит к принятию дополнительного предположе­ ния о существовании базиса из вполне определяющих

областей (см. гл. X I, п. 5). Совокупность A f вместе с этим предположением будет обозначаться через (А2).

Именно в этом В берутся потенциалы рх, опреде­ ляющие сопряженный пучок.

2. Тонкая топология на 0 = QUA]. (См. Брело [33].) Продолжим обобщение результатов гл. X IV , исполь­ зуя материал гл. X II.

При введенных выше условиях (А,) разреженность множества е с й в точке X е А, определяется усло­

вием Rx Ф X или требованием, чтобы функция Rx была потенциалом. Дополнения в Й к таким разре­ женным множествам образуют, как известно, некото­ рый фильтр Тх ; предел по этому фильтру будем на­ зывать минимально тонким. Дадим соответствующую топологическую интерпретацию, уточняющую то, что было сказано в гл. X II.

Будем говорить, что топология Ѳ' на й есть ми­ нимальное продолжение топологии Ѳ на Q, если она индуцирует на Й топологию Ѳ и если окрестности любой точки X G А) пересекают Q по множествам

Гл. X V III. Пространство Мартина в аксиоматич. теориях 205

фильтра £ х . Для тонкой топологии на £2 существуют

(индуцирующая на Äj дискретную топологию) и слабей­ шая. В случае (Af) имеется единственное такое про­

должение.

ных сопряженных гипергармонических функций, под­ семейство Ф2 сопряженных потенциалов (включая функцию + оо) и подсемейство Ф3 сопряженных по­

тенциалов вида рх (у) dp {у), где р ^ О на £2. Обо­

Т\, Т2, Т'з являются единственными минимальными продолжениями для Ти Т2, Г3.

Отметим, что Ти Т2— сопряженные тонкие топо­ логии на £2, минимальные продолжения которых можно интерпретировать как внутренние топологии

Т[, Т2 на £2.

Отметим еще частный результат, состоящий в том, что любая неотрицательная сопряженная супергар­

3. Задача Дирихле и граничное поведение (обобще­ ние результатов гл. X V и XVI). Принимая пред­ положения (А!) и первоначально еще аксиому D,

206 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Гаурисанкаран [1] обобщил основную теорему (критерий

равенства R i — h для положительной гармонической h) и доказал, что отношение ѵ/Іі (где ѵ — положительный потенциал) имеет тонкий предел нуль цЛ-почти всюду на А[. Он рассмотрел задачу Дирихле для /г-гармони- ческих функций в Q с минимальной тонкой топологией для граничных условий. Приняв условие R/; (о том, что всякая Г-равномерно непрерывная функция на Л,/г-разрешима), он обобщил теорему о разрешимости и получил результат типа Дуба для функций и//г (где и — положительная супергармоническая функция), т. е. доказал существование тонкого предела цЛ-почти

всюду наЛ,. В случае (а Г) условие R/( всегда выполнено и можно изучать задачу Дирихле для /г-гармонических

функций с Г-топологией на Q; случаи разрешимости и сами решения совпадают для обеих задач.

Далее, Гаурисанкарану [4] удалось в предположе­ ниях (А]), без аксиомы D и каких-либо услРвий типа R,,, сделать следующее: получить основной критерий

для равенства R i — /г в случае открытого множества е; описать граничное поведение любого потенциала w (именно wjh имеет тонкий предел нуль цл-почти всюду); исследовать задачу Дирихле (подобную рассмотренңой в теореме X V I. 11) с граничными условиями

или

тонкий Urn sup ( v lh ) ^ f цЛ-почти всюду.

Огибающие (inf) таких гипергармонических функций ѵ, ограниченных снизу, совпадают для обеих задач, равно как и критерии разрешимости (цЛ-суммируемость функ­ ции f) и сами решения. Отсюда при одних предполо^ жениях (А]) получается обобщение свойства Дуба (существование цл-почти всюду конечного тонкого пре­ дела у v/h для любой неотрицательной супергармо­ нической функции ѵ).

