книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала

130 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

изложение, рассмотрим непустое множество Q и два

А к с и о м а Ао. Если и <= U , в е Н , го inf (и, ѵ) е 2.

В случае когда существует р = + оо, из аксиомы А, следует, что и — 0, Ѵи е У .

М и н и м а л ь н ы е г а р м о н и ч е с к и е ф у н к ц и и.

порядке для функций неотрицательные элементы совпадают с элементами из U , т. е. что U является положительным конусом этого линейного простран­ ства. Тогда для /ге U , /гфО,

отрицательную функцию f на Е, мажорируемую функцией из 2. Положим

132 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

ие2, разреженных относительно /і, будет также раз­ режено. Таким образом, множества, дополнительные к разреженным, образуют некоторый фильтр £л.

Доказательство. Если е,, е2 разрежены и ри р2 —

потенциалы, мажорирующие h на еь е2, то р, + р2 есть потенциал, мажорирующий h на ех(J е2.

Т е о р е м а X I I . 6 (Наим [1], теорема 8.17; Гаурп-

санкаран [1]). Пусть 1г— минимальная функция Ф О,

циальная часть р в разложении функции ѵ были бы

влекло бы за собой равенство h' — Л/г всюду. Утвер­ ждение 2) доказывается рассмотрением того подмно­

4. Минимальная граница. Две минимальные функ­ ции будем называть эквивалентными, если они про­

порциональны (с множителем ФО). Класс эквивалент­

ности, содержащий ft, обозначим через ft. Фильтр £Л одинаков для всех ft из данного класса эквива­ лентности, и поэтому мы будем его обозначать че­ рез Т,-.

Q — топологическое пространство, V — выпуклый конус вещественных неотрицательных непрерывных функций на Й, a Р — выпуклый конус полунепрерывных снизу неотрицательных функций. Тогда функция из U -}- Р и + оо образуют выпуклый конус Ф, удовлетворяющий

=(где Ё — тоцкое замыкание множества В).

Следовательно, если е разрежено в ft, то ё также разрежено, и дополнения к тонко замкнутым множе­

ствам, разреженным в ft, образуют базис фильтра

2) соответствующие им фильтры окрестностей для любой точки ft е m индуцируют на Q фильтр Т;-.

134 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

имеется слабейшая, которую называют м и н и м аль-

мой, если отделима тонкая топология в Q и если для всякого г е ЕІ существует потенциал р, для которого

р ( х ) > 0 (поскольку это влечет для каждой точки /г разреженность некоторой окрестности точки х).

Далее мы изучим важный частный случай, когда минимальная тонкая топология на Q (J m является тонкой топологией (в смысле гл. I), отвечающей не­ которому семейству функций, полунепрерывных снизу (для подходящей топологии на Q (J ш)-

У п р а ж н е н и е . Кроме принятых предположений допустим еще, что

i)в Ф возможно счетное сложение;

ii)для некоторой фиксированной минимальной

(нижнюю грань следует брать по множествам, где эти отношения имеют смысл);

iii) существует такая последовательность мно­ жеств Ѵп, что RehnVn—> 0 для всякого множества е,

разреженного в /г (функция h та же, что и в іі)). Тогда для заданной функции «ц е !/ существует

множество е0, разреженное в этой точке h и такое, что для всякой функции к е [/, и ^ uq, отношение ujh имеет предел по фильтру с базисом ѴПр \ еа (где пр—

некоторая подпоследовательность последовательно­ сти натуральных чисел) (этот предел равен минималь­

ному тонкому пределу в Іг, т. е. пределу по фильтру Ц .

Гл. X II]. Общая компактификаңия Константинеску—Корня 135

Глава ХШ

ОБЩ АЯ К О М П А К Т И Ф И К А Ц И Я К О Н СТ А Н Т И Н ЕСК У — КОРНЯ .

П ЕРВЫ Е П РИ М ЕРЫ П РИ М ЕН ЕН И Я

1. Константинеску и Корня доказали свою теорему (см. [1]) дляримановых поверхностей, но их дока­ зательство сохраняет силу для произвольных локально компактных пространств. Они пришли к понятию компактификации, близкому к понятию компактификации Стоуна — Чеха и позволяющему вводить раз­ личные полезные границы единообразным способом.

Т е о р е м а X III. 1. Пусть й — локально компакт­ ное, но не компактное отделимое пространство и Ф — семейство непрерывных функций на О со зна­ чениями в [— о о , о о ]. Существует единственное с точ­

ностью до гомеоморфизма компактное пространство й, удовлетворяющее следующим условиям:

i) й — плотное подмножество в й.

ii) Каждую функцию ( е Ф можно. продолжить до непрерывной функции f на й.

iii) Семейство функций {f} разделяет точки мно-

оюества й \ Й (это множество будем ниже обозначать через А),

Кроме того, й открыто в пространстве й.

Доказательство. Покажем прежде всего, что й

открыто в любом Q, удовлетворяющем перечисленным выше условиям. Рассмотрим все относительно ком­ пактные открытые множества йг в пространстве й.

