Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Ч.

Внутренняя тонкая

топология

множеств и I

Gx dm Ф

оо‘, р, (Q),

где

р — мера,

соответствующая

R y, — являются все

весами типа

Шоке,

причем

последняя — в

любом Q' cz Q' cz Q.

Доказательство. Свойство монотонности всех этих

функций

является

следствием аналогичного

свойства

для

R{y.

Первый

вес

обладает

свойством

Шоке

со

гласно

предыдущей лемме, в которой со следует

за

менить

на ш'= со U Сё.

Далее,

существует

убываю

щая

последовательность

множеств

(co,'t),

содержа

щих С ё ,

такая, что для

всех х

inf R ^

(х) =

так

что R^J]o>n-^ 0

квазивсюду.

Пользуясь

последо

вательностью

, Q.pczQ ,

получаем для

подходящего

Я,

всех

и фиксированного

р,

что

J Re^ П"р dm ^ Я J Gx (y)dm(y) и, значит,

j R*y “ п П°P dm -> 0.

Выберем n = iip так, чтобы этот интеграл был < е/2-р.

Тогда J (и ш«рп”р) dm < е, и для второго веса вопрос

решен. Наконец, Д^,Пш'іП~ есть потенциал некоторой

меры рп (на £У)- Пользуясь тем же самым	W, что и
в части с) доказательства теоремы V III. 12,	находим

J ^ ПипП£2 d v = J W d\in= p„ (£2)—>■ 0, откуда получа

ется свойство Шоке в Q' для третьего веса.

З а м е ч а н и е . Интерпретация полярных множеств как множеств, у которых вес А т(е) равен нулю для подходящей меры /п, приводит к следующему резуль тату:

Всякое тонко замкнутое множество является с точ ностью до полярного множества множеством типа Fa

Гл.

V III.

Применения к выметанию, весам и емкостям ■ 91

(см. предложение IV . 5),

а также множеством типа Gj

(гл. V II, п.

3).

Некоторые

дополнения,

а)

Тонкая

топология

играет важную роль

при изучении

весов

возрастаю

щих и в особенности убывающих последовательностей

множеств.

Например,

емкости А т{е), у(е)

из

тео

ремы V III.

12 для убывающих тонко замкнутых мно

жеств

е,„

содержащихся

компакте

стремятся

к соответствующим емкостям множества П еп. Это—

следствие

равенства

inf R^n — Щ вп,

этот

результат

обобщается

на случай

направленных

семейств

{ef}

(см. Брело [30]).

Более

глубокое

изучение

весов R\ (х0), |

Rb dm

(для любой функции ff

где V — супергармониче

ская функция, удовлетворяющая условию J

V dm <

оо,

а мера т не нагружает

полярных

множеств)

для

убывающих е проведено в статьях

Брело

[27,

30,

32, 33], главным образом для случая неотрицатель

ной супергармоннческой

функции XF.

Эти

веса обла

дают свойством Шоке.

Ь) Статистическая разреоісенностъ. Нам встреча лись (см. теоремы V III. 12 и V III. 15) емкости, являющиеся также весами типа Шоке.

Т е о р е м а V III. 16 (Брело [27]). Следующие утвер ждения эквивалентны:

a) В пространстве Q множество е разрежено квазивсюду на множестве а (с т а т и с т и ч е с к а я р а з

р е же н н о с ть	на а);
b) i n f i ^ n° =	0	в какой-нибудь			одной		точке или
©							л
в каждой точке (или			то же	условие		для	)?,), т. е.
семейство {е П со)		(где	a — переменная			окрестность
множества а) является 1-исчезающим.
Доказательство.		В	самом	деле,	в силу		свойства
Шоке семейство (ef)ö)			будет	1-исчезающим для ок

рестностей б множества С ё , т. е. множества тех точек

92	Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

из С е , в которых е разрежено. Отправляясь от ста тистического свойства а), мы получаем то же самое для окрестностей следующих полярных множеств: 1) части множества а, где е неразрежено, 2) части множества е, где е разрежено. Отсюда и следует Ь).

