книги из ГПНТБ / Бете, Г. Теория ядерной материи
.pdf§ 15. Насыщение ядерных сил |
141 |
|||
странственных координат |
частиц: |
|
|
|
( ! ^ + |
£ ) ф ( Г 1 г2 , а, о 2 ) = |
|
||
= V{r)<b(r2, |
rlt |
а 1 ( а 2 ) |
(Майорана). |
(15.3) |
Такие силы называют силами типа Майорана. Можно себе представить еще два возможных типа сил: 1) силы типа Бартлетта, которые меняют спиновые координаты, и 2) силы типа Гейзенберга, соответствующие обмену как простран ственных, так и спиновых координат. Уравнение Шредингера в этих случаях имеет следующий вид:
|
(^-?2 |
+ £ ) ф(г 1 ,Г 2 , |
а,, о„) = |
|
= |
У {r)y{rlt |
г2 , оя , oj) |
(Бартлетт) |
(15.4) |
и |
|
|
|
|
|
( ^ V 2 |
+ £ ) d > ( r i , r 2 , a l f a s ) = |
|
|
= |
У ('') Ф ( г 2 . Г!, о2, ох ) |
(Гейзенберг). |
(15.5) |
|
Эффекты, вызываемые обменными силами. Обменные |
||||
силы, координатная |
часть потенциала которых |
имеет |
||
вид V (г), являются |
центральными |
силами и потому не |
приводят к состояниям, являющимся суперпозицией состоя
ний |
с |
различными |
значениями |
I. Однако если |
заменить |
|
V (г) |
в |
уравнениях |
(15.2)— (1,5.5) потенциальной |
функцией |
||
тензорного |
типа (14.2), то такая |
суперпозиция становится |
||||
возможной |
и позволяет, как и прежде, объяснить сущест |
|||||
вование |
квадрупольного момента |
дейтрона. |
|
Силы типа Майорана. Взаимодействие типа Майорана заменяет аргумент г волновой функции ф на — г. Исполь зуя хорошо известные свойства волновой функции по отношению к такой инверсии, можно переписать уравнение Шредингера (15.3) в следующем виде:
V2 + я) ф (г) = ( - 1)' У (/") ф (г). |
(15.6) |
Это эквивалентно наличию обыкновенного потенциала, который меняет знак в зависимости от положительной или отрицательной четности / и не зависит от спина.
142 |
Часть II. количественная |
теория ядерных сил |
Силы типа Барпыетта. Для системы, состоящей из двух частиц, спиновая волновая функция является сим метричной относительно спиновых координат частиц, если полный спин 5 = 1 , и антисимметричной, если S = 0. Поэтому уравнение Шредингера (15.4) в случае сил типа Бартлетта можно записать в виде
(•5J-^a-r ^ ) ф ( г ) = ( - 1 ) 8 + 1 У ( г ) ф ( г ) . |
(15.7) |
Оно эквивалентно уравнению с обычным потенциалом, с
различными знаками при S = 0 и S = 1. Поскольку |
из дан |
|
ных по рассеянию нейтронов протонами мы знаем, |
что в 3 S-, |
|
и в ^-состояниях действуют силы притяжения, |
то |
ядерные |
силы не могут быть полностью силами типа Бартлетта. Силы типа Гейзенберга. Комбинируя результаты,
относящиеся к силам типа Майорана и Бартлетта, можно
записать |
уравнение Шредингера |
(15.5) |
для сил типа |
Гей |
|
зенберга |
в следующей |
форме: |
|
|
|
|
V* + £ ) |
ф (г) = |
( - I)1 |
V (г) ф (г). |
(15.8) |
Оно эквивалентно уравнению с обыкновенным |
потенциалом, |
||||||||||||
меняющим |
знак |
в зависимости |
от того, четно |
или |
нечетно |
||||||||
1 + S. |
Например, эффективные |
потенциалы |
таковы: |
||||||||||
Состояние |
|
|
3S |
*S |
|
|
3Р |
1Р, |
|
|
|||
Потенциал |
+V(r) |
-V(r) |
|
-V(r) |
-\-V(r). |
|
( l 5 ' 9 ) |
||||||
Различие |
знаков |
потенциалов |
для 3 5- и г 5 - состояний, |
||||||||||
как |
и в случае |
сил типа Бартлетта, показывает, |
что ядер |
||||||||||
ные |
силы |
не |
могут |
быть |
полностью силами |
типа |
Гейзен |
||||||
берга. Если предположить, |
что |
взаимодействие |
является, |
||||||||||
грубо |
говоря, |
на 25% взаимодействием типа |
Гейзенберга |
или Бартлетта и на 75% взаимодействием типа Вигнера или Майорана, то можно объяснить разное взаимодействие
нейтрона с протоном |
в 3 5- и х 5- состояниях. |
|
|
Обменные |
силы |
и насыщение. Спин-обменные |
силы |
типа Бартлетта |
не приводят к насыщению энергии |
связи, |
