Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2317 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

160 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

топологии Т п )

продолжением на

функций вида

vjG' (х, уф,

где

ѵ — неотрицательная

гипергармониче

ская функция на Q.

Тогда

семейство Ф'

порозкдает

Q U

А ]

на

Q 0 АI ТУ же тонкую

топологию,

что

и Ф[,

т. е.

минимальную тонкую топологию.

Это

вытекает из следующего результата (Наим [1],

теорема 7М6):

Для

любой

неотрицательной

супергармонической

функции V отношение vlGyo на

имеет в

любой

точке I g A! минимальный тонкий предел (г.

е.

пре

дел по фильтру Z x),

равный £Tm-liminf.Q

Доказательство. Будем предполагать, что указан

ный lim inf

конечен.

Обозначим его через Л.

Нужно

доказать разреженность

в точке

множества Ее,—

= {х 1V (x)/G ( X,

о)

Л +

е, е >

.ѵ ф у0].

Для

вся

кого і е

имеем

V { х)

(Л +

е) Ще.

(х) = (Л - f е)

(г/0) —

I/O

— (А + е) [ Gx (y)dbfe,

так

что

Далее,

db*t(у)=

у)d b ^ (уX)

f Кх {У)

lim inf

f К (X,

ио

Xs £2, .v->X J

у0

Т Г Г ^ т -

lim inf

— < 1,

" Г 8

j e E 1, X - > K G y a

и Щфх {уф)<

1= Д х (іу0), чем требуемая разреженность

и доказана.

З а м е ч а н и е

Предыдущим

рассмотрениям

можно придать другую форму, если ввести, следуя Наим [1], некоторое продолжение на А отношения

G (х, y)/[G (х, уо) G (у, уф]. Мы получим на Q симме тричное ядро Ѳ (л:, уУ, соответствующие потенциалы неотрицательных мер определены na Q \ [уф (но могут быть полунепрерывно снизу продолжены в у0) и обра зуют конус, который порождает тонкую топологию,

Гл. X V . Пространство Мартина и разреженность

161

совпадающую с минимальной тонкой топологией на QUAi - Ядро Ѳ оказывается полезным также при изу чении B LD -функций. (Дуб [6]).


В а ж н о е			з а м е ч а й и е2				(Наим [1], теорема 8М7).
Последний		результат предыдущей - теоремы стоит со
поставить		с	поведением			отношения		vjK x		(X е Ä J
в точке X .			Согласно		теореме X II. 6,			это	отношение
имеет	минимально				тонкий		предел	в	X ,	равный
inf {vjKx), а также,				очевидно,			равный £Гш-1іт inf {v/Kx )
в X .	Кроме того,			можно		показать, что он совпадает

с р„ (IX)). Это вытекает из равенства рц ([X])=inf (ѵ/Кх)•

В случае когда ѵ есть потенциал, это очевидно, по скольку неравенство ѵ ^ &КХ (е > 0) невозможно. Для

гармонической	функции ѵ это также легко получить,
отправляясь от	случая ptJ((X}) = 0. Тогда мы не можем
иметь ѵ ^ г Д х ,	ибо отсюда	следовало бы р ц ^ е р ^ .
Наконец, в общем случае		надо воспользоваться ад

дитивностью величины іпі(ѵ/Хх)> вытекающей из того,

что она равна соответствующему тонкому пределу*

3. Строгая разреженность	и неразреженность.
Т е о р е м а X V . 9. На пространстве Q \|JA i		с тополо
гией £Гт разреженность и неразреженность,		отвечаю
щая конусу функций ФІ; всегда	строги.

Доказательство. Для Q это известно. Для мно жества Е а Q, разреженного в точке X е Дь мы докажем строгую разреженность, построив меру р0 ■ на Q, такую, что

J K 'x d p o <	+	° ° ,
I К ' (х, у) dp (у) -> ггт +	оо	(X <= Е , X -> X).

Будем отправляться от меры р, удовлетворяющей соотношению (2); для некоторой убывающей последо

вательности ап	открытых окрестностей точки I		в Q
и для сужений	р„	меры р на сг„ П ß ряд 2 Рл Дает
решение вопроса		(подробное доказательство	см.
в Брело [33]).