Обратное просто. Исходим из Ь); если а0 — часть множества а, где е неразрежено, а со — переменная окрестность а, то е П со неразрежено на сс0, и, поскольку

R] — R], мы получаем

Я?0		inf Ri n “,		Я іПш. Следовательно, множе
ство а0 полярно.
	З а м е ч а н и е .			Эквивалентными условиями				яв
ляются:
a) 1-исчезание тонких окрестностей а;
	b)	существование супергармонической					функции
V >	0, сужение		которой на е		стремится к +		оо в точ
ках	множества		а П ё (равно как аналогичное условие
с тонким пределом в точках а[)ё\						см. лемму V III.		13).
c) Некоторые определения и приложения (см.
Брело		[27, 30,	33]). А) Пусть			W — положительная
супергармоническая				функция	(с ассоциированной			ме
рой р1Г/г). Полярное множество е называется W-поляр-
ным на Q, если			его внешняя		р^-мера равна нулю.

Эквивалентное требование: окрестности множества е образуют (^-исчезающее семейство.

П р и л о ж е н и е . Следующие утверждения эквива лентны:

1) Множество е разрежено на а всюду, за исклю чением ІѴ-полярного множества (W-статистинеекая разреоісенность на а).

2)Для окрестностей ю множества а в простран стве Q (равно как и для тонких окрестностей) семей ство {ef}(o} является ІѴ-исчезающим.

3)Существует супергармоническая функция U > 0, такая, что U (y)/W (у) (мы считаем это отношение равным + оо там, где U — W — оо) стремится к + °°

при у ^ е , у - > х ^ ё .

Аналогичный результат имеет место для тонких сходимости и замыкания.

Гл. IX . Дальнейшее изучение классической разреженности 93

В) Супергармоническая на Q функция W > 0 на зывается семиограниченной, если семейство е%=

= { х\| Ц/>Л] является ІГ-исчезающим. Если		№ — по
тенциал, то это эквивалентно	Ѵ^-полярности множе
ства [W = + оо].
П р и л о ж е н и е (обобщение	результата	части а)

этого пункта). Если {ф(} — направленное по убыванию множество тонко полунепрерывных сверху неотрица тельных функций на й, которое мажорируется фикси рованным семиограниченным потенциалом V, то

inf = Rini

Глава IX

Д А Л Ь Н Е Й Ш Е Е И ЗУ Ч Е Н И Е

КЛ А С С И Ч Е С К О Й Р А З Р Е Ж Е Н Н О С Т И 1).

НЕК О ТО РЫ Е П Р И Л О Ж ЕН И Я

1.Выше была показана важность понятия разре женности для общих теорий типа теории выметания,

которые могут быть доведены до аксиоматического уровня. Естественно более глубоко изучить вопрос в классическом случае, что даст нам массу подроб ностей и примеров, полезных для классических при ложений. Мы будем рассматривать главным образом евклидовы пространства; обобщение на случай окрест ности точки на бесконечности легко получить, либо повторяя соответствующие рассуждения, либо исполь зуя инверсию и преобразование Кельвина. Аналогично можно рассмотреть и случай общего пространства Грина (непосредственно или каким-нибудь иным спо собом).

Напомним, что в пространстве Грина из разре женности следуют строгая разреженность и сверх разреженность.

') См. Брело [4, 5, 8] н Картам [2], а также приведенную в этих работах библиографию.

94	Ч. !. Внутренняя тонкая топология
З а м е ч а н и е о с о х р а н е н и и		р а з р е ж е н
н о с т и	или н е р а з р е ж е н н о е т и	при о т о б р а
же н ии .	Рассмотрим в R" ограниченное борелевское

отображение х>—> у == F(x) (это означает, что образ лю бого шара ограничен). Со всякой мерой Радона р можно связать другую меру ѵ, определенную усло

вием I Q(y)dv(y) — J 0 (F (х)) dp (х), где Ѳ — любая

конечная непрерывная финитная (т. е. обладающая компактным носителем) функция. Мера ѵ называется образом меры р при отображении F; написанная фор мула сохраняет силу для любой rfv-суммируемой функции Ѳ.


