Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2318 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

170 V. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Глава XVI

К Л А ССИ Ч ЕСК А Я ГРА Н И Ц А М АРТИ Н А П РО БЛ ЕМ А Д И Р И Х Л Е И П О В Е Д Е Н И Е НА ГРА Н И Ц Е


1.	Общая задача Дирихле. (См.					Брело [17].) Рас
смотрим пространство Грина					Й, плотное^ в некотором
компактном метризуемом пространстве Q (с границей
А = й \ й) и фиксированную					положительную гармо
ническую функцию h на й.
Л е м м а		X V I. 1.	Если функция ѵ супергармонична
в Q и для всех Х е			Д удовлетворяется условиё
		Urn		inf V	( у ) > Я
		(/<=Q, у		А"<= Д ІІ(У)
(в топологии пространства й), то vjh^% .
Доказательство.			Молено,		конечно,	считать, что
Я > — оо. Если лемма				не верна, то vjh после полу
непрерывного снизу продолжения на й						будет дости
гать	своего	минимума		k < Я	на Q. Функция ѵ — kh
"неотрицательна и супергармонична в Q и равна нулю
в некоторой		точке;	следовательно, она есть нуль и
vjh =	k < Я.	Получено		противоречие.

О б о б щ е н н ы е о г и б а ю щ и е . Пусть дана ве щественная функция f на А. Рассмотрим семейство Ф гипергармонических функций ѵ на й, удовлетворяю щих условиям

lim inf (vjh)		lim inf (v/h) >	— оо	(VX g	A).
Заметим,	что	второе условие эквивалентно			огра
ниченности	снизу отношения v/h.		Нижняя отгибаю
щая Dfik этого		семейства есть либо + оо,		либо — оо,

либо гармоническая функция (и, очевидно, возрастает

вместе с		/).	В случае / = сре (q?e — индикатор множе
ства	е е й )		мы	эту	огибающую будем	обозначать
через	hß.	Если		he =	0, то множество е	называется

Гл. X V I.	Классическая граница Мартина	171
й-пренебрежимым.	Термин' “ й-почти всюду“	(й-п. в.)

означает “ всюду, за исключением й-пренебрежимого подмножества в Д“ . Отметим, что D fJl не меняется при изменении f на й-пренебрежимом множестве. По

этому на таком	множестве функция f может быть
не определена.
Положим Dfth равным		—	Из предыдущей
леммы следует,	что D ft Л^		h. Если обе огибающие

равны и конечны (и, значит, гармоничны), то функ ция f называется h-разрешимой, а эта общая огибаю щая обозначается через D ^ h (гармоническое решение

й-задачи Дирихле ')).	Очевидно, что 1 й-разрешима и
D Uh = h. Отметим,	что й-разрешимость сохраняется

при линейных операциях и переходе к пределу по

равномерной сходимости.
Далее	мы будем развивать теорию подобно клас
сической теории для ограниченных областей в R“ (из
ложенной	в Брело	[25]	и в более общей	форме
в Брело [19, 20]).
Л е м м а	X V I. 2.	Если	последовательность	fn воз
растает, и	Dfn, h >	— °°,	то Dfn и также возрастает

и стремится к Dnmfn,h.

Доказательство такое же, как в классическом слу

чае	или в общей теории (Брело [20, 28]). В					частно
сти,	если еп f	, U ап — е, то hen \| . hen - * h e.
Т е о р е м а		X V I. 3. '	Предположим,		что	каждая
конечная вещественная			непрерывная		функция на А
h-разрешима		(условие	А л). Тогда	линейная		форма
Ф и- >	л {у)	может быть записана		в	виде	J ф dvft

(где ѵ[[ — однозначно определенная мера Радона на А)

и для	любой	функции f имеем	D fi h(y) = , J f dv^.
‘) На	языке	аксиоматической теории	(Брело [19]) Df, д/Л

следовало бы назвать решением задачи Дирихле для h - г а р м о - н и ч е с к и х ф у н к ц и й (отношений гармонических функций к h) при заданной граничной функции f .