отнесенной к одной частице. Если бы ядерные силы были силами типа Бартлетта, то существовали бы тяжелые ядра, в которых спины всех частиц имели бы одинаковое на правление, а число взаимодействующих пар частиц было
|
§ 15. |
Насыщение |
ядерных |
сил |
|
143 |
||
бы равно А{А —1)/2, |
что означает |
энергию связи, |
пропор |
|||||
циональную |
по крайней мере |
А2. |
|
|
|
|
||
Силы же |
типа Майорана |
или Гейзенберга |
благодаря |
|||||
зависимости |
знака |
потенциала |
от |
/ |
приводят |
к |
насыще |
нию. Предположим, например, что ядерные силы являются силами типа Майорана. (Мы уже знаем, что взаимодейст вие типа Гейзенберга составляет не более 25% суммарного,
взаимодействия.) |
Насыщение не должно проявляться у |
|
ядер до Не4 , |
потому |
что пространственная волновая |
функция Не4 может быть |
симметричной по отношению ко |
всем четырем частицам без нарушения принципа Паули. При этом лишь требуется, чтобы спины двух нейтронов были антипараллельны между собой (волновая функция
антисимметрична |
относительно |
спиновых |
координат |
двух |
|||||
нейтронов); то же самое требуется и для |
двух |
протонов. |
|||||||
Таким |
образом, |
введение сил типа Майорана оставляет |
|||||||
в силе |
гипотезу |
Вигнера |
о малом |
радиусе |
действия |
сил, |
|||
основанную на энергиях |
связи |
Не4 |
и более |
легких |
ядер. |
||||
В следующем |
ядре, Не5 или |
L i 5 |
, принцип |
Паули |
уже |
||||
не может удовлетворяться за счет |
только |
спиновой |
вол |
||||||
новой |
функции. |
Поэтому |
волновая |
функция |
пространст |
венных координат должна иметь по крайней мере один узел. Другими словами, только четыре частицы могут одновременно находиться в s-состоянии; пятая частица находится в р-состоянии и поэтому отталкивается осталь ными. Таким образом, Не5 и L i 5 должны быть неустой чивыми, что и оправдывается на опыте. Это является первым признаком насыщения.
Для исследования насыщения в тяжелых ядрах можно применить тот же вариационный метод, при помощи ко торого в начале этого параграфа было показано, что обыкновенные силы не дают насыщения. Эти вычисления в случае сил типа Майорана не приводят к ненасыщению. Однако вариационным методом нельзя доказать, что силы типа Майорана приводят к насыщению, так как этим методом можно получить лишь значение энергии, превы шающее истинную энергию связи. Вигнер [53] дал допол нительные аргументы в пользу того, что явление насы щения получается при пространственно-обменных силах типа Майорана. Пространственно-обменная часть сил типа Гейзенберга также вызывает насыщение.
144 |
Часть II. Количественная теория ядерных сил |
2. СПИН И ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН
Часто удобно записывать действие обменных сил не сколько иным образом. Так как для двух частиц
|
|
а,-а., = |
-1-1 |
при |
S = l , |
|
|
|
|
||||
|
|
ff |
i • |
ст |
2 = |
о |
при |
o n |
|
|
|
v( 1 5 Л ° ) |
|
|
|
|
|
— 3 |
5 = 0, |
|
|
|
|
||||
то |
потенциал |
сил типа |
Бартлетта |
для двух |
частиц можно |
||||||||
записать в следующем |
виде: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
! |
+Vlr) |
|
при |
S = l , |
(15.11) |
||
|
i - V W ( l + , , , , ) = |
{ _v Jr J |
^ |
s |
= |
0 |
|||||||
Таким же образом можно записать |
оператор |
перестановки |
|||||||||||
спиновых координат в случае сил типа |
Гейзенберга. |
||||||||||||
|
Чтобы иметь возможность аналогичным образом изо |
||||||||||||
бражать операторы |
|
перестановки пространственных |
коорди |
||||||||||
нат |
частиц, |
введем |
понятие |
зарядовой |
|
координаты |
частицы, т. е. будем считать нейтрон и протон двумя различными собственными состояниями одной частицы,
называемой |
нуклоном. |
Мы будем обозначать |
зарядовую |
|
координату |
символом t |
и |
дадим следующее определение: |
|
|
yW- = y |
|
для протона, |
|
|
Мт == — у |
для нейтрона, |
(15.12) |
Т=-7£ Для обеих частиц.
