Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2320 21 22 23 > Следующая >>>

190 Ч. 2. Граничные	теории и минимальная		разреокенность
Л е м м а X V I I .3 (Наим). В обозначениях предыду
щей леммы для всякого множества е с :				со
( Ч	= ( Ч	+ №	на	со.
	“	\ °лѵа

Доказательство. Для любой неотрицательной су пергармонической на Q функции и, которая мажори

рует G® на е (J Ссо, имеем и — R^u ^ 0 , и на е эта раз-

Х 0
ность мажорирует U . Поэтому и — R qQ	на со,

и левая часть доказываемого равенства мажорирует

правую. ^Обратно, функция			U u	равная	на со	сумме
(*:) + Щр. и		продолженная	на Ссо как О” ,			такова,
w ^	л"а			f
что U , есть неотрицательная супергармоническая
функция	в Q	(даже потенциал).		Это	доказывается

теми же рассуждениями, что и в начале доказа тельства предыдущей леммы. Но Н, мажорирует G*„

квазивсюду	на е U Ссо и		потому	мажорирует также
. Следовательно, то же верно для £/,.
Т е о р е м а X V II. 4		(Наим [1]). Рассмотрим прост
ранство Грина Q и в нем			область со		с иррегулярной
{и значит, полярной)		граничной		точкой х0е			Q. Раз
реженность	множества е сг со в точке xQ в Й						эквива
лентна минимальной		разреженности			относительно
минимальной функции G9'			— Р'Го	в со, т. е.		разрежен-
		•'о	и..
			А©	границы		Мартина.
ности в соответствующей точке Х 0
Иными	словами,	соответствие между				простран

ствами co(J(.T0) и co(J{Vol, снабженными тонкой и минимальной тонкой топологиями, определяемое то

ждественным отображением		на со	и	соответствием
х0-^->Х0, есть гомеоморфизм.
Доказательство. Если е разрежено,				то в силу раз
реженности	Ссо множество 'e 0 Ссо будет также раз
режено в xQ,	так что (R e}iCa\	Ф й 9 .	Если бы равен-

ство соблюдалось всюду на со, то оно имело бы место

Г л .	X V I I .	С р а вн ен и е д в у х типов разреж енност и		191
квазивсюду	на	со U Ссо = Q и,	следовательно,	всюду.
Поэтому существует точка х х,			где ( ^ ) а +	Ф G“
т- *•			(,)= [/ (,). Но'	это й

означает минимальную разреженность. Обратно, из

минимальной разреженности следует,				что {Яц)а Ф U
в некоторой точке х2«= со. Поэтому І^ аС“ (*2) Ф					G*o(х^г
т. е. имеет место	разреженность		Хо		е U Ссо
			множества
и, значит, множества е.
У п р а ж н е н и е .	Предположим,		что е разрежено
в х0. Тогда І?°е	есть	наибольшая		гармоническая
М
миноранта для ReQq	в со и ,	следовательно, Щр. — / с “
* X*				Arg	VO

есть потенциал в со. Отсюда вытекает минимальная разреженность множества е (отметим, что лемма 3 здесь не используется).

2. Примеры в полупространстве со пространства R”. (В основном по Лелон [1].) Евклидово замыкание области со в компактификации Александрова про странства R" совпадает с пространством Мартина 6.

Те о	р . е ма X V I I .5.			Рассмотрим в полупростран
стве о	с R"	(я	3)	н о р м а л ь н у ю о б л а с ть
Ш т о л ь ц а		W Ф а,	т.	е. часть открытого конуса

вращения с вершиной в х0е <Зсо и осью, перпендику лярной гиперплоскости да, принадлежащую некото


рому шару	с центром х0. Тогда разреженность мно
жества е c z ff		в х0	в пространстве			Rn эквивалентна
его. минимальной разрезюенности в х0 в со.
Доказательство.			Введем		множества		Ір =	{sp+i <
< I * — х0К	sp}, 0 <		s <	1,	Ip = Ір П e. Критерий раз
реженности	множества			е	можно	записать		в	виде
2 v P/sp(n~2) <		+ оо	(где	ур — внешняя			емкость		мно-
р	е\|Ѵр в R ).			Это несколько			видоизменен
жества ер =

ная форма общего критерия Винера (теорема IX . 10).

