книги из ГПНТБ / Белостоцкий, Б. Р. Тепловой режим твердотельных оптических квантовых генераторов

ставляет интерес оценить условия реализации режима одиночных посылок (в пределах заданных бе— рис. 4-2). Предварительные выводы можно сделать из рис. 5-2. и 5-3. Более точный учет можно провести по формуле

Аналогичная оценка проводилась в рамках линейной задачи (см. гл. 4). Поэтому сравним результаты расче­ та по формулам (5-66) и (4-65). Расчет, проведенный с учетом данных табл. 5-1, показал, что на переходной стадии от частотного режима в режим одиночных им­ пульсов коэффициент бе отличается от значений б'е и тем больше, чем меньше величина Fon. Однако, когда б/е<1,8, они практически совпадают. Поэтому в боль­

Н еп р ер ы в н ы й реж им . Для активного тела оп­ тического квантового генератора непрерывного действия расчетные соотношения вытекают из решения следую­ щей нелинейной системы [Л. 5-16, 5-7]:

Введем в рассмотрение вместо температуры ее инте­ гральный аналог по выражению (5-1). Если коэффи­ циент теплопроводности линейно зависит от темпера­ туры

130

то для обратного перехода от ѲФ к исследуемому пара­ метру— температуре — следует пользоваться формулой

Преобразованная в соответствии с (5-1) система (5-68) — (5-70) записывается в виде

Теперь нетрудно найти решение, которое имеет вид, аналогичный (2-12). С учетом связи (5-72) получаем для стационарного режима

(5-77)

Если теплопроводность активного вещества слабо за­ висит от температуры (значение kx мало), то формула

(5-77) переходит в решение для линейной задачи (2-12). В последнем легко убедиться, разложив (5-77) в ряд и полагая = 1.

Для больших чисел Био (Ві>100), когда температу­ ра на поверхности практически совпадает с температу­ рой охлаждающей среды (граничные условия первого

рода), выражение (5-77) 'переходит в следующее реше­ ние нелинейной системы (5-73) — (5-75) [Л. 16]:

(5-78)

На рис. 5-4 для ряда значений Ві и интервалов рабо­ чих температур показаны распределения Ѳ(/т) по сече­ нию активных тел. В качестве сравнения на каждом из рисунков приведено поле температур в образце, рассчи-

',2 т ) --< ,2 <,0

У У

0,8

О,Б

4*

0,2

п

О0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

В 1=20

Рис. 5-4. Температурное поле в активном элементе не­ прерывногоОКГ с учетом зависимости теллофизнческих характеристик активного вещества от температуры в стационарном режиме.

132

тайное без учета нелинейности' (kx = 0 ) . На рис. 5-5 для

учета зависимости коэффициента теплопроводности от температуры даны поправки бі к результатам расче­

та разности температур между осью и поверх­ ностью активного тела при однородном тепловыделении. Как следует из рис. 5-4 и 5-5, результаты определения температурного режима активного тела в ряде случаев могут заметно отличаться от данных, полученных в ли­ нейном приближении, особенно при небольших значе-

иповерхностью рабочего

в рубиновых элементах для диапазонов рабочих темпе­ ратур 65—ВО и 300—400 К оказывается выше, чем при расчете в линейном приближении для Ві= 0,1, соответ­ ственно в 1,36 и 1,11 раза; для стеклянных образцов в диапазонах 200—300 К и 300—400 К корректирующие

активного вещества от температуры может существенно влиять на характеристики температурного режима рабо­ чих элементов ОКГ. Однако целесообразность учета этого факта при определении температурного режима ОКГ следует всегда увязывать с температурным интер­ валом работы образца, характером зависимости его теплофизических характеристик от температуры, часто­ ты следования импульсов и эффективностью его охла­ ждения. В рассмотренных выше примерах корректиро­ вать расчеты, проведенные в рамках линейной задачи, для стеклянных активных материалов нецелесообразно.- Для рубиновых стержней такой учет полезен в области низких температур, а также в случае критических режи­

133

мов работы (сохранение агрегатного состояния хладо­ агента при резкой зависимости генерационных характе­ ристик от температуры). Последнее замечание относится также и к ОК.Г на вольфрамате кальция, флюорите и гранате.

Глава шестая

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

Активные элементы ОК.Г работают в условиях неоднородного по объему нагрева, который вызывает неодинаковое тепловое рас­ ширение различных элементарных объемов вещества. Неравномерное расширение в сплошном теле в общем случае не может происходить свободно. Вследствие этого неоднородный нагрев обусловливает по­ явление температурных напряжений.

В режиме одиночных импульсов при адиабатическом нагреве величина напряжений определяется механическими и теплофизическнми свойствами вещества и характером распределения источников тепловыделения. В частотном режиме проявляется также зависимость от величины чисел Био и Фурье, определяемых частотой следования импульсов накачки, размером и формой поперечного сечеиир актив­ ных элементов, интенсивностью теплообмена с охлаждающей сре­ дой. Влияние указанных выше факторов на величину и распределе­ ние температурных напряжений по сечению активных элементов в конкретных случаях проявляется по-разному.