Число ± V2 употребляется для аналогии с обычными спиновыми координатами. Мы определим также зарядовые волновые функции:
Зарядовая волновая |
|
( |
Y Д л я протона, |
функция=< |
(15.13) |
||
|
|
{ о для нейтрона |
|
аналогично спиновым |
функциям |
а и р . |
|
Для согласованности с обычной теорией нуклоны должны |
|||
подчиняться статистике Ферми |
(это станет очевидным из |
||
дальнейшего). Таким |
образом, |
волновая функция двух или |
§ 15. Насыщение ядерных сил |
в |
145 |
большего числа частиц (включая зарядовую функцию)
<!> = Фпростр. (Г)фсшш. (о) Фзаряд. ("О |
(15.14) |
должна быть антисимметричной по отношению к переста новке всех координат двух нуклонов. Поэтому нам пона добятся симметричные и антисимметричные зарядовые функ ции двух частиц. Все четыре такие функции даны в табл. 7.
|
|
|
Таблица |
7 |
|
|
Зарядовые функции |
системы |
двух частиц |
|
|
Состоя |
Функция |
Образуе |
|
|
|
мая |
Симметрия функции |
Заряд |
|||
ние |
|||||
|
|
система |
|
|
|
I |
Т (О Т (2) |
* Не2 |
Симметричная |
2е |
|
II |
8 ( 1 ) М 2 ) |
п2 |
» |
0 |
|
III |
(l//2)h(l)8(2)+T (2)8(l)] |
Н2 |
» |
е |
|
IV |
(1/}/2)[Т (1)о(2)-т (2)о(1)] |
Н2 |
Антисимметричная |
е |
Опять по аналогии со спиновыми функциями можно ввести два квантовых числа: Т, описывающее характер симметрии зарядовой функции, и /Ит , описывающее суммарный заряд. Эти величины имеют значения, приведенные в табл. 8.
Таблица 8
Квантовые числа зарядовых состояний
Состояние |
т |
|
|
I |
|
1 |
1 |
II |
|
1 |
—1 |
III |
|
1 |
0 |
IV |
|
0 |
0 |
, По аналогии со |
спином |
значение Т = 1 в случае сим |
|
метричной функции |
и Т — 0 |
в случае |
антисимметричной |
10 Г. Бете и Ф. Моррисон
146 Часть 11. Количественная теория ядерных сил
функции. Квантовое число М т является суммой значений М^ двух нуклонов.
Влитературе принято называть t «изотопическим спином»,
Г—«суммарным изотопическим спином». М- можно назвать «составляющей -с в направлении положительного заряда».
Величина Г аналогична полному спину S, |
а Мх |
— спину |
S.. |
|||
При данном |
7 |
величина |
может принимать |
значения |
7, |
|
7 - 1 , |
— 7. |
|
|
|
|
|
Из табл. |
7 |
видно, что |
зарядовая |
волновая функция |
системы, состоящей из двух протонов или двух нейтронов, симметрична. Так как мы приняли, что нуклоны подчиня ются статистике Ферми, то остальная часть волновой функ ции (15.14) должна быть антисимметричной; это означает,
что |
протоны |
и |
нейтроны |
подчиняются |
статистике |
Ферми |
|||||||||
без |
включения |
зарядовой |
координаты. |
В |
системе, |
состоя |
|||||||||
щей из протона и нейтрона, |
зарядовая функция может |
быть |
|||||||||||||
как |
симметричной, |
так |
|
и |
антисимметричной; |
это |
же |
||||||||
относится и к остальной части волновой |
функции. |
Таким |
|||||||||||||
образом, трактовка |
протона |
и |
нейтрона |
как |
двух |
состоя |
|||||||||
ний одной и той же частицы не приводит |
к |
дополнитель |
|||||||||||||
ным ограничениям по сравнению с обычной теорией. |
|
||||||||||||||
|
Удобно также ввести по аналогии с оператором спина а |
||||||||||||||
оператор т, определяемый по его действию на |
«зарядовую |
||||||||||||||
координату» Mr:1). |
По |
аналогии |
со |
спином |
собственные |
||||||||||
значения квадрата |
модуля |
этого оператора |
равны |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|-ср = |
4 7 ( 7 + 1 ) . |
|
|
|
(15.15) |
||||||
Опять-таки, как в |
случае |
спина, |
в |
системе, состоящей |
|||||||||||
из |
двух нуклонов, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
тг • То = |
+ |
о |
1 |
при |
7 = 1 , |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
при |
т |
|
п |
|
|
( 1 |
5 Л 6 ) |
|
|
|
|
т 1 - т 2 = — 3 |