192 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Введем следующее обозначение. Пусть ср, -ф— ве щественные переменные, определяемые некоторыми условиями (например, зависящие от переменной р, изменяющейся в некоторой заданной области). Бу дем называть их сравнимыми и писать ср ~ ф, если отношение ф/ф для всех значений р, где оно имеет смысл, содержится между двумя фиксированными положительными числами (не зависящими от р).

Элементарный расчет показывает, что				в случае Rn
( я ^ З )	внешняя гринова емкость у“ подмножества ер
в со сравнима с ур		(переменная р). Это		вытекает из
того, что \X — у \|-(п_2)/ G“ (.v:, у) ~			1 для х	и у, меняю
щихся	в /р П 'S7 (при переменном		р). Предположим,
что е	разрежено.	Тогда ряд 2	уш/5р («-2) сходится.
		р	р
Далее,	у“ есть полная мера, отвечающая (ЯІр)а- При

- ѵ е ? ’ имеем G“, (х) ~ öx ~ | х — х0 1, где öx — расстояние

от переменной точки .ѵ до дш. Эта					величина на /р П 9?
сравнима с		sp	(переменная р).		Таким образом,
						( n e -
ременная р). Но			на Ір имеем К х„ {х) ~			6Х\х — хп \ п~
~ 5 -р(л-і)		(переменная р). Следовательно, ряд
2 R Kpe	(у0)	сходится,		так что	2	(р0) —>0 при
N - * ° o ,	и R Knx{ix~x°i<r\e			y 0)-+ 0 при г —>0. Отсюда мы

заключаем, что е минимально разрежено.

Обратное утверждение является следствием сходи

мости ряда 2 ЯкР (£/0)> которая эквивалентна мини-

мальнои разреженности согласно критерию типа Винера, приведенному ниже в упражнении а).

Д о п о л н е н и я . Как показала Лелон [1], указан ная в теореме эквивалентность не имеет места для произвольного множества e c u 1); однако разрежен

’ ) Существуют (даже при п ^ 2 ) минимально разреженные множества, не являющиеся разреженными; это вытекает, напри мер, из неразреженности замыкания следующего множества: шара, из которого удален меньший шар, касающийся первого в точке л'0>

Гл. X V II. Сравнение двух типов разреженности

193

ность всегда влечет за собой минимальную разрежен ность (Шоке).

Случай R2 более труден для исследования; послед нее утверждение по-прежнему верно для любого е с в 1) (Джексон [1]), обратное утверждение снова неверно.

Иными словами, тождественное отображение под множества coU{*o} в Кд (,г^ 2 ), наделенного мини мальной тонкой топологией, в то же множество, наделенное тонкой топологией, непрерывно, обрат ное же отображение нет.

Дальнейшие результаты см. в		Лелон [1], Брело
и Дуб [1], Наим [1],	Джексон [1].
У п р а ж н е н и я ,	а) Критерий	минимальной раз

реженности подмножества е полупространства оас=Кя

( п ^ 2) состоит	в сходимости	ряда	2 К ^ 'р(у Х при
			р	A .t0	'	и'
			р
прежнем определении множеств І р			(Лелон,			Наим).
В случае R2 для	множества е,	лежащего			в	области

Штольца, другой, очевидно эквивалентный критерий


состоит в сходимости			ряда 2 "Ѵ„-
	G m .	также некоторые		р	р	приложения
в	G m .	также некоторые		примеры и		приложения
	статье Брело и Дуб [1].
	b) Снова при п ^ 2		и	при	тех же	обозначениях

определим минимальную полуразреженность условием

Кекх‘ р (Уо)		0 (не зависящим от s и г/0).			Тогда множе
ство	е,	для	которого	дх/\ х — х0\|—>0	( х е е, х - + х 0),
будет	минимально полуразреженным.
c)	В	случае R”		(п ^ 2 ) полуразреженность е
(см. гл. IX,			п. 6) влечет за собой минимальную полу-
разреженность в со.
Это можно вывести из справедливости этого факта