172 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Следовательно, /ге(у) есть внешняя ѵ!(-мера множе

ства е. Далее, h-разрешнмость функции f эквива лентна ее ^-интегрируемости (это условие не зави

сит от у), и если эта интегрируемость						имеет		место,
то
				J fdv«h.
Доказательство такое же, как в классической или
общей теории.
Нам	потребуется		еще
Л е м м а X V I .4.			Если	а — произвольная			открытая
окрестность множества е в Q, то 1іе — inf							\
						а
Доказательство.			Неравенство		he^ i n l R^n~ оче-
видно. Если супергармоннческая функция								ѵ ^	О
удовлетворяет		в каждой		граничной точкеа			условию
lim inf (v/h)		то ѵПі после полунепрерывного снизу
продолжения будет			> 1 — е на некотором				открытом
подмножестве ß пространства Q, содержащем									е.
Поэтому	ѵ/( 1— е) >		h на	ßflö.	ѵ/(\— е ,)^ Я п П°'				и,
следовательно,		he ^ ( 1— e )^ ,n".			Так	как	е	произ
вольно,	то he	inf Rnna.
		a
С л е д с т в и е 1.			Существует		такая убывающая

последовательность (а„) открытых окрестностей мно

жества е в пространстве	Q, что he = inf ^ “дПй.
	П
С л е д с т в и е 2. Для	всякого е сг Д имеем he =

= inf hy, где у пробегает множество всех окрестностей

множества е.
Л е м м a X V I. 5.	Для	всякого	е а А имеем
{ h e )e = = h e -
Доказательство.	Выбрав	открытую	окрестность а

множества е в Й, введем убывающую последователь

ность а„ с; а, как в следствии 1. Тогда	н а ^	=
	I.

Гл. Х Ѵ і. Классическая граница Мартина

173

==Левая часть стремится к ЯмПР' *2), а inf

ае

равен (he)e, откуда и вытекает требуемое равенство.

Много дополнений и дальнейших результатов можно найти у Брело [16] и Наим [1]. Исследуются роль условия А/,, случай переменных функции h и области Q в заданном пространстве Грина, различ ные типы компактификации, т. е. различные границы, поведение функций вблизи этих границ и т. д. Упо мянем некоторые из результатов. Без предположения о том, что выполнено условие Ал, отображение ен-5-/г(е) для компактных множеств е является ем костью Шоке (и даже альтернирующей бесконечного порядка); эта емкость аддитивна (т. е. определяет меру с соответствующей внешней мерой, равной he для любого е) в том и только в том случае, когда имеет место условие А,ѵ При условии Ал базис фильтра g, сходящийся к Г е Д , называется Іг-регу- лярным, если для всякой конечной непрерывной

функции f	имеем	D fi ,Jh —r> f(X). Это эквивалентно
условию
a) для.	всякой	функции	f,	ограниченной сверху,
lim sup (Df, /(//г)<1іт sup f в А,				а также условию
5			компактного е ф Х .
b) t i jh —r*- 0 для всякого			компактного е ф Х .
Условия а) и Ь) эквивалентны и без предположе
ния о том,	что выполнено		условие АЛ и могут слу

жить определением /г-регулярности базиса фильтра $

в'общем случае.		1
Граничная точка	Г е Д	называется h-регулярной,
если ее окрестности	пересекают Q по /г-регулярному
фильтру S- С помощью		этого понятия могут быть

обобщены некоторые классические результаты, отно

сящиеся к евклидовой		границе. Например, рассмо
‘) В силу следующего замечания: для открытых множеств
ß <= ß' с: й имеем	=	Неравенство <1 очевидно. Но левая

часть мажорирует ѵ на ß и, следовательно, мажорирует правую часть (тот же результат вереи для любых множеств ß crß").

2) В силу общей формулы (8) гл. VI, стр. 67.

