книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала

чае, когда в качестве Ф взято указанное только что семейство функций, не зависит, с точностью до гомеомерфизма, от точки у0. Оно называется простран­

ством Мартина, а множество A = Q \ Q — границей

Мартина. Топология пространства Й будет обозна­ чаться через £Гт .

Доказательство. В любой области Q, с Qj сл Q, Q, э у0 функция у I—> G (х, y)/G (х , уа) гармонична, если

Если Q', Ü " обозначают пространства, соответствую­ щие семействам, связанным соответственно с точками

у'0, у'о, то оба множителя справа сходятся в й " при

X е Й" \ й к конечным положительным пределам; то же справедливо поэтому для левой части. Если при различных Х и Х 2 пределы левой части при У — y'ö

различны, то эти пределы разделяют точки множе­

ства й" \ Й; в противном случае при некотором у будут различны пределы G{x, y)/G {х, у") в соответ­

ствии с определением й". Таким образом, пределы (в й") левой части при х - ^ І е О ^ Ч Й и любом у существуют и разделяют точки множества й " \ Й. Следовательно, й гомеоморфно й".

Д о п о л н е н и я , і) Предел К (X, у) функции Д (х, у)

при х - > І е 0 \ й (обозначаемый также через Д х {у)) есть вещественная непрерывная функция точки {X, у ) е s Д X й. Это — следствие непрерывности по X и равномерной непрерывности по у.

іі) Рассмотрим при фиксированном у0 семейство функций X >—*■ К (х, у,) для плотного множества {уг}. Пространство, получаемое в этом случае по теореме

Константинеску — Корня, совпадает с Й, так как

142 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

функции у ь-9- /<■ (.V, у) сходятся, когда х стремится к любой граничной точке этого пространства. Введем, далее, счетное семейство {ф/} вещественных непре­

рывных функций с компактным носителем, плотное во всем пространстве таких функций (с нормой sup | • |). Слабейшая равномерная структура в Q, в которой все функции K{x,tji) и фу равномерно непрерывны,

есть структура, пополнение которой дает Q. Это показывает, что структура, о которой идет речь, имеет счетный базис окружений и, следовательно, про­

странство Q метризуемо.

(где — гармоническая мера для регулярной области

сй0 э у0) и соответствующие нм функции К'. Полу­ чаемое таким образом пространство снова совпадает

с Q (так как К' = К при хфаз0).

2.Минимальные гармонические функции в про­

отрицательных гармонических функций с естествен­ ным порядком U является неотрицательным конусом. Поэтому минимальные гармонические функции являются точками на крайних образующих конуса U. В <§ѵ мы можем ввести топологию локальной равно­ мерной сходимости, и тогда множество функций из <§и, определяемое условием u ( y o ) = U будет замкнутой гиперплоскостью. Положительные функции из этой

жествами есть непустое множество типа Gfi (как мно­ жество крайних точек компактного метризуемого множества в линейном пространстве).

Найдем все минимальные гармонические функции. Очевидно, что если р — положительная мера на Д,

то j К (X, у) dp (X) есть положительная гармониче­

ская функция в Q (это следует из критерия среднего). Справедливо и обратное утверждение.

Ле м м а X IV . 2. Всякая неотрицательная функция и, гармоническая в Q, допускает представление

где р — положительная мера Радона на Д.

Доказательство. Если Q„ — возрастающая последо­ вательность относительно компактных открытых мно­

жеств, такая, что и UQ« = Q, то функция R°un является потенциалом (она супергармонична и

ф . М = J G (х, у) d\in (х) = I к (X, у) dvn (х),

где dvn (х) = G (х, у0) dp„ (х), J dvn= и (у0) и supp ѵ„ с

er dQ„. Молено извлечь подпоследовательность ѵ„р,

слабо^ сходящуюся к положительной мере р на Q с носителем в Д. Непрерывность функции х і—> К(х, у)

на Й дает

и ( у ) = \ К ( Х , y) dii(X).

Т е о р е м а X IV . 3. Всякая минимальная гармони­

Соответствующие точки X называются минималь­ ными точками границы Д, и их множество обозна­ чается через Д}.

144 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Доказательство. Пусть и > 0. Используем пред­

ставление и ( у ) = [ К (X, tj)dyi(X), в котором р есть

строго положительная мера. На Л существует такая

точка Ar0, что всякая ее открытая окрестность V в Q имеет р-меру ф 0. Следовательно,

В'Ус функций Кх из By. является гомеоморфизмом. Действительно, Х<—> К Х есть непрерывное и взаимно однозначное отображение компакта А на отделимое

пространство В',л . Образ множества А! представляет собой множество крайних точек множества Ву„.

3. Представление Мартина. Напомним сначала фундаментальные результаты Шоке.

Рассмотрим в отделимом локально выпуклом топологическом линейном пространстве Е выпуклый

до Н . Отсюда мы легко заключаем, что при х - * Х е Н

Вслучае R2 мы используем соотношение logx ~

~х — 1 при л'—>1, и аналогичные вычисления дают

очевидных соглашениях имеет место для всех гра­ ничных точек. Это дает ядро Пуассона для полупро­

вует в каждой граничной точке. Поэтому Й можно идентифицировать с евклидовым замыканием.

Для того чтобы получить явное выражение этого предела, проще всего воспользоваться полученным выше предельным соотношением для точки Алек­ сандрова.

Подвергнем преобразованию Кельвина функцию бу/6у0, выполнив -инверсию в шаре радиуса бUt с цен­ тром в точке Х 0, симметричной точке у0 относительно плоскости Я; точку касания шара с Н обозначим че­ рез Z 0. Образ нашего полупространства будет шаром

148 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

с центром F0 = { ä + 2 o) и радиусом R = ~ ö l/l}.

Возьмем точку К0 в качестве начала и обозначим через у ., у\ координаты точки у и ее образа у ', при­

чем последнюю ось выберем перпендикулярной к Н (с уп> 0). Тогда

жительных гармонических функций в шаре с цент­ ром уо радиуса R:

и ( у ) = \ R n~2 d» (z) (7)

(с единственной положительной мерой ц на дО).

У п р а ж н е н и я . 1) Доказать существование меры (X, применив представление интегралом Пуас­ сона в концентрическом меньшем шаре и предель­ ный переход.

2) Используя полученное представление, вывести, что минимальные гармонические функции совпадают с функциями, пропорциональными ядру Пуассона.

Напомним, что если функция, гармоническая по одну сторону от гладкой (дважды непрерывно дифферен­ цируемой) поверхности, равна нулю на этой поверх­ ности, то ее градиент имеет при приближении к по­ верхности конечный предел. В случае функции x^—^ G ( x , y ) в шаре этот предел равен как раз

dG „

-т— . Выше мы установили существование этой нор-

° пх

мальной производной независимо.

Подчеркнем, что классическое решение задачи Дирихле для шара, т. е. интеграл Пуассона

J K x (y)f(X)dv(X), или J R» - 2-^ - J l - y ° f f(x)dv(X)

(ѵ — равномерное распределение единичной массы на сфере), можно записать в виде

равно как общее представление (7) в виде5

на Q, либо функции, пропорциональные G*„.

Доказательство. Если w — минимальная функция на Q, то ее сужение на будет минимальной функ­ цией для Q[. Действительно, всякая ңеотрицательная