Как указывалось выше, температурные напряжения вызывают изменения оптических свойств вещества. Они являются в ряде слу­ чаев причиной разрушения активных элементов с невысокой механи­ ческой прочностью. Поэтому напряжения, возникающие в процессе работы ОКГ, следует считать одним из существенных факторов, влияющих на работу генератора. Данные о величине и характере распределения напряжений, их зависимость от параметров вещества и условий работы необходимы для описания оптических свойств ак­ тивных элементов в рабочем состоящій и выяснения их влияния на характеристики генерации.

6-1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

В данном параграфе рассматриваются основные соотношения несвязанной квазистатической теории термоупругости [Л. 6-1—6-5], которые попользуются при анализе температурных напряжений в ак­ тивных элементах твердотельных ОКГ.

Напряженное состояние вещества характеризуется компонентами

134

Несвязанная квазистатическая теория не учитывает механиче­ скую связность ’(заівиоимость температуры от деформации) и си­ лы инерции, обусловленные нестационарным температурным полем. Пренебрежение эффектом механической связности обосновано при рассмотрении задач термоупругости, если причиной возникновения деформаций являются внешние или внутренние источники тепла. В этом случае івлияние деформаций на распределение температуры ничтожно мало и нм можно пренебречь [Л. 6-1—6-3, 6-5]. Исследова-

Z

Рнс. 6-1. Схема напряжений, приложенных к элементарному объему.

ние температурных напряжений является в общем случае динами­ ческой задачей. Однако при .достаточно медленной изменении тем­ пературы можно не учитывать влияние инерциальных сил. Тогда дви­ жение элементарных объемов вещества рассматривают как после­ довательность квазнравновесных состояний (квазистатическое при­ ближение). В соотношения для деформаций, напряжений и пере­ мещений время будет входить как параметр.

Так как напряжения в активных элементах возникают в резуль­ тате объемного тепловыделения вследствие поглощения накачки и изменение температуры вещества происходит достаточно медленно, то анализ напряженного состояния активных элементов можно про­ водить в приближении несвязанной ивазистатическоіі теории термот

в соответствии с распределением температуры исследуется напря­ женное состояние вещества.

Компоненты оц, 'S,-3- и и,- в каждой точке объема изотропного вещества при заданном распределении температуры Т(х, у, г, і) определяются следующей системой уравнений:

135

н соотношениями между деформациями и напряжениями (соотношениями Дюгамеля-Неймана):

1

ех х = ß Iя** — ѵ (®уи + °zz)] + «г?4;

1

evy= -уг К у—ѵ К* + ®*z)] + “т7’;

(6-4)

■нормали к 'границе поверхности. .

136

При зависимости температуры от двух пространственных коор­ динат Т(х, у, 1) рассмотрение упрощается. Этому случаю соответ­ ствуют типичные задачи термоупругостп о плоской деформации и о плоском напряженном состоянии. Плоское напряженное состояние характерно для тонких в направлении z (призматических тел, в част­ ности для танкой пластины. В условиях плоского напряженного со­ стояния

плоской деформации перемещения их и иѵ зависят только от двух координат X и у, а осевое перемещение uz= 0. В случае плоского деформированного состояния компоненты а Хх, о ѴУ, а х у , е хх , в уѵ, &хУ, их и иу также удовлетворяют уравнениям (6-7), в которых параметры Е, V , От необходимо заменить на £/(1—ѵ2); ѵ/(1—ѵ); іат(1+ѵ) соот­ ветственно. Осевое напряжение определяется следующим выраже­

нением температуры по толщине и цилиндрического стержня с осе­ симметричным распределением температуры, которые соответствуют наиболее распространенным конфигурациям активных элементов

о к г .

В пластине, свободной от поверхностных сил, при изменении температуры по толщине Т(г, I) реализуется частный случай .пло­ ского наипяжеиного состояния:

пластины.

В рассматриваемом случае компоненты тензора деформаций

При симметричном распределении температуры Г(г, /)= Г (—2,/) величина Мт=0 и компоненты е**, &ѵу, их, иѵ не зависят от рас­ пределения температуры по толщине, а определяются лишь усред­ ненным нагревом.

Для кругового цилиндрического стержня (сплошного или поло­ го), когда температура Т(г, 1) зависит только от расстояния до оси г, при отношении R/L<g. 1 (R —внешний радиус, L — длина стержня) и отсутствии осевых перемещений имеет место плоское деформиро­ ванное состояние, при /?/L> 1 и свободных от нагрузок торцах — плоское напряженное состояние.

138

В случае длинного полого цилиндра радиальные и тангенциальные компоненты напряжений '(см. рис. 6-1) записыва­ ются в виде

атЕ

(1 - ѵ ) г» ^r w S T { r ) r d r - \ T{r)rdr

Решение задачи для плоского напряженного состояния также описывается соотношениями (6-14), (6-15) при замене £7(1—ѵ2), ѵ/(1—ѵ), a T(l+ v ) на E, v, ат соответственно.

При плоском деформированном состоянии

Осевое перемещение без учета движения цилиндра как твердо­ го тела и осевая деформация определяются соотношениями:

Ra

(6-18)