книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала

Гл. XI. Обобщение на случай аксиоматических теорий 121

в классическом случае, существенна тонкая топология

(см. Брело [26— 30]).

5. Сопряженные пучки. (См. Эрве[1].) Рассмотрим совокупность предположений (А2), включающую в себя (А,Р) и предположение о существовании базиса отно­ сительно компактных открытых множеств, которые являются вполне определяющими в том смысле, что для

любого потенциала ѵ, гармонического в 6, R v = ѵ в б. Выберем потенциал ри с носителем [у], принад­

лежащий фиксированному компактному • основанию конуса S + (в топологии Эрве). Тогда всякий потенциал

алом и-допускает поэтому представление j pz(x)da®(z).

Рассмотрим любое вполне определяющее множество б с 6 с с о 0 и конечную непрерывную функцию / на ш0,

удовлетворяющую условию f(y) = J f(z)da6u (z). Такие

функции f для всех со0 образуют пучок, удовлетво­ ряющий аксиомам 1— 3, причем множества 5 образуют базис регулярных открытых множеств, а а® является

гармонической мерой. При изменении в выборе потен­ циала Ру сопряженные гармонические функции умно­

жаются на некоторую вещественную положительную непрерывную функцию.

Далее, у*->Ру(х) представляет собой соответст­ вующий потенциал с носителем [х] и обозначается через р*х {у).

П р и м е р. Если рассмотреть в Q c R " решения дифференциального уравнения в частных производных второго порядка эллиптического типа с локально липшицевыми коэффициентами, то при подходящем

выборе Ру сопряженный пучок будет соответствовать классическому сопряженному уравнению (Эрве [1]).

6. Выметание. Приняв лишь предположения (А) или даже более слабые предположения (Бобок — Константинеску — Корня), можно обобщить важнейшие

свойства функций R%> и особенно функций Ru, Ru для супергармонических неотрицательных и (аддитивность по и, строгая субаддитивность по е и т. д.). Заметим,

что при предположениях (Aj + D) функция Rett является наименьшей неотрицательной супергармонической функцией, которая мажорирует и квазпвегоду на е. Использование тонкой топологии оказывается здесь полезным.

Что касается выметания меры, то общая теория значительно отличается от классической из-за отсут­ ствия симметрической функции Грина. Принимая пред­ положения (А), рассмотрим меру р > 0 с компактным

носителем; равенство J Ra dp, подсказанное

классическим случаем, если оно выполняется для всех вещественных непрерывных потенциалов и, определяет единственным образом меру ^ 0 (называемую выме­ тенной мерой). При дополнительных предположениях эта формула может быть обобщена на случай общих супергармонических функций и.

Эта теория имеет много приложений; в случае (А]) уже справедлив критерий разреженности множества е

в точке хо в форме ф гХа (Константинеску [2]).

Принимая предположения (А2), рассмотрим со­ пряженный пучок (п. 5). Пусть звездочка обозначает „сопряженное понятие“ . Тогда справедлива следующая

ключевая формула: R pie (х) = /?*» {у) (Эрве). Из нее,

вчастности, вытекают:

a)тождественность сопряженно полярных и поляр­

ных множеств;

b) эквивалентность аксиомы (D) для сопряженного и для исходного пучков;

Гл. X I. Обобщение на случай аксиоматических теорий 123

с) следующий критерий разреженности множества е в точке х0$£е: для некоторой окрестности б точки х0

Однако мы не можем здесь входить в детали многочисленных обобщений классических результатов при различных предположениях (см. Эрве [1], Бобок, Константинеску и Корня [1,2], Константинеску и Корня [2], Константинеску [2], Брело [27, 28, 30, 32,33]).

7. Задача Дирихле для компактных множеств. Здесь также были получены обобщения классических результатов. Прадель [1,2] сперва при предположе­ ниях (А,), а затем и при многих других предположе­ ниях выяснил роль разреженности и рассмотрел связи рассматриваемого вопроса со свойством квазианали­ тичности гармонических функций (т. е. с тем обстоя­ тельством, что гармоническая функция является нулем, если она равна нулю в окрестности некоторой точки).