6 ' М. Брело

162 Ч, 2. Граничные теории и минимальная разрейкенность

Наконец, множество Л! \ {Я], очевидно, разрежено (так как индуцированная на Д, топология дискретна), и можно убедиться, чт оно строго разрежено, ис пользуя множество Е из леммы 2 и отвечающую ему меру ц0, построенную в предыдущем абзаце. Инте

грал J	К ' (х, у) Фо (у),		который стремится к -j- оо
(в топологии £Гт)		в точке X по Е,		будет стремиться
к -Ь оо	также и	по	Л[ \ (X} в силу следствия		тео
ремы XV. 6.
Что	касается	неразреженностп,		то заметим,	что

достаточно убедиться в строгой неразреженности мно жества Е czQ, при условии, что оно неразрежено в X .

Будем обозначать через R% приведенные функции относительно Ф, в пространстве Q(JAiЛюбая функ

ция	К е Ф \| ,		мажорирующая			1	на Е \ б (где б — от
крытая окрестность				точки X			в Q,	у 0 ф б),	на Q не
меньше,		чем отношение			R ^ 6/G 'o,			которое	на 6(1 Q
					У о	'
равно R a ^ 6(yo)IGx {i/0) =					j R(x,		y ) d b f ^ 6(y).		Далее,
V (X)	не	меньше,		чем			inf	этого выражения,
т. е.	чем	I К ( Х , у) d b ^ ü(y)				(теорема X V . 6,			следст
вие).	Эта	же	оценка верна			для R\'K6(X).			Поэтому

достаточно установить, что sup | К ( Х , у) dbe,/6(у) — 1

(см. гл. II, п. 4) или же что Rf^ ö* (yQ)

(у0) для

некоторых б„ (П = {X}). Но это предельное соот ношение хорошо известно (см. гл. V I, п. 10).

4.Приведенные функции. Минимальные и неми

нимальные точки.	Л е м м а	XV. 10. Если функция ѵ,
неотрицательная	и супергармоническая на Q, допу
скает представление ѵ ( у ) =		J R ' (х, у) dpB(х) (где рѵ—
неотрицательная мера на Q,		сосредоточенная на Q (J At)
и е czQ,, то

Ra (z) = J R n' ' (X, у) (z) d [lv (x ) ,

Гл.

X V .

Пространство Мартина и разреженность

163

Доказательство. Известно (гл.

VI),

что R v{z)e

—

— j

v(y)dbiz (y). Следовательно,

Reu (z) равно

J (

JК ' (X,

y) dblz (//)) d\iv(x),

или

R Ke - ( X i (2 ) dpv {x).

Т е о р е м а XV . 11.

(Наим [1].) Если функция u^

гармонична и Е сг Q,

то условие Rft = и эквивалентно

тому, что борелевское множество

<%Е точек из Д,,

где Е разрежено, имеет \хи-меру нуль.

Доказательствоч')* . Допустим,

что

р„ (ІГ£) =

Так как

Ни (у) = {

Rkx (у ) dpu (X)

и R eKx =

Кх

(V * ф & Е),

то мы получаем

Ш іу) =

Кх (ѵ) d\iu(X ) = и (у).

Теперь предположим,

что

R u =

Введем счетный

базис (б;)

регулярных

областей

в Q; в любой точке

• Ѵе Д , ,

которой Е

разрежено,

имеем неравенство

Нк х (у ) < К х (у ) Для

некоторой

точки у

в одной

из

областей

б,-.

Следовательно,

RcKxdf,l‘ < K x (!l)

(Ѵ !/еб ,).

Иными словами, <gE содержится в счетном объеди нении множеств а;, удовлетворяющих предыдущему ■ неравенству для всех X . Покажем, что аг имеет нуле вую пи-меру. Поскольку мы имеем дело с борелевскими функциями,

=	Ш	R Kx(x)dpu(X))d9l4x)E	=
=	!	R u М dp^ix) = I U dp6J (х) = и (у) (уу <= бг).