Гаурисанкаран [5] изучил также (без аксиомы D) задачу Дирихле для произвольной компактификации пространства Q, обобщив результаты п. 1 гл. X V I, и

Гл. X V III. Пространство Мартина в аксиоматич. теориях 207

провел сравнение с этими результатами. Другие иссле­ дования по компактификациям и соответствующей задаче Дирихле были проведены Константинеску и Корня [3], Лоэбом и Уолшем.

4. Вот некоторые другие обобщения классической теории, полученные при различных предположениях.

а) Теорема типа Фату — Дуба о граничном поведе­ нии в случае ограниченности снизу только в тонкой (минимальной) окрестности любой точки рл-измеримого множества ізсгД , (при предположениях (А,) и D).

^Использованиеравномерной интегрируемости для характеризации решений задачи Дирихле.

c) Поведение различных емкостей для убывающих множеств (например, тонко замкнутых) (при предполо­ жениях (А[), D, а иногда и (А2)).

d) Понятие W-полярного множества на Q (т. е. та­ кого, что е П Q Ц7-полярно, а е f] Aj имеет нулевую ц^-меру) и различные характеризации таких множеств

(при предположениях (А,) или (АО).

e) Соответствие между двумя пространствами, снабженными гармонической структурой, и соответ­ ствие между их минимальными границами (обобщение результатов Константинеску — Корня — Дуба, а также теоремы Рисса о двумерных римановых поверхностях),

в основном пргі' предположениях (АО и D в обоих пространствах.

f) Задача Дирихле для компактных множеств, по­ нятие устойчивой граничной точки, свойство квазиана­ литичности (в случае (А2)).

g) Дважды гармонические функции и(х, у) (х, у в двух различных пространствах) и их граничное по­ ведение.

h) Изучение ^-гармонических функций, т. е. функ­ ций с конечной L p-нормой относительно гармонической

208 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Б о л е е с л а б ы е а к с и о м а т и к и . Понятия мини­ мальной разреженности и границы могут рассматри­ ваться и в более слабых аксиоматиках, например в аксиоматике Бауэра. При этом сохраняют силу не­ которые результаты Дуба, а также обобщаются неко­ торые результаты о соответствии между двумя про­ странствами. Сибони [2] получил результат Дуба в бо­ лее общей форме, пригодной в теории эксцессивных функций. Он провел также исследование задачи Ди­ рихле с граничными условиями, задаваемыми с по­ мощью минимальных тонких фильтров.

В качестве заключительного замечания напомним еще раз, что мы оставили в стороне целый ряд дру­ гих топологических вопросов теории потенциала, как, например, связанные с применением теории гильберто­ вых пространств (см. Дени [4]) и функционального анализа (см. важные исследования Лоэба; Уолша; Мокободского [2]), а также обширную область вероят­ ностных интерпретаций (в качестве введения в кото­ рую см. Бауэр [7]).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ')

Довольно подробный исторический обзор теории потенциала вместе с библиографией можно найти в статье Брело [35].

Бауэр (Bauer И.)

[1]Silovscher Rand und Dirichletsches Problem, Ann. Inst. Fourier, 11 (1961), 89— 136.

[2]Axiomatische Behandlung des Dirichletschen Problems für elliptische und parabolische Differentialgleichungen, Math. Ann., 146 (1962), 1—59.

{4] Propriétés fines des fonctions hyperharmoniques dans une

[6] Recent developments in axiomatic potential theory, Sympo­

Бобок, Константннеску и Корня (Boboc N., Constantinescu C., Cornea A.)

[1]Axiomatic theory of harmonic functions, Ann. Inst. Fourier, 15/1 (1965), 283—312.

Бобок, Корня (Boboc N., Cornea A.)

fl] Behaviour of harmonic functions at a nonregular boundary point, Bull. Math. Soc. Sc. Math. Phys. RSR, 1965.

') Для переводных книг в круглых скобках указан год вы­ хода в свет оригинального издания.