Отметим еще, что в рамках аксиоматической теории (при тех или иных дополнительных предположениях) можно проследить и связи с границей Шоке, но, кажется, эти результаты нигде не публиковались.

8. Более слабые аксиоматики. Для того чтобы дать приложения к теории уравнений параболического типа, Бауэр [2, 3, 5] ослабил предыдущие аксиомы следующим образом. Если отвлечься от некоторых несущественных деталей, то он сохранил аксиомы 1 и 2 и ослабил аксиому 3, требуя, чтобы для напра­ вленного по возрастанию семейства гармонических функций ui на открытом множестве со sup«* также был гармонической функцией при одном из следующих условий: (КД sup ц, ограничен; (КДэирн; конечен; (Kd) (аксиома Дуба) sup ut конечен на плотном множестве. Для того чтобы получить принцип минимума, Бауэр вводит следующую аксиому:

124 Ч. I. Внутренняя тонкая топология

(Т) в Q существует положительная гармоническая функция h и !г-гипергармонические функции (опре­

деление такое же, как в классическом случае) раз­ деляют точки й.

(Часто предполагают, что уже положительные функции разделяют точки Q.)

Заметим, что эти аксиомы удовлетворяются и в первоначальной аксиоматике, если предположить, что в Q существуют две непропорциональные гармо­

базиса в Q и существование для каждой точки і е £ 1 положительного в х потенциала, Бауэр построил тео­ рию, аналогичную изложенной выше. Однако инте­ гральное представление в этой теории более сложно

и не столь полезно в связи с отсутствием у конуса S + основания. Понятие разреженности играет аналогич­ ную роль.

Преимущество аксиоматики Бауэра состоит в том, что она применима также к уравнению теплопровод­ ности и вообще к широкому классу уравнений второго порядка параболического типа. Бобок, Константинеску

иКорня [2], Константинеску и Корня (в обширной монографии [4] по гармоническим пространствам), Уолш и другие авторы еще более ослабили эти аксиомы

иполучили более общие теории локального и гло­ бального характера. Некоторые обратные проблемы были рассмотрены Ханзеном и особенно Мокободским

иСнбони (см. Мокободский [2]).

Что касается топологий, используемых в этих аксиоматических теориях, то упомянем о недавней книге Фугледе [6], посвященной тонко гармоническим функциям, а также, хотя это и находится вне рамок нашего изложения, о важной роли понятия ядерности, введенного Лоэбом и Уолшем (см. также Хинрик-

сен [1]).

Для приложений описанных аксиоматических тео­ рий важно определить все пучки, удовлетворяющие аксиомам. Для случая области в R'1 и функций

Часть 2

ГРАНИЧНЫЕ ТЕОРИИ И МИНИМАЛЬНАЯ РАЗРЕЖЕННОСТЬ

Глава XII

А Б СТ РА К Т Н АЯ М И Н И М АЛ ЬН АЯ Р А ЗР ЕЖ Е Н Н О С Т Ь .

МИ Н И М АЛ ЬН АЯ ГРА Н И Ц А .

МИ Н И М АЛ ЬН АЯ ТОНКАЯ ТО П О Л О ГИ Я

1.Введение к части 2. Граничные задачи в теории дифференциальных уравнении в частных производных изучались ранее только для евклидовых границ. Небольшим усовершенствованием было введение точки на бесконечности в R" и использование компактифици­

рованного пространства. Впрочем, в классической проективной геометрии также использовались точки, линии и плоскости на бесконечности.