П р е д л о ж е н и е			IX.	1.	Если	отобраоіеение F
биективно		и сохраняет расстояние				I х, — х2 \ с точ
ностью	до	коэффициента		А(х,, х2),		причем 0 < а ^
<ІА,(Х\|,	,Vn)^ß < +		°° ('V'h	х 2	лежат в окрестности х0),

то разреженность в точке ,ѵ0 эквивалентна разрежен ности образа в точке /7(х0) = г/0-

Доказательство. Имеем
J Іі{\у — Уі I) d v ( y ) =		I h{ l {x,		X,) IX	Xi \|)dp(x).
Если	потенциал меры	p	конечен в х0		и стремится
к +	оо на е (при х - * х 0,	х Ф х0),		то потенциал меры ѵ
конечен в у 0 и стремится к			+ оо	на F (е)	(при г/ —> г/0>

УФ Уа)> и обратно.

Пр е д л о ж е н и е IX. 2. Если отображение F оста вляет точку х0 неподвижной, сохраняет расстояния

до	точки х0, а вообще расстояния	не увеличивает,
то	при применении отображения F	потенциалы воз

растают, и поэтому множество, разреженное в х0, переходит в множество, разреженное в этой же точке.

П р и м е р . Отображение хн->г/ в R2,		где у лежит
на фиксированном луче,	исходящем	из точки ха,
а \| у — х01= I X — х0\, удовлетворяет условиям пре
дыдущего предложения.
Сделанные замечания позволяют нам,		отправляясь
от элементарных примеров,	строить много новых.

Гл. IX . Дальнейшее изучение классической разреженности 95

2. Одно геометрическое свойство разреженности.

Т е о р е м а IX. 3. Если e c R “ разрежено в х0, а огх — единичная положительная инвариантная мера на

сфере	дВгХа (инвариантная				относительно вращений,
т. е. пропорциональная „площади“), то при								г —> О
внешняя мера охг* (е П дВхг„)—>0.
Доказательство.				Можно считать, что хйф е ,				что е
открыто и что			в окрестности х0 существует					супер-
гармоннческая функция и >					0, такая, что «(.ѵ0) <			-f- оо,
и (х) —> +		оо при е э		X > х0.	Тогда
и (*0) ^	(среднее		значение и		на дВгх) ^
						> ч г ) < ( < э д ; Пе),
где A,(r) =		infti	на е(] дВХі.		Так	как Л(г)->- +	оо при
г-> 0, то		(dßx.n <?)->• 0.
У п р а ж н е н и е .				Провести		аналогичное	доказа

тельство, используя функцию и, удовлетворяющую

условию и(х0) < lim inf и(х).

х&е,

О б о б щ е н и е . Пусть (со,) — направленное по убы ванию семейство подобластей пространства Грина, содержащих точку х0 и имеющих пересечение {.ѵ0}.

Если	ф “ г— гармоническая		мера	в	х0,	то
inf p“f	(е П да>і) =	0.
І
Доказательство аналогично.
В случае точки на бесконечности, используя об
разы в R", мы получаем отсюда аналогичное					свойство
для сферы, имеющей фиксированный				центр		и ра
диус	-»• ОО .	1
З а м е ч а н и е .		Если ограниченная в		окрестности

точки х0 функция	имеет тонкий предел Я, в .vQ, то ее
среднее значение	на дВгх, стремится к I при г —>0.

П р и м е р н е р а з р е ж е н н о с ти. Любое множе ство в IRn, содержащее конус вращения (с непустой внутренностью), неразрежено в вершиңе (этот пример указан Пуанкаре в связи с задачей Дирихле).

96 Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

3. Критерии разреженности и неразреженности.

Т е о р е м а IX .4. Замкнутое множество е сі R" неразрежено в точке хйе де в том и только в том слу

чае, когда в а \ е	(где о — некоторая открытая ок
рестность точки л'о)	существует положительная супер,

гармоническая функция и, стремящаяся к нулю в ,ѵ0.