') Мы следуем доказательству Гаурнсанкарана [1], который уточнил также описание множества <§с

164 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Следовательно,

j K w - j я£,‘'р;,]‘'м*)“ 0,

откуда ц„(аг) =	0.
З а м е ч а н и	е . Множество &Е является пересече

нием Л| с множеством типа Ка из Л.

Мы приведем доказательство, отличное от перво начального доказательства Гаурисанкарана. Прежде

всего Rkx (Уо) — J Кх dbeya. Далее, <£Е есть пересече

ние Лі с объединением множеств /7П= | ^ ^ ал(г/0) < і|

из Д (здесь Q„ f , Q„ er cz Q, \|J	= Й).	Каждое Fn
есть объединение множеств	(Kj) ^ 1	—- p” 1} для

всех натуральных р. Наконец, каждое из этих мно жеств есть пересечение множеств | ^ ^ 1іл+<гЧ 9’п'>(У0) ^ < П — р-1} для всех натуральных q. Последние же множества компактны в Д.

С л е д с т в и е .	Для любых	неотрицательных гар
монических функций и и множества Е с			Й имеем
R U^E	\ K x dix'u + j	Rxx dp",	(3)

где ц ', р" — суокения меры ра на Д, \ $ Е и <SE соот ветственно. Первый член есть наибольшая гармони

ческая миноранта для			RE, а второй	является потен
циалом.
В самом	деле,	X е	Ді \ $£=#> Rkx = Кх, откуда
и получается искомое разложение.
Далее,	пусть	и' положительна,		гармонична и

Ru. Тогда и' — Ru\ Действительно, в противном случае, существует супергармоническая функция ѵ, которая ^ и' на Е и < и' в некоторой точке х; рас смотрим супергармоническую функцию ш, которая ^zu

на Е и достаточно близка к Ru в х. Функция v-j-w— и'

неотрицательна

Ru ^ u ') , ^ u на Е , но <

	Гл.	X V . Пространство Мартина и разреженность									165
в точке X.			Поэтому		мы заключаем,			что pu,			= О,
и так	как		эта	мера ^			то	^	ц'	и,	значит,
и ' < . І К х і К -
О п р е д е л е н и е					X V .12.		Неотрицательная				гармо
ническая		в	Q	функция		и	называется		привязанной
к нулю в точке X е					А, если существует такая окрест
ность	б	точки		X в	пространстве Q,				что	u =	Ru6na
на б Г)	П.	В этом случае то же самое верно								для любой
окрестности			6' сг б.
П р е д л о ж е н и е					XV.	13.	Если	неотрицательная

гармоническая функция и привязана к нулю в любой точке множества соЛАі, где ® — открытое подмноже ство пространства Q, то для ассоциированной меры р.„

имеем рц(соПАі) = 0- Обратно,		из	этого	равенства
следует, что и привязана	к нулю		в каждой точке
множества со Л А.
Доказательство. Для	любой	точки		Х 0е А і Л ®


можно найти в Q				открытое множество coj cz со, являю
щееся		окрестностью точки Х а и такое,						что R?,ainQ = u
на	а, Л П, а следовательно, и на Q							(поскольку это
равенство имеет место квазивсюду на Ccüj).									Так как
Соц	разрежено в			каждой		точке	множества ю, Л Дц
то р„ (со, Л Ді) =			0.	Используя счетное				покрытие мно
жества		со Л Ді,	мы		заключаем,		что	цц (со Л Аі) = 0.
Обратное, утверждение доказывается легко.
В качестве непосредственного следствия получается
Т е о р е м а			X V . 14.		Положительная гармоническая
функция и на Q будет минимальной в том									и только
в том случае, когда она привязана к нулю									во всех
точках мнозкества X е					Д,, кроме одной (или же во всех
точках А'і=Д, кроме одной минимальной).
Следовательно:
Всякая неотрицательная						гармоническая			функция,

привязанная к нулю во всех точках множества Д, кроме одной точки Х 0, либо пропорциональна Кх„, либо равна нулю в случае, когда точка Х 0 не мини мальна .