174 Ч. 2. Гранччные теории и минимальная разреженность

трим величину 3?% (х), равную lim inf в точке X от ношения ирг, где и — супергармоническая функция и м//г ограничено снизу. Если точка X является /z-регулярной, то

2 1 { Х ) =	lim inf 3)[{Y)
	У - ^ X , У 6 Д \ Е

для любого Л-пренебрежимого множества Е. Однако неизвестно, будет ли множество /г-иррегулярных гра ничных точек /г-пренебрежнмым.

Упомянем еще, что в связи с общей теорией за дачи Дирихле изучались метризуемые, полные, но, вообще говоря, некомпактные пространства и соот ветствующие им границы, причем граничные условия выражались с помощью фильтров. Интересные при меры получаются при пополнении по метрике, совме стимой с топологией й, с помощью базисов фильт ров, определяемых концами некоторых линий, напри мер линий Грина (Брело н Шоке [1],- Брело [15], Оцука, Арсоув и Джонсон).

2. Основной случай: пространство Мартина й . Далее будем предполагать, что й = й (см. Брело [17]).

Л е м м а X V I.			6. Пусть точка X	минимальна (т. е.
І е Д ф	Если	Х е е , то {Кх )е =		К х > в противном
случае	(Кх )е =	0.

Доказательство. Для любой открытой окрестно"

сти а множества е в пространстве й множество аГ)й будет неразрежено в Х е е (лемма X V . 1). Следова

тельно, $к)^ = К х (определение разреженности) и

{КХ)е = К Х.

Вслучае X ф е мы докажем даже немного больше,

а именно что (Кх )а \{Х) ~

Воспользуемся существо

ванием окрестности Е множества Л \ [X) в Q, такой, что Е (]й разрежено в X (лемма X V . 2). Тогда

R Xxa < Кх	и, следовательно, (	Кх)&\ {A-( <	Кх-	Теперь
достаточно	заметить, что для	любого	е с А	мини

мальная функция К х удовлетворяет условию {Кх)е — 0

	Гл. X V I.		Классическая граница Мартина				175
или (Кх)е — Кх-			в	самом деле, так как		( К х ) е ^ К х >
то	(Кх)е =	1К х		далее	((Кх )е)е =	Н К х )е> так
ЧТО	(КХ)е =	1ІКх)е>		и ПОЭТОМУ	Либо {КХ)е = 0,		Либо
/ =	1.
Л е м м а		X V I. 7.		Обозначим	через н ,	меру,	фигу
рирующую		в представлении			Мартина	функции h
(см.	теорему X IV . 4). Тогда

he(У)= J К х (У) dH, (X) =.J фД-х dph

(где срг — характеристическая функция (индикатор) е). Если множество е борелевское (или даже только Неизмеримое), то, обозначая через не, сужение мерын,

на е, будем иметь

he (У) — J Кх dpeh(Х)\ he (у0) = J dp,.

Доказательство. Предположим сначала, что е ком пактно. Рассмотрим открытую окрестность а множе

ства е в Ü. Тогда, согласно лемме X V . 10,

R f n(y) = J RKT(y)dlih(X).

Беря убывающую последовательность {art) таких мно жеств а с пересечением, равным е, убеждаемся, что

истремятся соответственно к 1ге и (Кх )е-

Следовательно,

Для	J	Ш е dH, (X) =	J	К х dH, (X).
he (У) =		Ш е dH, (X) =		К х dH, (X).
			е

открытого множества е рассмотрим возра стающую последовательность компактных еп с (J еп= е и получим ту же самую формулу. Для произволь ного е рассмотрим множество всех открытых окрест

ностей j	в А; очевидно, /г* = inf/г,. Для фиксирован-
	/
ного у	интеграл
	/J К х (У) dHu есть К х (У) ^(хй-мера

176 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

множества /, и поэтому inf 1і/ есть соответствующая

/__

внешняя мера множества е, т. е. J ФеК х {у) dph{X).