для случая множеств е,					лежащих в области Штольца.
В	этом		случае мы используем при п ^ З			сравнимость
ур ~		у“	и	заключаем,	что ypjs p(n~2)~	•
При		п = 2		полуразреженность означает,		что рур—>0,
в	то		время как минимальная полуразреженность

*) Этим опровергается утверждение о несравнимости обоих видов разреженности, высказанное без доказательства Лелон,

7 М. Брело

194 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

(в области Штольца) эквивалентна тому, что у“ —:► О, Согласно Джексону, первое условие влечет второе.

d)В любом пространстве Грина Q минимальная

полуразреженность множества е в точке І е Д, может быть определена следующим образом. Поло

жим	(л: ІДх {x)IG%(x)			и	потребуем,	чтобы
в ы п о л н я л о с ь		одно из условий:
а)	RxaJ	■ О (А-*■ оо) (Брело — Дуб),
	Уа
q \	D ° t P \	° іР + І) П е	О (р-> оо),
Р/			О (р-> оо),
			t >	1 (Дуб, неопубликовано).
Доказать		их эквивалентность			и провести	сравне

ние с понятием разреженности. Показать согласован ность этих определений с определениями, введенными в Ь) для случая полупространства в Rn.

Нетрудно в предыдущих примерах заменить об ласть оз на ее пересечение с шаром с' центром х0. Желательно было бы, однако, обобщить эти резуль таты по крайней мере на случай ограниченных регу лярных областей, у которых евклидова граница со впадает с границей Мартина.

У п р а з к н е н и е .	Для такого рода областей Q,
регулярных хотя бы	только в одной точке X е <3Q,
существование двух	шаров, касающихся друг, друга
в точке X и лежащих соответственно внутри и вне
области, позволяет	заключить, что разреженность

(соотв. полуразреженность) в' X влечет за собой мини мальную разреженность (соотв. минимальную полу разреженность).3

3. Сравнение статистических типов разрежен ности. (См. Брело [26, 27].) Так как неизвестно, верны ли результаты п. 2 для общих областей, то мы рассмотрим здесь некоторые более слабые утвер ждения, остающиеся верными и в аксиоматических теориях.

О п р е д е л е н и е XVTI.6.	Рассмотрим	область	аз
в пространстве Грина й и	граничную	точку	х0


	Гл. X V II. Сравнение двух типов разреженности		■ 195
области со в Q. Минимальная точка X границы Мар
тина	области	со (т. е. X е Л,) называется связанной
с х0,	если для	любой окрестности б точки х0 множе

ство со \ б минимально разрежено в X , т. е. (б Г) со) U № есть тонкая окрестность точки X (другое эквивалент ное условие (Наим [1]); х0 есть единственный „полюс“

для

X).

Т е о р е м а

X V II. 7.

Если

множество е с

со \-ста-

тистически

разрежено

на

а cz дез П П (например,

раз

режено в каждой точке а), то оно 1-статистич'гски

минимально разрежено на множестве Е точек из А?,

связанных с точками множества а.

Доказательство.

Если б — переменная окрестность

множества а, то семейство {6f]e} является 1-исче-

зающим в Q (теорема V III. 16) и, следовательно,

в со.

Но (б П со) U Е — тонкая

окрестность множества

Е , и

ее пересечение с е есть 6f|e. Поэтому если

V — пере

менная

тонкая

окрестность Е

в со — со (J А?,

то семей

ство (ѴПе) будет

1-исчезающим, и отсюда следует,

что

минимально

тонко

разрежено рг почти всюду

на Е (теорема XV . 16).

О б о б щ е н и е .

Пусть

W — положительная супер

гармоническая

функции

в Q,

Н — ее положитель

ная гармоническая миноранта в со. Если множество е

^-статистически

разрежено

на

асгдсоПП, то

оно

Н-статистически разрежено на Е (множестве точек

нийД,

“ >

связанных

с точками множества

а ) .

из

Это устанавливается с помощью тех же рассужде

что и

в гл. X V , п. 5.