|
7 = |
0. |
|
|
|
|
|||||
Взаимодействие |
типа Гейзенберга |
можно, записать |
теперь |
||||||||||||
[включая в |
V (г) множитель |
— 1 ] в виде |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
! v ( r ) ( l + V T a ) . |
|
|
|
|
(15.17) |
||||||
|
J ) Оператор, собственными |
значениями которого являются М, |
|||||||||||||
= ± ' / 2 > записывается |
как |
V 2 |
т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 15. Насыщение ядерных сил |
147 |
Чтобы доказать это, заметим, что действие оператора (15.17) меняет или не меняет знака, волновой функции (15.14)
взависимости от того, симметрична или антисимметрична
еезарядовая часть, т. е. в зависимости оттого, симметрична или.антисимметрична остальная часть волновой функции, что
как раз и требуется, согласно формулам (15.8) и (15.9). Все рассмотренные до сих пор типы взаимодействий двух частиц можно представить при помощи операторов различных типов, приведенных- в табл. 9 и умноженных на
некоторую функцию V (г).
Таблица 9
Типы |
взаимодействий |
Взаимодействия* |
Операторы |
|
1 |
Спин-обменное (Бартлетт) . . . .
Пространственно- и спин-обменное
Пространственно-обменное (Май-
Тензорное, обменное
( o r a 2 ) |
( - r - : a ) |
(Cj - Г) |
( o 2 - r ) |
( = i - r ) ( o a - r ) ( - ! - т а )
* В скобках приведены фамилии исследователей, предложивших данный тип взаимодействия.
Эйзенбад. и Вигнер [25] показали, что все эти взаимо действия и их линейные комбинации являются единственно возможными типами взаимодействия, удовлетворяющими определенным требованиям инвариантности и не зависящими от суммарного заряда и суммарного момента системы [например, взаимодействие, определяемое оператором (ejj-f-"a)-L, зависит от момента системы].
• . 3. ЗАРЯДОВАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ
Формальный аппарат изотопического спина дает воз можность ввести полезную классификацию нуклонных систем. Но он представляет собой нечто большее, чем просто
10*
148 Часть П. Количественная теория ядерных сил
удобный способ рассмотрения симметрии, допускаемой принципом Паули, так как мы знаем, что нейтрон и про тон могут превращаться друг в друга, поглощая мезон. Состояния М- = ±1/.2 связаны не только формально, но они сходны и физически. Это обстоятельство наводит на предположение (хотя и не доказывая его), что с определен ной степенью точности полный изотопический спин Т является интегралом движения и сохраняется при всех процессах по крайней мере с большой степенью вероят ности. Наличие различных масс и магнитных моментов нейтрона и протона, а также кулоновских сил, конечно,
означает, что два состояния с разными М т |
не могут иметь |
в точности одинаковых энергий, но для |
целей изучения |
ядерных сил такими малыми эффектами можно. прене бречь. Мы знаем, что г-компонента Т, т. е. М~, предста вляющая собой электрический заряд, строго сохраняется.
Но |
полный |
изотопический спин, который |
для системы |
из |
N нуклонов равен |
|
|
|
|
N |
|
|
|
Т = 2 ^ , |
(15.18) |
может быть |
существенно различным. |
|
|
|
Если Т2 |
является интегралом движения, |
то он должен |
коммутировать с гамильтонианом Н. Для системы двух частиц в Н могут входить два вектора изотопического спина т, и та . Если гамильтониан не должен зависеть от ориентации Т (в пространстве изотопического спина), то он должен быть скаляром и содержать только линейную комбинацию
a + 6 |
w |
(15.19) |
Из самого определения оператора Т следует |
его коммута |
|
ция с т г т 2 |
|
|
Т* = \№+ч1 |
+ 2ъ-са), |
(15.20) |
и так как Т2 коммутирует с УИТ, то и t^-t^ также коммути рует с Mz. Если гамильтониан системы нуклонов комму тирует с Т2, то соответствующие ему силы называют зарядово независимыми.