Отметим,	что множество			Л \ Л, всегда Л-прене-
брежимо.
С л е д с т в и е .		Если	еи	во — непересекающиеся
борелевские множества в А,				то {he,)ej =	0.
Действительно,		(Лг,)^ (у0)		= J dp*-=	0.
				S'!
Л е м м а	X V I. 8.	Если	е — борелевское (или даже

только неизмеримое) множество, то характеристи ческая функция фе этого множества Іг-разрешима.


Доказательство. Так						как (Ле)д\е =				0> то для лю
бого е >		0 мы можем			найти такую открытую окрест
ность	а	множества			А \	е	в	пространстве й,			что
Ш ^ а { У о ) < г- Далее, разность								Ііе —		0 и равна
нулю	на aflß;		эта — субгармоническая							функция в й,
которая		не превосходит				/ге =		Дре./,,	и	ее отношение
к h	стремится		к	нулю		в	каждой		точке множества
А \ е\ следовательно, она не превосходит £><ре,											Это
показывает, что				разность Дфе, /і — Аре, /, произвольно
мала в точке г/0;				следовательно, она равна нулю в у0
и, значит, всюду в й.
Т е о р е м а			X V I .9		(для		пространства Мартина).

Всякая конечная непрерывная функция ф на А является h-разрешимой, и мера dv,Jh из общей теории

равна в рассматриваемом случае K x {y)d\ih(X).

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Действительно,		функцию ф
можно приблизить с точностью до		любого е > 0 ко
нечной суммой функций	вида	(где	е; — боре

левские множества, — вещественные числа), кото рая /г-разрешима. Сопоставление выражений для he(y), данных в теореме X V I. 3 и в лемме XVI. 7, приводит К искомому соотношению между vf и p,/fi

Гл. X V I. Классическая граница Мартина

177

Отметим, что /г-пренебрежимость множества рав носильна в рассматриваемом случае равенству нулю его рА-меры.

З а м е ч а н и е I.	Доказанный	результат	перво
начально был получен	Брело [17]	с помощью	анало

гичных, но более длинных рассуждений. А именно, вместо интегрального представления Мартина исполь зовалось одно более грубое элементарное предста

вление. Оно приводит к			формуле Z ) f , А= J [ Ң х dv'ft,
где	мера	vf« сосредоточена на Ajj в частном случае
f =	1 эта	формула дает	D u А — h = J K x dyff, т. e.
представление Мартина.
	З а м е ч а н и е 2. Лемма X V I. 4 наводит на мысль

рассмотреть последовательности функций ЛА(ПП (в Q) для убывающей последовательности множеств егс:£2; однако даже если все et открыты и f| П П = 0 > то inf Re,lna Ф hne . При выполнении условия П П П = 0

этот inf равен inf/гл., где А,- — множество точек из Ді,

в которых	П П неразрежено. Более	подробное и
более общее	исследование проведено	в	Брело [30].
У п р а ж н е н и е . Функции D fi/l (/^0 )			совпадают

с пределами возрастающих последовательностей не отрицательных гармонических функций, отношение которых к /г равномерно ограничено (Парро [1],

Брело [17]).

3.Другие характеризации огибающих (случай

Мартина).	Л е м м а X V I.	10 (принцип минимума)
(Наим [1]).	Пусть заданы	положительная гармони

ческая функция h и супергармоническая функция и, такие, что и /Іг^ К (где постоянная К ^ . 0 ) . Пусть е — множество внутренней ун-меры нуль и для всякой

точки X е А, \ е существует		неразреженное в ней
множество Е х , такое, что	и (у)
lim inf		=0.

!/-»Х, y<s Ex AM

Тогда и ^ 0.

