книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала

180Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

4.Граничное поведение гармонических и супер­ гармонических функций. Глобальные результаты, получаемые с использованием (минимальной) тонкой топологии (случай Мартина). Успешное введение

минимальной тонкой топологии позволило Дубу по­ лучить результаты, аналогичные классической теореме Фату о некасательных граничных пределах, ограни­ ченных в круге гармонических функций, а также ее усилениям, принадлежащим Кальдерону, Стейну и др., с заменой упомянутых пределов тонкими пределами, причем для случая общего пространства Мартина.

Основой для этих исследований служит проведен­ ный выше анализ.

Т е о р е м а X V I. 12 (Дуб [3,4]). Если h — поло­ жительная гармоническая функция и функция f на А

Если и удовлетворяет условиям предыдущей теоремы

f рЛ-почти всюду. Тот же результат получается для — f, и мы заключаем, что тонкий lim inf (Dfih/Ii) рЛ-почти всюду.

З а м е ч а н и е . Другое доказательство, использую­ щее вместо теоремы X V I. 11 (случай с)) замечание, приведенное в конце п. 3, можно найти у Наим [2].

Т е о р е м а X V I. 13 (Наим [1]). Если ѵ — потенциал, а h — положительная гармоническая функция, то отношение v/h имеет ph-no4Tu всюду на А) тонкий предел, равный нулю.

Доказательство. Нам нужно показать, что множе­ ство точек X е А], где тонкий lim sup (v/h) > 0, /z-прене- брежимо. Докажем это для множества, где тонкий lim sup (v/h) > е > 0. Это множество содержится в мно­

окество 5 с Q і/ положительная гармоническая функ­ ция и, такая, что (б Л Д) = 0. Тогда и/Іг имеет ну­ левой тонкий предел рн-почти всюду на бПДі-

В самом деле, возьмем в Q открытое множество

60сгбос:6 . Так как множество точек Дь где б0ЛП неразрежено, содержится в 6|~]П и, значит, «-прене­

брежимо, то функция /?®пП2 является потенциалом (теорема X V . 11, следствие). Но на 60flß она совпа­ дает с и, откуда и следует искомый результат для б0, а значит, и для б.

Наим [1]). Всякая неотрицательная гармоническая функция и есть сумма некоторого решения D f<h

(с ^.^интегрируемой функцией /) и гармонической функции V, для которой inf (V, Іг) является потен­ циалом.

182 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Доказательство. Мера р„ есть сумма меры f\ih

ции V, такой, что h и ѵ не имеют, кроме нуля,, ни­ какой общей неотрицательной гармонической мино­ ранты. Но это и означает, что inf (v, h) есть потен­ циал. (Другие доказательства без использования мер см. у Парро [і] и Наим [1].)

Л е м м а X V I. 15 (Наим [1]). Если и и h — поло­ жительные гармонические функции и inf (к, h) есть

Таким образом, она является потенциалом, и поэтому множество точек из Aj, где Е е неразрежено, имеет рл-меру нуль (теорема X V . 11, следствие). То же самое верно для множества точек, где тонкий lim sup (u/h)>0.

З а м е ч а н и е . Обратное утверждение также верно

(Наим [1]).

О с н о в н а я т е о р е м а X V I. 16 (Дуб [3, 4]). Если функция и положительна и супергармонична, a h по­ ложительна и гармонична, то отношение u/h имеет конечный тонкий предел рк-почти всюду на А^

Доказательство. В самом деле, и есть сумма не­ отрицательной гармонической функции ѵ и потенциала.

I f dv\ = D f h (у) < и (у).

Следовательно, интеграл конечен (и гармоничен), а так как функция f измерима, то она ^-интегри­

руема и, значит, разрешима. Таким образом, D fth су­ ществует и f конечна Цд-почти всюду.

c) Согласно теоремам Х Ѵ іЛ і и X V I. 12 и цд-почти всюду

(тонкий 1іт(«М) в Х ) ^ (тонкий lim (Dfiklh) ъ X) —

' = f(X) — (тонкий lim {и/h) в X ).

Итак, u/h имеет Цд-почти всюду конечный тонкий пре­ дел, равный /.

ние н//і имеет конечный тонкий предел Цд-почти всюду

произвольной супергармонической функции и, таких, что отношение н//г ограничено снизу в некоторой тон­ кой окрестности ■ каждой точки множества Лс г Д , , это отношение имеет конечный тонкий предел цй-почти всюду на А (Дуб [4]).

Д о п о л н е н и я , а) Дуб [6] изучал также гранич­ ное поведение B LD -функцнй, введенных в гл. IX. Он до­ казал для них существование тонкого предела Дц-почти всюду на Д „ а в случае гармонических функций и

184 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

всюду) в том и только в том случае, когда и является функцией потенциального типа, т. е. пределом (почти всюду, а также по норме Дирихле) последователь­ ности BLD -функций класса С 0 с компактным носи­ телем. Дуб получил и другие результаты в этом на­ правлении. Обобщение исследований Дуба на случай /z-BLD-функций было дано Люме-Наим. .

ß) Гармоническая функция ѵ называется обобщен­

имеет почти всюду на Ді минимальный тонкий пре­ дел, то и обладает тем же свойством (см. Дуб [9], где этот результат приведен в несколько более общем виде).

