книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала

ленная единичная, мера на любой достаточно малой сфере с центром в х0.

Итак, пусть ,ѵ0 <= ÖQ; введем гармоническую меру р-

Нэ

J fdp° = f ( x ) ^ f ( x Q),

и поэтому J" fd\i = f{xü). Так как точка л'0 ^-экстре­

мальна, то р = е . Следовательно, меры р~ слабо

(в силу непрерывности f). Отсюда следует, что точка xQ не является ^-экстремальной.

У п р а ж н е н и е. Рассмотреть вместо Q компакт Д, взяв в качестве (8 множество всех вещественных не­ прерывных на К функций, гармонических в Д. Пока­ зать, что граница Шоке состоит из регулярных гра-

ничных точек множества Д и точек множества К \ Д.

ции, гармонической в некоторой открытой окрест­ ности множества К. Тогда § -экстремальные точки совпадают с устойчивыми граничными точками Д, границей Шоке множества Д относительно <8 служит тонкая граница множества Д , а границей Ш илова*) служит дД.

Доказательство. Как и выше, никакая внутренняя точка не является ^-экстремальной.

Далее, обозначим через /Сф решение задачи Ди­

рихле для множества К и конечной непрерывной функции ф на дД (гл. V I, п. 6, б)). Отображение Ф1—э- /<■ (д:) является возрастающим линейным функ­

ционалом, который, следовательно, представим в виде

С фdvx, где ѵ.ѵ — положительная единичная мера2)* и

для Rn, а в общем случае устанавливается исходя из рассмот­

в том случае, когда С І\ не разрежено в х (т. е. когда точка х устойчива).

С/ — неотрицательная субгармоническая функция, рав­ ная нулю только в точке х0 (подобно функции | х — л:01 в R")1). Тогда для любой открытой окрестности со множества /( имеем

(Qj открыто, й, гэ /С, й, с ; й0) множество е имело бы нулевую гармоническую меру, и значит, существо­ вала бы в Q, \ / ( положительная супергармоннческая функция, стремящаяся к + 00 в точках из е. Поло­ жив ее на К равной + оо, мы получили бы функцию, супергармоническую в а, и тогда множество аП/С было бы локально полярным, а следовательно, С К было бы неразреженным в точках множества е. Полу­ чено противоречие.

З а м е ч а н и е . Семейства & — это частные случаи семейств общей аксиоматической теории Бауэра [1], который рассматривал на данном компактном про­ странстве линейное пространство вещественных не­ прерывных функций, содержащее постоянные и раз­ деляющее точки этого компактного пространства; соответствующая задача Дирихле ставится на гра­ нице Шилова.

У п р а ж н е н и е . В предыдущих теоремах опреде­ лить границу Шилова непосредственно.

116Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

Ак с и о м а 3. В области © любая возрастающая последовательность гармонических функций стремится либо к гармонической функции., либо к + со.

Как установили Коистантииеску и Корня, отсюда вытекает тот же вывод для любого направленного по возрастанию семейства, а Мокободский, Лоэб и Уолш показали, что аксиома 3 (при наличии других аксиом) эквивалентна тому, что всякое семейство гармониче­ ских функций в области и, ограниченное сверху в одной точке, будет равностепенно непрерывно

влюбой точке области ©.

2.О п р е д е л е н и е . Функция и называется гипер­ гармонической в открытом множестве со0, если она

цательной в ©. Если константы являются гармониче­ скими функциями, то для любой гипергармонической функции и в любом © имеем

inf и[(у) = inf (lim inf и в х).

Часто бывают полезными следующие определение и замечание.

h - г а р м о н и ч е с к и е фу н к ц и и . Если h — веще­ ственная непрерывная положительная функция на Q, то отношения u/h, где и — функция, гармоническая на некотором открытом множестве, образуют новый пучок, удовлетворяющий аксиомам (с тем же набо­

118 Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

теории. Локаіьно полярные множества полярны, и некоторые основные свойства классической разрежен­ ности можно получить без дополнительных предполо­ жений. Это относится, например, к сверхразрежен­ ности п строгой разреженности при наличии разрежен­ ности в любой полярной точке х0 ф е, к существованию у неотрицательной супергармонической на открытом множестве со функции тонкого предела в граничной точке, где Ссо разрежено.

В случае (Аі) слабая разреженность эквивалентна разреженности для любой точки х ф е '); при допол­ нительных предположениях можно получить дальней­ шие обобщения 2)* .

З а д а ч а Д и р и х л е . В случае (А) задачу Ди­ рихле молено изучать, используя обычную топологию, во всяком случае для относительно компактных от­ крытых множеств со; разрешимость имеет место для любой вещественной непрерывной граничной функции. Иррегулярная граничная точка (определяемая так же, как в классическом случае) характеризуется слабой разреженностью Ссо в х0.

В случае (Аі) теорема о разрешимости справед­ лива в таком же виде, как и в классическом случае.

3. Обобщение представления Рисса (в случае (Аі)).

Если упорядочить супергармонические функции сле­ дующим образом:

Ui и2 О Ui = и2+

+ (неотрицательная супергармоническая функция)

(это — так называемый специальный порядок), то ко­ нус 5 + неотрицательных супергармонических функ-

') На самом деле слабая разреженность е ф х0 в х0 эквива­ лентна разреженности при наличии счетного базиса окрестностей точки Хо и, значит, заведомо имеет место в случае (Аі). Это — результатыпозднейших исследований Бауэра и Константинеску — Корня (ссылки см. в Брело [28]).

2) См, Брело J19, 20, 33], Эрве [1]. О поведении ограничен­ ных гармонических функций в открытом множестве со в окрест­ ности граничной точки .ѵ0, где Ссо разрежено, см. Смирнелис [1].

Гл. XI. Обобщение на случай аксиоматических теорий 119

цип превращается в решетку (даже полную). Введем такое соотношение эквивалентности для пар неотри­ цательных супергармонических функций:

и рассмотрим соответствующие классы эквивалент­ ности [«!, «2І; они образуют линейное пространство S.

При подходящей топологии Т на S (Эрве)') мы полу­ чаем отделимое локально выпуклое топологическое

линейное пространство, причем конус S +, изоморф­ ный множеству всех пар [и, 0], имеет компактное метрнзуемое основание В. Теперь классическая тео­ рема Шоке о крайних элементах дает для любой не­

и ( х ) ~ I V(х) d\i, ( о ) , где р,— единственная положитель­

ная единичная мера на множестве В, сосредоточенная на множестве его крайних точек. Эти крайние точки суть либо гармонические функции (их множество обо­ значим через Н), либо потенциалы с точечными носи­ телем (их множество обозначим через Р). Следова­ тельно,

рой конус S + будет иметь компактное метрнзуемое основание (указано Картаном для классического случая (не опубликовано) и далее развито Брело [19] ). Эрве [1] удалось обойтись без введения этой новой аксиомы, а Мокободский предложил дру­ гой простой способ построения этой топологии (см. Мокобод­ ский [1], Брело [28J).