166 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Это — принцип положительных особенностей, вос ходящий к Булигану [1]. См. Дени [1] и Брело [12].

Х а р а к т е р и з а ц и я н е м и н и м а л ь н ы х т о ч е к

м н о ж е с т в а	А.	П р е д л о ж е н и е XV.	15. Для того
чтобы точка X	е	А была неминимальна,	необходимо

и достаточно, чтобы выполнялось любое из следующих

условий:
а)	Существует	такая	окрестность б точки			I s A
в Q,	что Якп’л Ф Кх .
Ь)	А			0 на й,	что
	Существует такая мера ц ^			0 на й,	что
					(У)		(4)
Доказательство.		Утверждение		насчет	а)	близко
к предыдущей теореме.
Что касается условия			Ь), то	формула	(2)		сразу

показывает, что из него следует неминимальность точки X . Далее, если точка X неминимальна, то мы


можем				использовать открытую				окрестность б из а),
и	соображения,					приведенные в		начале		доказатель
ства		теоремы			X V . 6,		дают меру, удовлетворяющую
условию Ь).
	З а м е ч а н и е .					Рассмотрим		на	пространстве		Q
(с	топологией				£Гт ) конус функций Ф, определенный
в	теореме X V . 7.					В	соответствующей		тонкой тополо
гии		Q		будет	строго		неразреженным		в любой точке
X е А, (в силу теоремы XV . 9). Далее, Q										строго раз
режено				в любой точке ^ е Д \ Д \| . Разреженность вы
текает				из Ь),	а строгая разреженность доказывается
так же,				как в теореме X V . 9.
	У п р а ж н е н и я .						1) В указанной тонкой топологии
множество А \					А!	открыто, а любое подмножество в Д)
замкнуто.
	2)		Минимальная				тонкая топология на Q U Aj				ин
дуцируется топологией на Q, в которой										для всякой
точки			X е А,		базис окрестностей состоит из множе
ств		фильтра				с	добавленной	к	ним	точкой	X ,
а	для			всякой	точки		X е А \ Ді окрестностями явля
ются		окрестности				в топологии СГЧ,

Гл. X V . Пространство Мартина и разреженность

167

5.Статистическая разреженность и свойство


Шоке. (См. Брело		[27].) Т е о р е м а		X V . 16. Пусть
даны	множества е с : £2, а с: А,		и положительная гар
моническая на Q функция h			с ассоциированной ме
рой	рЛ, сосредоточенной на Дг Тогда			h-статистиче-
ская	разреженность	на а	(с т а т и с т и ч е с к о е

св о й с т в о ):

еразрежено на а всюду, за исключением множества нулевой у,'-меры

эквивалентна тому, что для окрестностей со множе ства а в пространстве Q семейство (со fie) является

h-исчезающим, т. е. inf/?“ ne = 0.	Тот же результат
верен для тонких окрестностей а	в Q (J ^ і •

Доказательство. Пусть имеет место статистиче ское свойство. Разложим а на множество сс0, где е неразрежено, и множество а,, где е разрежено. Так

как |xft(<z0) = 0, то D^an = О 1). Далее, существует по

ложительная супергармоническая функция ѵ, такая,

что	П т inf (v/h) ^	1	на	а0	и	ѵ (у0) < е.	В таком слу
чае	v /h> 1— е	на открытом				множестве		со0, являю
щемся пересечением			Й	с	множеством		со,	открытым

в й и содержащим а0. Таким образом, ѵ/{1— е)^/г

на соо и R tna (уо) < е/(1 — е). Что касается аь то за метим, что множество, где е разрежено, есть пере сечение множества А! с подмножеством типа К а в Ді (см. теорему X V . 11, замечание). Поэтому достаточно проверить свойство /г-исчезания для произвольного компактного множества ß точек из Д \ Д[. Рассмотрим

открытое в й множество со тэ ß, такое, что

p ( ö f ) A ) < p(ß) + e

(замыкание берется	в й), и возрастающую последо
вательность компактов К п,		Тогда наибольшая
') Обозначение	вводится	ниже в гл. X V I, и. 1 ,—

Прим, перев.