5. Тонкая проблема Дирихле и различные типы регулярности. Даже в случае Мартина неизвестно, будет ли /z-пренебрежимым множество /г-иррегуляр- ных точек (которые были для более общего случая определены в п. 1). Однако для других вариантов задачи Дирихле это будет так при надлежащем опре­ делении регулярности. Рассмотрим функции и, удо­ влетворяющие условиям теоремы X V I. 11, случай Ь),

и их нижнюю сгибающую, равную D fih. Положим также Df'h— — Д -f,/, и для соответствующей тонкой

h-задачи Дирихле определим понятия и разрешимости так же, как выше. Однако понятие тонкой Іг-регуляр- ной точки X определим с помощью более слабого условия: Dfifl/h-+ f (X) (X е Д) в тонкой топологии

для произвольной конечной непрерывной на А функ­ ции f. Это определение немедленно приводит к же­ лаемому свойству множества тонких /г-иррегулярных точек.

В самом деле, рассмотрим счетное плотное мно­ жество {/,-) в пространстве вещественных конечных непрерывных функций / на Д (с топологией равно­ мерной сходимости). Если et — исключительное мно­ жество, отвечающее функции /г по теореме X V L 12,

Мы сейчас докажем большее и более глубоко проникнем в суть вопроса, введя некоторые новые понятия (при этом мы ограничимся здесь рассмотре­

/г-регулярностей эквивалентна существованию соот­ ветствующей функции о лишь в окрестности точки X . Однако легко видеть, что обычная /г-регулярность влечет за собой слабую /г-регулярность и вытекает из сильной. Далее, слабая /г-регулярность эквива­ лентна условию G,jJ/i— ->0 (очевидно, не зависящему

от уо), а сильная — условию R k {6nU)/ 0 для любой окрестности б точки X.

Если фильтр 5' задается пересечениями множе­ ства Q с (тонкими) окрестностями точки X, то эта точка называется соответственно (тонкой) слабо h-pe-

оісдое из следующих подмножеств в Д[ является h-npe- небрежимым:

a) множество (тонких) слабо h-иррегулярных точек, b ) множество тонких h-iipрегулярных точек,

c) множество тонких сильно h-иррегулярных точек.

186 с/. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Доказательство. Первое утверждение вытекает из теоремы X V I. 13, а кроме того, является следствием двух других. Второе утверждение было уже доказано выше; кроме того, оно также является следствием последнего утверждения, которое мы и докажем. Рас­ смотрим счетный базис открытых множеств простран­

ства й и обозначим через 6„ те из множеств этого базиса, которые пересекаются с ДіТогда отношение

д Р (6ппа)I h тонко стремится к нулю на 6ЯЛ Д( всюду, за исключением некоторого А-пренебрежимого мно­ жества еп (теорема X V I. 13, следствие 2). Следова­ тельно, U е„ А-пренебрежимо и содержит все тонкие сильно А-иррегулярные точки.

ними. Тогда сильная A-регулярность фильтра 5, схо­ дящегося к Х е Д | , эквивалентна A-регулярности этно-

тонкой границы можно получить лучшие результаты, чем для обычной евклидовой границы (гл. IX, п. 8). Данная гармоническая в Q функция и является реше­ нием D f, ! в том и только в том случае, когда она

равномерно интегрируема относительно гармониче­

ских мер ц“ г (здесь — относительно компактная

область в й и х0есй г). В этом случае функция f Рі-почти всюду равна тонкому пределу и.

Супергармоническая функция, которая щ-почти всюду имеет нулевой тонкий предел, будет потен­ циалом в том и только в том случае, когда она обла­ дает указанным выше свойством равномерной инте­ грируемости. Это легко обобщается на случай отно-

которые результаты могут быть получены с помощью важной теоремы Наим, согласно которой при усло­ вии АЛ общая задача Дирихле из п. 1 эквивалентна соответствующей задаче Дирихле для границы Мар­ тина (так как с точностью до двух /г-пренебрежимых множеств существует взаимно однозначное отображе­ ние исходной границы на Лі). Граница А наряду с евклидовой является наиболее важной из компакт­ ных границ, и было бы желательно провести более глу­ бокий сравнительный анализ этих границ, чем это сделано до сих пор. Конечно, основной топологией остается тонкая топология.

Имеются очевидные обобщения на случай функ­ ций комплексного переменного и важные приложения к римановым поверхностям (напомним, что гипербо­ лические римановы поверхности являются простран­ ствами Грина), а именно к проблеме соответствия

188 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

между двумя гиперболическими поверхностями и их границами Мартина (см. Брело [17, 18, 29], Наим [1], Константинеску и Корня [1], Дуб [5, 7]).

В следующей главе будет предпринято более глу­ бокое изучение тонкой топологии и будут рассмот­ рены связи с более ранними классическими резуль­ татами.

Глава XVII

СР А В Н ЕН И Е Д В У Х ТИПОВ Р А ЗР ЕЖ Е Н Н О СТ И . ТО Н КИ Е И Н ЕК А СА Т ЕЛ Ь Н Ы Е П Р ЕД ЕЛ Ы (К Л А ССИ Ч ЕСК И Й С Л У Ч А Й . ПРИМЕРЫ )