книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала

^60 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

гармоническая миноранта на Q| допускает гармони­ ческое продолжение на Q, являющееся минорантой для w и, следовательно, пропорциональное w.

Рассмотрим любую неотрицательную гармониче­ скую функцию и на Qi и для ее супергармонического продолжения й на Q запишем представление Рисса

й = XGXo+ V ^ О,

где V—гармоническая функция. При этом Х ^ О , ѵ ^ О . Если k ^ G .v,, то v ^ G Xa на Q| и, значит, на Q. Сле­ довательно, о = 0, ti — XGXa и функция Gx„ мини­ мальна на Q].

Предположим теперь, что функция и минимальна на Q,. Если и ограничена вблизи ,ѵ0, то Л = 0 и функ­ ция й гармонична и обязательно минимальна на Q, так как любая ее гармоническая миноранта будет пропорциональна ей на Qi и, следовательно, на Q. Если же и неограничеиа, то ее миноранта о должна быть пропорциональна и и, следовательно, равна нулю, так что u = XGXt.

Есть более сложное доказательство, использую­ щее результаты о поведении функций, гармонических

работы Ханта и Уидена [1, 2], о которых будет ска­ зано ниже (гл. X V II, § 4).

Важно подчеркнуть, что в R2 или на римановой поверхности всякое конформное преобразование со­ храняет функцию Грина и, значит, ядро К{ х, у). Так

как односвязная область со, граница которой в R2 содержит более одной точки, может быть конформно отображена на открытый круг, то пространство Мар­ тина для такой области со гомеоморфно евклидову замыканию круга, а граница Мартина совпадает

смножеством простых концов Каратеодори.

Вобщем случае для произвольной евклидовой области Грина топология Мартина, как показывают примеры (Мартин [1], Брело [12]), несравнима с евкли­ довой топологией. Напомним пример области в R3,

атакже успех нового понятия,

7.Другая характеризация пространства Мартина (краткие указания). Рассмотрим пространство Грина Й,

конус 5 + неотрицательных супергармонических функ­ ций и линейное пространство 5 разностей этих функ­ ций. Точнее (см. гл. XI), мы рассматриваем множе­

ство пар (и, ü), где и, о е S +, и вводим отношение эквивалентности в этом множестве следующим обра­

стороны равенства определены лишь квазивсюду). Класс эквивалентности, отвечающий (и, ѵ), обозначим через [и, ѵ\. Тогда S является множеством этих

классов эквивалентности, а 5 + находится во взаимно однозначном соответствии с множеством классов

[и, 0]. Как мы уже упоминали, 5 + является полной решеткой относительно порядка, порождаемого самим

конусом S + (специальный порядок) (это может быть

152 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

доказано без использования теоремы Рисса о пред­

ставлении), и существует топология на S, в которой S + локально компактно. Сейчас нам достоточно ввести счетный базис регулярных областей со* и счетное всюду плотное множество точек х {. Тогда [и, о] і—>

J ° rf p?j есть полунорма, и эти полунормы

определяют топологию (не зависящую от выбора со,-, x s). Таким образом, у конуса S + существует компактное метризуемое основание В, например определяемое

точка уд фиксирована) (см. Брело [19], Эрве [1]). Мы уже видели, что, используя теорему Шоке, можно (даже в рамках аксиоматической теории) прийти к представлению любой неотрицательной супергармо­ нической функции в виде

вести, что крайние элементы множества В совпадают

ций %xG(x, у)), и его замыкание Е в В гомеоморфны Q и Q соответственно.

Доказательство. Что касается первого утвержде­ ния, то см. Брело [18] и Гаурисанкаран [1]. Далее,

мы видим, что Е гомеоморфно некоторому компакту Q, в котором Q плотно. Для последовательности функ­ ций из В, гармонических в открытом множестве со, сходимость в В влечет за собой сходимость в каждой

точке со. Следовательно, Q удовлетворяет всем уело-

виям, определяющим й (здесь важно существование

ченную на множестве минимальных гармонических функций. Следовательно, ввиду гомеоморфизма между

<§ и й и между $ \ Ш и А мы получаем разложение Рисса —Мартина

и ( !/ ) = { G (.V, у) Ъх dp, (х) + J К х (у) dp2(X). (9)

Второе слагаемое — это наибольшая гармоническая миноранта, представление которой дается форму­ лой (1).