Доказательство. Воспользуемся конечной непре рывной функцией Г > 0 , супергармонической в шареДѵ-5 и не являющейся гармонической ни на каком откры

том множестве (можно взять, например,									/г— \| х — х0 \
или	/г— \х — х0 12 с				подходящей		константой			/г или
потенциал меры Лебега на Вх) . Рассмотрим										ее при
веденную			функцию		в Вх„	относительно			множества
е' =	е	Діѵ		Если е	неразрежено		в	Д'о,	то R v(x0) =
= V (а'о).			Следовательно,			функция		R ev	непрерывна
в х0,	и	неотрицательная функция					V — Rev не может
	П
быть равна нулю ни в одной компоненте										множе
ства Се '			в ВХа. Таким образом, она					> 0 и удовлетво
ряет требуемым условиям.
Обратно,				предположим,		что функция			и супергар

монична в Вх„ \ е (для	подходящего шара ВХі) и ѵ > 0,
о -> 0 в х0. Покажем,	что это несовместимо с разре

женностью е, т. е. с существованием субгармони ческой функции и в ВХа, удовлетворяющей условиям

и(хо) = I ,		и(х) ^ .— 1 на efl ВХо (при					некотором				г).
Заметим,	что и ^ ѵ		в некоторой открытой окрест
ности б множества дВГХа				е (г'<г) и к ^ А о				на дВх„			Сб
(где X > 1		достаточно велико).			Следовательно, функ
ция и — Хѵ — zGB*-			>	0) на	Вгѵ \ е		имеет неполо-
			(е П							П
жительный		lim sup	в каждой граничной точке. Зна
чит, эта	функция		0,	и и ^ Х ѵ		на ВХа \			е. Но		это
противоречит тому,			что и(ха) =		1 =	lim sup			и(х0).
						хфха, х->х.
Отсюда		простой	переформулировкой					получается

обобщение на случай пространства Грина. Рассмотрим некоторые приложения этих критериев.

П р е д л о ж е н и е IX .5. Отличная от А граничная точка х0 открытого множества со в пространстве Грина Q

Гл. IX . Дальнейшее изучение классической разреоісенности 97

будет иррегулярной тогда и только тогда, когда Сасо разрежено в х0.

Это следует из локальных критериев (гл. V I, п. 6, теорема IX. 4), а также из теоремы V II. 13.

Отсюда получается другое доказательство того, что множество иррегулярных точек полярно.

Н е к о т о р ы е п р и м е р ы . В R" гиперплоскость Н (размерности п — 1) неразрежена ни в какой своей точке, поскольку расстояние до Н есть гармоническая положительная вне Н функция. Однако линейные многообразия размерности — 2 локально полярны (ибо ньютонов или логарифмический потенциал меры Лебега открытого множества а бесконечен на а) и поэтому всюду разрежены. Полугиперплоскость нераз режена даже на краю (следует рассмотреть объеди нение со второй полугиперплоскостью). В R2 отрезок не разрежен ни в какой своей точке.

П р е д л о ж е н и е I X .6 (уточненное свойство Ле бега— Бёрлинга). Если множество e c R 2 разрежено в точке х0, то существуют сколь угодно малые окруж ности \х — -Ѵ'о I — г, не пересекающиеся с е.

Доказательство. Отображение из п. 1 на луч, ис ходящий из х0, дает разреженное множество, кото рое не может содержать никакого отрезка с кон цом в х0.

Таким образом, в R2 все неизолированные гранич ные точки конечносвязной относительно компактной области Грина будут регулярными.

В R'1 при /г ^ 3 положение совсем иное. Напомним знаменитый пример лебегова острия в R3 (он и был построен как пример иррегулярной граничной точки).

Рассмотрим на отрезке [0, 1] оси Xj меру с линей

ной	плотностью, равной х {. Ее ньютонов потенциал V
равен		1 в точке 0 и + со в остальных точках от
резка. Множество ( х \| Г > / < ' > 1 )			(это — тело враще
ния с осью X)) разрежено в точке 0.				Элементарный
расчет показывает, что меридианная				образующая за-
		__МаЫ
дается		уравнением z ~ ± a e х' ,	где К(x j —>-Д/2.
4	М.	Брело

98	Ч. 1. Внутренняя тонкая топология
4.	Т е о р е м а IX. 7. В пространстве Грина Q

разрезісенность мноокества е в точке х0 эквивалентна условию

^ с ,о=г= G.v0, т. е. ЬІч ф г х„ или &ел.( М = 0 ‘). (а)

Другие формы этого критерия для случая IR" таковы:

a) В окрестности хй существует такая супергармо ническая функция V, что

		lim inf	■	— >	х lim inf		. -
		x<se, хфХа, x - > xt		lx a	ф х 0, x-+Xn		'гх0
(напомним, что ЛА (.v) =				h (\| x — x01)).
b)	В	окрестности точки ,v0			существует мера
не нагружающая {.ѵ0}, такая,					что ее Ігили G -потен
циал	о удовлетворяет условию
		lim inf		и (х)		> 0 .