Угловые

(некасательные) пределы и тонкие

пределы для функций, гармонических в полупро

странстве

со

R".

Рассмотрим

(для определенности

вещественную) функцию f в полупространстве со и

граничную

точку

х0. Число К называют некасатель

ным (или

угловым)

пределом функции f в точке х0,

если f - > \

(в евклидовой топологии) в любой области

Штольца с вершиной в ,г0; число %называется угловой

предельной

точкой

функции

если f{xn)^ -K

для

196 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

некоторой последовательности хЛ-> х й, лежащей в об ласти Штольца.

Мы уже рассматривали множества в со, полностью касательные в точке х0, т. е. такие, что 6_s/| х — х0|-> О,

і ' Е е ,	х - + х 0. Дополнения	таких множеств относи
тельно	со образуют фильтр	Приведенные выше

угловые понятия (предела, предельной точки) экви валентны понятиям предела и предельной точки по

фильтру %х0 (замечание Дуба).

Мы будем также рассматривать фильтры Z'Xo, £*„, образованные дополнениями относительно со множеств (минимально) разреженных, соответственно полуразреженных в точке х0. Этим фильтрам отвечают, как нам известно, понятия (минимального) тонкого предела и полутонкого предела. Кроме того, мы знаем, что первое из этих понятий эквивалентно понятию евкли дова предела вне некоторого разреженного множества, и можно показать, что аналогичное положение имеет место для полутонких пределов и полуразреженных множеств.

Отметим, что фильтр Z? тоньше, чем	и чем %а
(см. упражнение Ь) из п. 2).

Л е м м а X V II. 8. Рассмотрим в полупространстве и переменный шар Вх с центром в х радиуса Rx = аб*, где 0 < а < 1 фиксировано. Тогда для фиксированных точек у0е со, х0е да> имеем

lim inf № (і/ о )/ бГ ' ) > 0 -

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда вектор ха— у0 ортогонален к гиперплоскости <Эсо

и X лежит на той же	нормали, что х0 и у0. Если а х
есть полупространство	{г/\|бу > бДсгсо, то R^x (y^) мажо

рирует гармоническую меру дах (] Вх относительно со* в точке г/g. Последняя с точностью до множителя

совпадает с Rx~l или б.?-1.

Классические результаты типа теоремы Фату о существовании почти всюду угловых или нормаль ных пределов у гармонических и супергармонических

Гл. X V II. Сравнение двух типов разреженности

197

функций (Кальдерон, Стейн, Зигмунд) могут быть получены из следующей общей теоремы о тонких пределах.


Т е о р е м а	X V II. 9	(Брело		и Дуб [1], Константи-
неску и Корня [1]). Пусть			и	и h — две строго поло
скательные гармонические			функции		в полупростран
стве со (или	только	в некоторой			окрестности его

граничной точки х0е R"). Всякая угловая предельная точка отношения и//г в х0 является также (минимально) тонкой и даоке полутонкой предельной точкой. Сле довательно, существование тонкого предела влечет за собой существование углового предела. Существо вание углового равносильно существованию полутонкого предела.

Доказательство. Рассмотрим последовательность хр—>хо, принадлежащую области Штольца ^ с со, такую, что u(Xp)/h(xp)^ -X (этот предел будем считать

конечным; в случае когда он бесконечен, рассуждения аналогичны). Задавшись числом е > 0, мы построим последовательность шаров Вр с центрами хр, принад

лежащих некоторой большей области Штольца W2,

причем так,	чтобы на всех шарах с номерами р >			р0
(где ро зависит		от е)	выполнялось неравенство
I (и//г) — %I <	е и	чтобы	объединение этих шаров	не

было разреженным и даже полуразреженным. Тогда любое множество из фильтра Хт или Xs будет содер жать точку, где I («//г) — X | < е, откуда и будет сле довать, что всякая угловая предельная точка является и полутонкой предельной точкой.

