книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала

образом получается более прямое доказательство

ее потенциал ѵ (логарифмический или ньютонов) и

вает, что отношения h (| х —у | )Цг (| х |) и /г (| х—у | )/Л-Х X (I X — ух\) ограничены при произвольных х е

Гл. IX . Дальнейшее изучение классической разреженности 101

(если х0— не точка на бесконечности, то это эквива­ лентно тому, что на локальном образе и/Іг( \д: — х0\)—>

—> — ОО, Л G Ой, X —> Xq).

Доказательство, а) В случае замкнутого множе­ ства е этот критерий совпадает с критерием (а) из теоремы IX. 7.

Предположим, что е неразрежено в х0 и (дг0} — полярное множество. Мы покажем даже, что в Q \ е существует гармоническая положительная функция и,

*) Вместо этого стандартного доказательства можно рас­ смотреть график среднего значении на Bq как вогнутую функ­

цию от t = h (г) и воспользоваться интерпретацией правой полукасательной как (с точностью до множителя) массы, сосредо­

точенной на Bq. Э то замечание позволяет для случая R"

получить предварительное замечание, использованное в дока­ зательстве теоремы IX. 7,

102 Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

последовательности <т„ (убывающей'и такой, что П ог„ =

°Р

одна из компонент сог множества Q \ е), затем из нее

°р

диагонального процесса мы получим подпоследова­

ние и в х0 имеет требуемый характер.

Обратно, предположим, что существует функция а

какой-либо одной (или лее для всякой) открытой относи­ тельно компактной окрестности' сг точки х0 любая не­ отрицательная гармоническая функция в а \ е, стре­ мящаяся к нулю квазивсюду на границе и мажори­

руемая функцией Gx„ + const, обязательно нулевая.

6. Т е о р е ма IX. 10 (знаменитый критерий Винера3)).

■ ) Так как f , —> 0 на границе всюду, за исключением (по-

ар

ляриоіі) точки х 0, то общий член ряда может быть сделан < 2 - .

2) Так как отношение 0 ° ^ / G*o стремится к 1 в х 0-

3) Первоначально (Вииер [2]) был дан как критерий ирре­ гулярности граничной точки открытого множества. Доказатель­ ство было усложнено из-за отсутствия продвинутой теории выметания. Существенная часть леммы IX. 8 в нем уже исполь­ зовалась.

Гл. IX . Дальнейшее изучение классической разреженности 103

Пусть Q — произвольная гринова область в К'1(напри­ мер, само R" при п ^ 3) и х0е Q. Обозначим через у (а) соответствующую классическую внешнюю емкость, т. е. для относительно компактного множества а пол­

ную массу меры, ассоциированной с 9$\. Положим еще

/ „ = (л: |sn< / i(| х — х 0| ) < s 'J+1j (s > 1).

Тогда разреженность любого множества е в х0 экви­

что е строго разрежено. Доказательстве обратного утверждения более трудно. Будем отправляться от

Аналогичные рассуждения проводятся для ^ р + іГ,е (х0).

З а м е ч а н и е I. Тот же результат справедлив, если заменить /„ на множество (s'1< h (\х — х0|)^ sn и]

или на {s'!^ h (I X — х01) < s'1+1). Доказательство со­ вершенно аналогично.

З а м е ч а н и е 2. Можно получить интегральную форму критерия. Она устанавливается сперва для замкнутых множеств (Келлог — Василеску— Фростман) как следствие критерия Винера пли непосред­

нечасто.

Тем не менее, используя его, можно несколько усилить теорему IX. 3 (см. Дени [1]) и более точно описать множество тех окружностей | х0— х\ = г, ко­ торые не пересекают множество, разреженное в точке ,ѵ0 (приложение 3 теоремы IX . 4) (см. Брело [4]).

критерия состоит в сходимости ряда с общим членом

У о ^ хо-

Ь) Иные формы мы получим, рассматривая вме­

шиеся приведенные функции относительно е[)1п на такие же функции, но относительно е Л Л.» В случае R"

(п ^ 3) это не дает ничего нового. В случае R2sto экви­ валентно сходимости последовательности {пу(е(]/п)} (Цудзи). Доказательство получается соответствующим видоизменением приведенного выше.

Гл. IX . Дальнейшее изучение классической разреженности 105

на бесконечности могут быть получены интересные формы критерия. Например, разреженность эквива­ лентна тому, что внешняя классическая емкость ко­ нечна (см. Брело [6, 3, 10]).

7.Некоторые применения теории разреженности

и тонких пределов. (См. Брело[5— 10].) Л е м м а IX. 11.

Пусть и —■ ограниченная снизу супергармоническая функция в открытом множестве со cz Rre. Положим 2?хи — lim inf и(у) для х<=да . Тогда если х0^ д а —

то Ссо разрежено в xQ и и имеет в х0 тонкий предел, равный 3?хаи-

Доказательство. Пусть К .— число, лежащее строго между членами доказываемого неравенства. Рассмо­

нична в со (открытом подмножестве пространства Грина) и ограничена снизу вблизи хае да, причем С о разрежено в х0 (г. е. точка х0 иррегулярна для со), то и имеет тонкий предел в х0.

Доказательство. Все сводится к случаю, когда со ограничено в R'1 и функция и ограничена снизу в «в-

супергармоническую в окрестности х0, причем ѵ(ха)

имеет конечный тонкий предел, и должно иметь бес­ конечный тонкий предел в х0.