§ 15. |
Насыщение ядерных |
сил |
149 |
|
* |
|
|
Наиболее прямое доказательство того, что ядерные силы |
|||
обладают по крайней |
мере свойством |
приближенной |
заря |
довой независимости, следует из результатов опытов по рассеянию при малых энергиях, которые были проанали зированы в конце § 8. Совпадение длин рассеяния и эффек тивных радиусов в двух синглетных S-состояниях является аргументом, доказывающим одинаковость сил взаимодей ствия между нейтроном и протоном и протоном и протоном в данном пространственном и спиновом состояниях. В табл. 10 приведены различные свойства системы двух нуклонов. Из таблицы видно, что ^-состояние соответ ствует значению Т=1 и поэтому для него могут иметь
место значения М^ = ±\,0. |
Таким |
образом, |
опыты пока |
зывают, что рассеяние при малых |
энергиях |
не зависит от |
|
Mz (т. е. от заряда), если значения |
Т (а также S я L) оди |
||
наковы. При этом зависимость потенциала |
от изотопиче |
||
ского спина должна иметь |
вид (15.19). |
|
Состояние |
со |
|
Четность |
стояния |
Свойства системы двух нуклонов
со |
Изотопичес спин,кий Г |
|
|
с |
|
О |
|
'Таблица 10
Возможные
ядра
|
Четное |
0 |
0 |
1 |
± 1 , 0 |
- 3 |
+1 |
Не2 , Н 2 ,2я |
|
» |
1 |
± 1 , 0 L |
0 |
0 |
+ 1 |
- 3 |
Н2 |
|
Нечетное |
0 |
0 |
0 |
0 |
- 3 |
- 3 |
Н 2 |
3Ра 1 2 |
» |
1 |
± 1 , 0 |
1 |
± 1 , 0 |
+1 |
+1 |
Н2 , Не2 , 2п |
• Как мы отмечали в § 8, из структуры энергетических уровней зеркальных ядер также следует, что Г является истинным квантовым числом — это дает дополнительное доказательство зарядовой независимости. Следует, правда, заметить, что для зеркальных ядер (исследования рассея
ния протонов протонами при малых энергиях дают |
больше |
|
сведений о зарядовой независимости, если их |
проводить |
|
на зеркальных ядрах) достаточными являются |
несколько |
|
более слабые требования к симметрии. Для любой |
системы, |
|
в которой число нейтронов равно числу протонов, |
доста- |
150 Часть II. Количественная теория ядерных сил
точно предположить симметрию относительно преобразо
ваний |
1 |
чтобы |
получить те же результаты, что и в случае |
полной зарядовой независимости. Это свойство, которое называется зарядовой симметрией, означает лишь, что взаимодействия нейтрона с нейтроном и протона с протоном одинаковы, но оно ничего не говорит о соотношениях между взаимодействием нейтрона с протоном и другими взаимодействиями. Данные о ядерных уровнях и рассея нии подтверждают более узкое свойство зарядовой незави симости.
Сведения о зарядовой независимости можно получить также из свойств ядер, для которых TV f=Z, а значение А четно; при этом зарядовую симметрию можно не рассмат ривать. Для этих ядер возможные значения Т являются целыми, а не полуцелыми, как для зеркальных ядер, у ко торых А нечетно. В простейших случаях Г = 1 или Т=0. Такие ядра образуют триады изобаров, имеющих одинако вое массовое число А и разные Z и поэтому различные Л4,. Хорошим примером является группа ядер с массовым числом 10: С1 0 , В 1 0 , Be1 0 (см. табл. 11). Естественно предположить, что основное состояние каждого из этих ядер имеет наимень шее возможное значение Т. Тогда квантовые числа можно сопоставить с относительной энергией связи. Причиной расщепления вырожденных состояний Mz = ±1,0 изотопи
ческого спинового триплета 7 = 1 |
может являться, помимо |
||
различия в массах нейтрона и протона, |
только |
кулонов- |
|
|
|
Таблица |
11 |
Ядра |
|
Вею |
|
Сю |
BW |
|
Х а р а к т е - ^""^v.
•рнстики
М- |
- 1 |
0 |
+ 1 |
Т |
1 |
0 |
1 |
Относительная |
- 4,72 Мэв |
|
+0,23 Мэв |
энергия связи |
0 |
I