Напомним, что если w пробегает множество всех положительных гармонических функций в шаре с цент

ром х0 радиуса р, а х			пробегает концентрический шар
радиуса ар, то		величина
		Ѳ (а) - s u p		(sup - J $ )
не зависит	от	р	и удовлетворяет		соотношению
Ііш Ѳ (а) = 1	(следствие			классического	неравенства
а -» О

Г арнака).

198 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Возвращаясь к нашей последовательности хр, вы берем сначала р0 так, чтобы при р > р0 иметь

еК (Хр)

Я — т < h (.Гр) < Я + Т 1

а затем возьмем в %?2 шар В'р с центром хр и радиу

сом	pp = ßö.Vp,	где	ß — фиксированное	достаточно
малое	число.	Тогда	в концентрическом	шаре В"р ра

диуса арр = сф6д;р (а < 1) мы будем иметь

X — тг

Ѳ2(а) < т < Н { Ѳ2(а)

Выбрав подходящим образом число а (оно не зависит от р, как и ß), мы получим, что в каждом шаре В"р

(р > Ро)
	X — 6			-д <С Я "Т- а*
Согласно предыдущей лемме, R^p(y0) >					(где К
не зависит от р). Так				как Кх, (х) сх.	на В'р, то
	inf R bp (у 0) > 1) > 0.
		ЧѴ
Каждый шар В'р	пересекает лишь конечное число ѵр
Каждый шар В'р			0
множеств /р, причем		ѵр^ ѵ независимо от р (в силу
соображений подобия).				Если і — одно	из этих пере
сечений, то R ‘K (уо) >		— , Таким образом, существуют
произвольно большие д, для которых
	и	W		_
	R K>p p °			( У о ) > % .
	хо
Это показывает, что при				q -> co левая	часть не стре
мится к нулю, и поэтому множество					( J В"р неразре-

жено и даже неполуразрежено. Шары В"р и являются,

•таким образом, искомыми шарами Вр.

Итак, существование полутонкого предела у ujh влечет за собой существование углового. Обратное очевидно, поскольку фильтр тоньше, чем Xs.

Гл. X V II. Сравнение двух типов разреженности				199
Д о п о л н е н и я	(см.	Брело	и Дуб[1]). Вместо
того чтобы предполагать, что и >			0, /г > 0, достаточно
предполагать, что	h > 0,	а ujh	ограничено	с одной
стороны (в окрестности точки .ѵ0).			В случае R2 никаких

ограничений на гармоническую функцию и налагать вообще не нужно вследствие некоторых специальных свойств разреженности в R2. Изложенные выше ре зультаты применимы к функциям, определенным лишь

в близких к	х0 точках' некоторого открытого конуса
с вершиной	х0 (в общей области Штольца с верши

ной V ) ) .

Отметим важный контрпример Шоке, который показывает, что положительная гармоническая в полу плоскости функция может иметь угловой предел

вточке х0, но не иметь тонкого предела.

Вработе Брело и Дуба изучались также обрат ные статистические свойства. Например, для произ вольной функции со значениями в компактном метри ческом пространстве существование углового предела во всех точках множества е cz до влечет за собой существование почти всюду (по мере Лебега) на е равного ему (минимального) тонкого предела.

Было бы интересно провести сравнение тонких и

угловых пределов	для гармонических B LD -функций.
У п р а ж н е н и я .	1) Рассмотрим в R" (п^2) полупро

странство со, область Штольца 8 с вершиной х0е да

и множество

е с ш , минимально

разреженное

или

даже только полуразреженное в х0.

Рассмотрим далее

меньшую область Штольца 8 ' и

пересечения І'р об

ласти 8 ' с множествами

[х

І Ѳ ^ р * 1 <

| х —

x o | <

02s p ),

0 <

Ѳ2 <

1 <

0j.

Внешняя

гармоническая

мера множе

ства

dip П е

относительно

І р на І'р равномерно стре

мится к нулю

при р —.>оо.

{Указание: непосредственно применить определе

ния

сравнить указанную гармоническую

меру

*) Общая

область Штольца с вершиной х0— это пересече

ние некоторого открытого конуса вращения, содержащегося вместе со своим замыканием (но без точки х0) в полупро странстве, с некоторым шаром с центром х0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2320 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