Имеем А с= й с; (й \ й() U й( (замыкания берутся в й). Так как замыкание й; в fl компактно, то оно является

также замыканием в й. Поэтому йг сг й и А с : й \ Й(І д < = П ( й \ й/). Но (й \ Й() П й совпадает с множеством'

136 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

й \ й г (замкнутым в й). Таким образом,

Следовательно, Д компактно и й открыто в Й. Докажем теперь единственность пространства й,

предполагая, что оно существует. Пусть й, й '— два пространства, удовлетворяющие поставленным усло­

должен сходиться в й'; в противном случае на Й имелись бы два фильтра Т ,, Т2 (на любом мно­ жестве ю й это будут базисы фильтров), более тонких,

чем Та, и сходящихся в пространстве й' к точкам А'], Хо (АТ, Ф Хо). Эти точки не принадлежат й, поскольку сходимость Т, в Й' к точке Х { е й влекла бы за собой сходимость в й, а значит, в й, что противоречит сходимости Тп к точке х е й \ й . Рассмотрим теперь две точки АТ, и Х , е 0 ' \ й , Х і ф Х 2, и непрерывное

продолжение f некоторой функции / иа Й', разде­ ляющее точки А ,, А 2; функция f должна иметь раз­ личные пределы по Т ,, Т2, и должен существовать предел по То, что невозможно.

Итак, Та сходится в Й' к точке Х е Р / \ й , и ,

переставляя й и Й', мы убеждаемся, что соответствие хі—> Х биективно. Далее, тождественное отображение

Xi—э-х множества Й как части й в й, рассматривае­ мое как часть й', имеет предел X е Й' \ й в каждой

точке х е й \ й ; поэтому оно имеет непрерывное

продолжение, определяющее гомеоморфизм между Й и й'.

Остается доказать существование пространства й. Пусть Ф0 обозначает множество всех конечных непре­ рывных функций на й с компактным носителем. Рас­ смотрим множество Ч/ = Ф и с1)о- Каждой функции

Г л. X III. Общая компактификация Константинеску— Корня 137

равномеризуемость Q или то обстоятельство, что компактификация Александрова нормальна).

у которых координата, принадлежащая R$a, отлична от нуля. Е есть открытое множество в т (Q) (как прообраз открытого множества) и содержит т (х0).

смотреть в т(£2) равномерную структуру компактного

пространства т(Q), соответствующую структуру на Q и пополнения обоих пространств).

Теперь легко проверить, что полученное Q удо­ влетворяет требованиям іі) и ііі). Рассмотрим [ е ф .

Проекция точки т(х) на Rf есть f(x); это отображе­ ние из т(Q) в Rf имеет непрерывное продолжение —

проекцию из пі(й) в R ;. Следовательно, в силу гомео­ морфизма, f допускает непрерывное продолжение ндй.

138 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

рывное продолжение ф на границу й было бы нулем. Итак, -ф е Ф, и ііі) доказано.

2. Другая характеризация рассмотренной компактификации. Т е о р е м а X III. 2. Равномерная струк­ тура на Q, индуцируемая единственной равномерной

структурой на й, может быть охарактеризована

a) как слабейшая равномерная структура S, в которой все функции из Ф равномерно непрерывны, b) как слабейшая равномерная структура S ', совместимая с топологией Й, в которой все функции

из Ф равномерно непрерывны-

Следовательно, й является пополнением Й в равномерной структуре S или S'.

Доказательство. Докажем сначала эквивалент­ ность а) и Ь). Топология, определяемая S , является слабейшей топологией, в которой непрерывны все функции, из Ч; , и поэтому она совпадает с тополо­ гией й. Поэтому структура 5 входит в число струк­ тур, описанных в Ь), и, следовательно, сильнее, чем S '.

странство. Следовательно, соответствующее попол­ нение й компактно, и мы сейчас убедимся, что оно г.омеоморфно й.

Окрестности точки к е О \ й пересекают й по мно­ жествам, образующим фильтр Коши в равномерной структуре й (в которой функции из' Ф равномерно непрерывны). Следовательно, в более сильной струк­

случае функция f, допускающая непрерывное продол­

ствам некоторого фильтра, причем имеется более тон­

триваемого как подмножество в й) в й (рассматри­ ваемое как подмножество Q) имеет пределы в точках

множества й \ й, т. е. допускает непрерывное про­ должение. Это продолжение является взаимно одно­ значным непрерывным отображением компактного

пространства й на отделимое пространство й и, сле^ довательно, есть гомеоморфизм.

У п р а ж н е н и е. Рассматривая только S', дока­ зать непосредственно, что соответствующее пополнение

есть й.

3. Примеры применений. (См. Константинеску и Корня [1].) 1) Теорема X III. 1 в случае пустого Ф

показывает, что й является единственным компактным пространством, в котором Й плотно и которое содержит

только одну точку вне й. Следовательно, й есть (с точ­ ностью до гомеоморфизма) компактификация Але­ ксандрова.

2)Если Ф содержит все вещественные непрерыв­ ные (конечные или нет) функции, то мы получаем

компактификацию Стоуна — Чеха.

3)Пусть Ф — множество вещественных непрерыв­

ных функций, такое, что для любой функции ( е Ф имеется компактное множество, дополнение к которому представляет собой объединение областей, в каждой из которых f постоянна. Тогда мы получаем

компактификацию Керекьярто — Стоилова, введенную