Первым примером введения другой важной границы были простые концы Каратеодори, примененные им для изучения поведения функций комплексного перемен­ ного. В настоящее время их можно рассматривать как частный случай границы Мартина (см. гл. XIV), или компактификации (пополнения). Специалисты, изучав­ шие задачу Дирихле, также пришли к необходимости расщеплять некоторые граничные точки; ясно, что в круге с разрезом по некоторому радиусу нет ника­ ких оснований ожидать, что в точке, лежащей на этом радиусе, граничное поведение решения будет одина­ ковым при подходе к ней с разных сторон. Для того чтобы придать этим рассмотрениям более отчетливую форму, представлялось естественным ввести в соот­ ветствующей области подходящую метрику, совмести­ мую с евклидовой топологией, и затем пополнить пространство по этой метрике (см. Брело [9]).

Но как вскоре было обнаружено, лучшие резуль­ таты получаются, если вводить границу, зависящую от природы изучаемого класса функций. Вообще если рассматривается произвольное топологическое nDO-

странство Q и функции на нем со значениями в другом пространстве £У, то наиболее полезные границы полу­ чаются компактификацией или пополнением Q, зави­ сящим от класса рассматриваемых функций. Эти рас­ суждения будут развиты в следующей главе и там же будет дан ряд приложений.

Далее, иногда бывает естественно узучать поведе­ ние рассматриваемых функций в связи с некоторыми последовательностями точек или некоторыми фильт­ рами. Эти фильтры можно рассматривать как точки абстрактной границы, причем представляется интерес­ ным, а иногда даже необходимым ввести на объеди­ нении Q и этой абстрактной границы топологию таким образом, чтобы сходимость по рассматриваемым филь­

ванализе (теория Шоке). На этом пути мы придем

кпонятиям минимальной границы, минимальной раз­ реженности в точках границы и продолжим ранее рассматривавшуюся тонкую топологию до так назы-. ваемой минимальной тонкой топологии. Фундамен­ тальное значение этих понятий ярко демонстрируется классическими результатами Наим и Дуба о гармо­ нических и супергармонических функциях (эти резуль­ таты обобщены Гаурисанкараном на случай аксиома­ тической теории гармонических функций), которые

имеют существенные приложения в теории функций комплексного переменного и в дифференциальных уравнениях с частными производными. Во многих случаях, как мы это увидим ниже, минимальную тонкую топологию можно изучать в рамках теории, развитой в части 1.

2. Предварительные сведения. Изложение в этом пункте основано на работе Мышкиса [1].

Те о р е м а X II. 1. Пусть Q — некоторое множество,

ипусть в нем-задана топология, превращающая его

втопологическое пространство й0- Рассмотрим в й0 семейство {Ö;} ( і е I) базисов фильтров, образованных

128 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

1)на Q они индуцируют топологию пространства ß0;

2)для любой точки і е / пересечения окрестностей этой точки с Q образуют фильтр с базисом 23/.

Среди этих топологий имеется сильнейшая топо­ логия Тм; в ней множество Q открыто, а на I она индуцирует дискретную топологию; множества из S it к которым добавлена точка і, образуют базис окрест­ ностей точки і в этой топологии.

Среди тех из указанных выше топологий, в кото­ рых Q открыто, имеется слабейшая топология Т,п\

фильтра, являющегося фильтром окрестностей точки і в топологии Т,п в Q,.

Наконец, топология Т,п будет отделимой в том и только в том случае, когда

a) пространство Q0 отделимо;

b ) Ѵл; е Q0) i е I, существуют окрестность точки х

вQ0 и множество ае23/ без общих точек-,

c)Ѵі, / е I, і ф /; существуют множества н е 23г, ße23/ без общих точек.

бегает 23/, образуют базис окрестностей точки і. Аксиомы окрестностей выполняются, и эта топология удовлетворяет требованиям 1) и 2); в ней множество Q открыто, и она индуцирует на/ дискретную топологию.

Влюбой топологии, удовлетворяющей условиям 1)

и2), окрестность точки х е й или / е / является, оче­ видно, окрестностью и в только что построенной топо­ логии, и поэтому последняя действительно является сильнейшей топологией Тм.