Глава XV

К Л А С С И Ч ЕС К О Е П РО СТРА Н СТВ О М АРТИ Н А

ИМ И Н И М АЛ ЬН АЯ Р А ЗР ЕЖ ЕН Н О СТ Ь

1.Минимальная разреженность. Минимальная

выпуклый конус U неотрицательных гармонических функций, выпуклый конус Р потенциалов и конус Ф неотрицательных гипергармонических функций. Ка­ ждый класс функций, пропорциональных минималь­ ной гармонической функции, соответствует некоторой

154Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

вобщем случае, объединение двух разреженных мно­ жеств будет разрежено, само й неразрежено и дополнения к разреженным множествам образуют фильтр Z x .

3 а м е ч а н и е. Если множество е разрежено в X, то Я к х ° К есть потенциал (для любого компакта /(ей ),

и этот потенциал стремится к нулю по направлен­ ному по возрастанию множеству компактов К.. В част­

рассматривали возможные продолжения тонкой топо­ логии на й до топологии на ЙІ_|Ді, в которой окрест­ ности любой точки X е Ді пересекают Q- по множе­

(йл) относительно компактных открытых множеств, такую, что й;1с :й лс :й , U ß„ =>ß; тогда Rx \^&-»

где J dvn= I . Некоторая подпоследовательность ѵПр

будет слабо сходиться к мере ѵ на Q. Следовательно,

ной системой открытых множеств а„, замыкания

быть мерой Дирака для точки I s 6 , Противоречие.

ствует единственная топология, удовлетворяющая следующим условиям:

(i)она индуцирует на Q тонкую топологию;

(ii)соответствующие ей окрестности любой точки

X е А, пересекают Q по множествам фильтра Z x , Эта топология отделима, множество Q в ней от­ крыто, и она индуцирует на А, дискретную тополо­

гию.

Доказательство. Если со — открытая относительно компактная окрестность точки х е Q, то Ссо не раз­ режено ни в какой точке I s Д,. В топологии, удо­ влетворяющей условиям (і) и (іі), существует откры­

возможно. Поэтому a = со, и й открыто в рассматри­ ваемой топологии.

Покажем теперь, что слабейшая топология, удо­ влетворяющая условиям (і) и (іі), совпадает с силь­ нейшей такой топологией. Воспользуемся результа­ тами гл. X II, п. 4, и теоремой X II. I, взяв в каче­ стве {/) точки множества А 1; а в качестве элементов фильтров 23г — тонко открытые подмножества в Й, принадлежащие %х . Существование тонко замкнутого

ние ее с сильнейшей топологией. Теорема доказана. Топологию из этой теоремы будём называть ми­

нимальной тонкой топологией на й (М і-

2.Интерпретация минимальной тонкой тополо­

Л е м м а X V . 5. Из соотношения J G (x, у) dpx(г/)<1

^JG (x, y) dp2'(y) для любой точки x следует соот­

ной супергармонической функции ѵ.

Доказательство. Если {а„} — возрастающая после­ довательность компактных множеств, такая, что

(J ал = Q, то Ravn(y) есть потенциал j" G(x, y)dvn(x) и

J Rvndp{ = J ({ G (*>У) Фі) dvn.

То же самое верно для ц2При сделанных предпо­ ложениях

J $ яф , < / R lnd.p2,

и искомый результат получается переходом к пре­ делу при ц -»оо .

Доказательство. Мы знаем, что если X не при­ надлежит £Гт-замыканию множества Е , то Е разре­ жено в X , и условие (2) выполнено (с (х = 0), по­

скольку правая его часть, т. е. sup inf Г К (х , у) dp (у)

6 х<=Е ПÖ

(5— любая ^“ .„-окрестность), равна в данном случае + °° (как inf по пустому множеству).