		л-е х , ф х , х->х„ Л ( I лг — -ѵ0 I )
Это	равносильно		тому,	что	ѵ ^ Іг или		^ G.Vo на е
всюду вблизи х0			(или	только квазивсюду), причем
ч (С Ве) -		0.
с)		В окрестности		точки х0 существует мера

с G- или h- потенциалом ѵ, удовлетворяющим условию

ОІЛІ	,	/	.	ч
—— —— — _> _)_ оо (,ѵ е е ,			Х ф	х а, х - > х й).

1)Модифицируя понятие, введенное Валле-Пуссеном, Кар-

тан [2] (в	R"	при	п ^ З	или в единичном круге в R2) взял
свойство	Ф		в качестве определения „внешней иррегу
лярности“	точки х0 для е (которая, следовательно, эквивалентна
разреженности		е в	х0).	Пользуясь „вторым типом выметания“

(см. подстрочное примечание на стр. 63—64), он аналогичным обра зом пришел к понятию „внутренней иррегулярности“, которая эквивалентна тому, что всякое замкнутое подмножество мно

жества е U {*о} разрежено в ,т0	(внутренняя	разреженность).
Это второе понятие оказалось	малополезным,	и мы оставили

его в стороне, равно как и второй тин выметания. Слово „регу лярность“ мы сохранили за первоначальным классическим поня тием, связанным с задачей Дирихле, чтобы избежать всяких недоразумений.

Гл. IX . Дальнейшее изучение			классической ■ разрехсенности		99
Доказательство. Если		е	разрежено, то мера ЬІХ ,
которая	сосредоточена	на	В е,	не нагружает {.ѵ0}.
Если же	е неразрежено		(т. е.	если х0е В е),	то
bi = e Xl.				\

Докажем сперва эквивалентность условий а), Ь), с). Воспользуемся следующим замечанием. Если

в пространстве Грина £2 потенциал ѵ мажорирует Gx ({.то)— полярное множество), то цѵ({т0)) Ф 0. В про тивном случае функция ѵ в Q \ {х0) была бы G04^*»}- потенциалом с гармонической минорантой GXtф 0.

Отправляясь от а), мы получим то лее неравенство для локального потенциального слагаемого функ ции V, а затем для потенциала V сужения соответ ствующей меры на С{х*0]. Но тогда новый правый член неравенства должен быть равен нулю (иначе функция XV при достаточно большом X мажориро

вала бы некоторую функцию G®*-1 вблизи точки х0 и,

значит, в ВХі, а это противоречило бы					предыдущему
замечанию). Итак, мы получили Ь).
Далее,	Ь)=Фа), ■ потому		что	v/h( \х — *„{)		или
v/Gx x* имеет нулевой		lim inf ■ (те		же	рассуждения).
Поскольку	с)=фЬ), то	нам	осталось		доказать,	что
Ь) =Ф с).
Пусть	р, — мера из Ь), а р „ — ее сужение на В хпг ;

выберем подпоследовательность пр так, чтобы сумма

2\|м-п I была	конечной. Тогда	мера S	отвечает
всем нашим	требованиям.
Докажем,	наконец, что условие разреженности е
в точке ха (мы считаем й э і ,		шаром)	эквивалентно

условию Ь). Предполагая, что имеет место разрежен ность, видим, что мера Ъ\х не нагружает (х0) и ее

Ой-потенциал равен G*, на е всюду, за исключением полярного множества. Рассмотрим на й супергармо ническую функцию ю > 0, конечную в хаи равную + 00

на в \ { * 0}.	Тогда		+ w
	lim inf		— ^------- > 0,
		хфХъ, x->Xi,
так что b)	имеет место.
так что b)	i s e ,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