178 Ч. 7. Граничные теории и минимальная разреженность

Доказательство. Рассмотрим функцию «)=inf (и, 0) и допустим, что ui ^=0. У этой функции имеется наибольшая гармоническая миноранта u [ ^ K h . Мно

жество Е е= {а: I Ui (х) ^ — е/г (х)}, совпадающее с мно жеством [х\иГ^ — е/г], содержит для каждой точки X е Д, \ е пересечение множества Е х с некоторой окрестностью точки X. Поэтому борелевское под множество в ДI, где Е й разрежено, является частью множества е и имеет нулевую цд-меру и нулевую

ц_,/-меру. Следовательно,						/ = — и', (теорема X V . 11).
Так как ы, — и[ +			ѵ (где ѵ — неотрицательный потен
циал),	то	— гг] ^		е/г +	о	на Е Ё. Таким	образом,
ß	е/г +	V на	Q	для	произвольного е >		0, так что
R J ut ^
Ы1	Получено		противоречие.
гг] = 0.
Т е о р е м а X V I.				11 (Наим [1], Дуб [3]).			Для про

извольной вещественной функции f на А рассмотрим гипергармонические функции и, для которых отно шение и/Іг, где /г — фиксированная гармоническая функция, ограничено снизу и удовлетворяет одному из следующих условий:

a)	Для	любой точки X ед Д, существует множе
ство Е х‘ , неразреженное в X и такое, что
		lim inf (u/h)^f{X) .
		у ^ Е ^1 , у - * Х
b)	Тонкий lim inf (u/h) ~^f{X) в любой точке X е Д[.
c)	(Дуб)	Тонкий П т sup {и/h) ^ f (X) в любой точке
X €= Д].

Тогда низюняя огибающая множества таких функ ций и совпадает с D lth. Тот же результат верен, если

предположить лишь, что указанные условия выпол няются рІг-почти всюду.

Доказательство. В каждом из трех случаев рас сматриваемая огибающая, очевидно, ^ D fjlt, и нам

нужно получить противоположное неравенство. Так как отношение u/h ограничено снизу некоторой кон стантой X , то достаточно рассмотреть вместо f функ-

	Гл. X V I.		Классическая граница Мартина			1	179

цию f/ =	sup(f, К),			поскольку	h.	Можем
считать	поэтому,		что / ограничена снизу, например,
неотрицательна.			Предположим, что		функция		D fift
конечна.	Тогда	существует функция c			p	v'-j- и ре
интегрируемая		и	такая, что Ар, Л= Д^, Л и Ц ,_\|:іЛ = О
(в случае, когда f			бесконечна, ср — / =		0). Это — свой
ство верхнего интеграла. Отсюда следует,						что	мно
жество,	где ср — f		>	е > 0, имеет внутреннюю рЛ-меру

нуль. Далее, если функция ѵ гипогармонична и удо


влетворяет	условиям:		vjh	ограничено		сверху и
lim sup (v/fi)	в	любой точке			Л,,	то функ
ция и — V	гипергармонична,			а (и — ѵ)//і		ограничено
снизу, и в случае		а) имеем
	lim inf		-------—-----> 0

иЛ

У ® У ~ > Х

для всех Х е Д , ,							исключая множество нулевой вну
тренней рЛ-меры.							Следовательно, и —	— е/г, иГ^ѵ
И	U	^	Д ф , Л	А р ,		h	Л’

		В	случаях		Ь)		и с) и(у)//г(у) имеет предел f(X)
при			у —> Х	по	некоторому множеству Е'£, неразре

женному в точке Т е Ді (в соответствии с интерпре тацией тонкой топологии на Ql JAn данной в теоре мах X V . 9 и III. 3). Следовательно, и — ѵ удовлетво

ряет' тем же условиям, что и выше, с заменой Ех

•на Е'£, и мы заключаем, что

	Если	D fth = + со,	то _мы	рассматриваем fn =	'
— inf (/,		я); тогда функция Df		* конечна и стремится
к Dfih при я > оо. Так			как	то ц > £ Д Л=
=	оо.

З а м е ч а н и е . В качестве следствия в случае с) получаем, что для положительной супергармонической

функции	V	множество точек на	A lt где тонкий
Um sup (v/h) =		+ оо /z-пренебрежимо	(прямое доказа
тельство	см.	у Наим [2]),

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2318 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