І68 Ч , 2. Граничные теории и минимальная разреженность

гармоническая миноранта для І?дПш есть 1ітІ?лП“ пс/’с«,

или J К х d\ah, где Е — подмножество в А,, на кото-

ром ef|w разрежено (следствие теоремы XV . 11). Тач-

ким образом,	(//о) —> р (А"). Но Е cz 0 \ ß, и
поэтому р (Е) <	е, откуда и следует искомое свой
ство Л-исчезания.
Для доказательства обратного утверждения рас
смотрим тонкую	окрестность со множества а,'такую,

что ДлП“ (уо)< s . Наибольшая гармоническая мино

ранта этой	функции		есть		1{х с/рЛ,	где Е	то же, что
и выше. Но	а0 с: Е ,			Е
и выше. Но	а0 с: Е ,		так чтоJ
и, следовательноJ		, р	J 41л<ДлП“(Д))<е
	Go		Е
			/1(а0) =	0.
Д о п о л н е н и я			и у к а з а н и я .			1)	Статистиче

ское свойство эквивалентно существованию положи тельной супергармонической функции U , такой, что

U/h-+oo		на af\|ë (или тому же			самому в тонкой то
пологии).
2)	Функцию h можно заменить положительной
супергармонической функцией					V,	пользуясь	ассоци
ированной			с V	мерой рк, которая на А равна рЛ,				где
h — наибольшая				гармоническая		миноранта	для	V.
3)	Сравнение полученных результатов с резуль
татами для пространства Q (гл. VII) позволяет
прийти		к	следующему выводу.			Пусть a c r Q U A i ,
e c Q		и	V — положительная		супергармоническая

функция. Тогда аналогичное статистическое свойство с исключительным Ѵ-полярным множеством (т. е. V- статистическая разреженность) эквивалентно У-исче- з-анию семейства {со Л е} (где со — окрестность мно

жества а в Q или в тонкой топологии), а также существованию супергармонической функции 1 /^ 0 , такой, что отношение {U/V) \е (там, где оно имеет

Гл. X V . Пространство Мартина и разреженность	169
смысл) стремится к + 00 в точках множества	af\|<?

(соответственно в точках множества af\ë в случае тонкой сходимости).

С в о й с т в о Ш о к е . В общей теории (гл. IV) можно было бы назвать свойством Шоке множества е и веса р(е) существование для произвольного е > 0

замкнутого множества е' czë, такого, что р ( ё \			е') < е.
У п р а ж н е н и е . В	изложенной	выше классиче
ской теории обозначим	через	нижнюю	огибаю

щую множества неотрицательных гипергармониче

ских	функций, которые мажорируют функцию <р^0
на множествах е 0 й и й f]				где ш — некоторая окре
стность множества е в й.				Тогда вес J #*е		(где
— гармоническая мера в 6 для точки у0е						б) обла
дает	свойством Шоке		для	любого	множества е сг
е й	U Дь Для	которого	множество		ef\|Ai	является
^-измеримым		(здесь V — некоторая положительная
супергармоническая функция).

6.	Случай	шара	или полупространства в R".
В этих случаях пространство Мартина совпадает
с евклидовым		замыканием рассматриваемой области.
Как	показала	Наим	[1], оказывается возможным и

интересным уточнить предыдущий анализ и дать, например, критерий разреженности, аналогичный классическому критерию Винера.

Более подробное непосредственное изучение слу чая полупространства было предпринято раньше Ле- лон-Феран [1]. Однако ее определения (например, определение разреженности с помощью критерия типа Винера) и методы не приспособлены для слу чая общего пространства Мартина и поэтому здесь не рассматриваются (см., впрочем, гл. XVII). Было бы полезно углубить эти результаты и установить их связь с общей теорией.

Дополнительные сведения по тематике этой главы (например, о подпространствах) можно найти у Мар тина [1], Брело [12], Наим [1] и в более поздник аксиоматических исследованиях.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2317 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