З а м е ч а н и е . Очевидно достаточно, чтобы функ­ ция и была ограничена снизу в некоторой тонкой окрестности, содержащейся в о, поскольку она содер­ жится в открытом множестве, на котором и также ограничена снизу.

Доказательство. Как мы уже видели, lim inf и/А*0 равен нулю при условии, что pu (*0) = 0 , а следова­ тельно, он всегда конечен (см. доказательство тео­ ремы IX. 7). Если К больше этого lim inf, то множе­ ство, где u/hXt > К , должно быть разреженным (тео­ рема IX. 7, а)), и это показывает, что и/Ігх„ имеет тонкий предел, равный этому lim inf.

жено в х0, и и/ІгХо имеет в х0 тонкий предел, равный X.

Доказательство. Прибавляя функцию а!гх. (а > Я),

мы сводим дело к случаю и '^ 0, когда проходит до­

Гл. IX. Дальнейшее изучение классической разреженности 107

казательство, подобное доказательству леммы IX . 11. Введем число К , заключенное строго между обоими lim inf, и рассмотрим функцию inf (и, К hxj , продол­ женную вне (.ѵ'о) с помощью Д/г.ѵ Эта функция может быть продолжена в .ѵ0 как функция U супергармони­ ческая, в окрестности д:0; тогда множество {х Ф х0, U (x)/hXe(x)=K) будет разрежено в х0(теорема IX . 13, а)), и U/hXa имеет тонкий предел Я, (лемма IX. 13), чем и завершается доказательство.

Т е о р е м а IX. 15. Если функция и супергармо­ нична в со (открытом подмножестве пространства Грина Q) и неотрицательна вблизи точки х0е да,

в которой Ссо разрежено, то отношение u/GXo имеет конечный тонкий предел в х0.

Доказательство. Вопрос сводится к случаю огра­ ниченного множества со в R'\ Доказательство прово­ дится аналогично доказательству теоремы IX . 12 с использованием теоремы IX . 7 и предыдущей леммы.

Заметим, что условие и ~^0 можно заменить усло­ вием ограниченности снизу функции u/Gx, в тонкой окрестности точки хй. Разумеется, GXa можно в тео­

реме IX. 15 заменить на любую функцию GXa, где область Q' э А'0.

С л е д с т в и е . Решение # “ задачи Дирихле имеет тонкий предел в иррегулярной точке х0 (равно как и

отношение Hf/Gi\; фактически последний предел равен нулю), по крайней мере для f ^ O .

Этот результат можно уточнить. А именно, упо­

мянутый тонкий предел равен f fdv, где v = bev“ (это

очевидно, если f — потенциал на Q).

108 Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

и Gyt(xn) стремится к тонкому пределу G^ в х0 (у0е й ),

т. е. к lim sup Gy0(это условие не зависит от //0). Более

-Ѵ0

подробно см. об этом Брело [16].

8. Дальнейшие дополнения и указания, а) Тонкая топология полезна также при изучении поведения супергармонической функции в окрестности регуляр­ ной граничной точки. Можно поставить задачу Дирихле

мере для относительно компактных открытых мно­ жеств); это дает те же самые огибающие (Брело [13]). b ) Используя понятие равномерной интегрируе­ мости, введенное в теорию потенциала Дубом [1], можно доказать следующий результат: если гармо­ ническая функция и в относительно компактной области со имеет граничные тонкие пределы / почти всюду (относительно гармонической меры) и если и

равномерно интегрируема по гармоническим мерам р“г

c) Уцомяйем о понятиях разреженности порядка ср (Брело [5]) и внутренней разреженности (т. е. разре­

делено) имеет конечный тонкий предел в каждой точке, за исключением некоторого полярного множества ци-меры нуль, т. е. о-полярного множества (гл. V III, п. 6). Этот результат Дуба [4], который покрывает теорему IX . 15, в действительности был получен как следствие более общего результата (также принад­ лежащего Дубу) о поведении супергармонических

в теории так называемых B LD -функций (или уточнен­

Гл. IX . Дальнейшее изучение классической разреоюенности 109

ных Bh-функций) *). Например, в любом открытом множестве a crR " всякая B LD -функция тонко непре­ рывна квазивсюду (Дени [3]). Вероятно, теоремы IX. 12 и IX . 15 в общем случае на эти функции не распро­ страняются, однако заметим, что всякая BLDфунк­ ция вне некоторого компактного множества в R'! (n ^ 3) имеет тонкий предел на бесконечности (Дени — Лионе).

Доказательство. Пусть К не является предельным значением. Можно (выполнив в случае надобности дробно-линейное преобразование), считать, что А = оо. Тогда для некоторой тонкой окрестности а точки Z 0 функция f будет ограничена в <в П сг. Вещественная и мнимая части функции f имеют в Z 0 тонкий предел (теорема IX . 12), значит, и сама функция f тоже.

[1, 2]. Например: если Z0 — изолированная граничная

*) См. Дени [3], Дени и Лионе [1], Брело [15], Дуб [6]. Общая BLD-функция в открытом множестве G с Rn - это веще­ ственная квазивсюду конечная функция, являющаяся пределом квазивсюду последовательности гладких (даже класса С°°) функ­ ций с конечной полунормой Дирихле (т. е. с конечным инте­ гралом Дирихле), представляющей собой последовательность Коши по этой полунорме.