книги из ГПНТБ / Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения

=

оо

т—(и—1 )

°°

21 Пт

2

VCv Rvt~ l hm-v+l =

2 ЯтТ]т, 0-")

т=п—1

v= 0

т =- 0

где

Рт — 2

Sv+2 n—т —2

1 ^т—v+1 -

0-91)

v=

1

Наконец, разложим по положительным степеням г) вы­

ражение

п+ 1

—— PJ (аь). Как

известно,

*=i P i1!— «й

Pi Л

{Я1ц — аъ)~1 =

1

а А

ак

P f rf 1

оо

1

^

- 2

тt i t

Г/"*

=

Тогда

aftm= 0

m=Oak

2

■J

л —а&

2

<«■

р ; W

X

-t t S

: р; <“*> “ -

оо

пГП

п- \ - 1

х

А

1

-

ягл™ 2

2

„ т ~\-1 л”

2

т —0 ak

m= 0

k=1

Х Р ,'К ) а Г (т+1)= 2

nmR?+l h ( R T 'g k - g 'b ) X

т

= о

&=1

Х Р ',К ) а Г (т+1)=

2 Й Г .

(1.92)

т=0

Коэффициенты этого разложения Dm имеют вид

гг+ 1

(1 .93)

DI = 2 (Яг1 gft- £*) Я! К)(*1-\т+\

*=i

/

Уравнение (1.67) после приравнивания коэффициентов

при одинаковых степенях т| примет форму

ат {tRlm+ sRf) + 6 2 (yNm+ dMm—tLm- dN*m) + Pm-

— D m + lm+i ^0 = —pR6m^ i q mR~m (m = 0 , 1 , 2 ,...).

(1.94)

В полученные уравнения (1.78) и (1.94) входят числа

Р[ (а*), которые определяются

формулой

Р \ К)= 2 vcva* '•

(1.95)

V — 1

Подставив (1.95) в выражения (1.77) и (1.93)

для D m и

Dm, получим

п + 1

2 .

Dm = R i m+l 2

2

(Ri 1gv -gv)a.V

5

k — \

v— 1

(1.96)

oo

i

D*m= R™+1 2

kch 2

(^ T V v - g ;)a v ~ m“ 2

*=1

v — 1

(1.52), вычисляются

по

рекуррентным

формулам:

K = qnRTn;

h'n-i = q n- 1R j n+l\

k—i

1K - t + \ (1.98)

h'n_ k = qn_ k R - n+k -\- 2

(k— i) Qh-i R 1^

t=l

(k =

2 , 3 , ... ,ri).

При использовании формул (1.97) и (1.98) необходимо

учитывать, что q0 =

0 .

Величины

определяются соотношениями:

hn = - R l + I *>.-*>

; кП+1

(n — 1) qn - i h n R i .

Щп

Щп

hn+ 2 = ~

q1(RTl- R i)R l+l + (n-2)qn-2Rlhn +

Щп

—у ~ К Я — В Яп- i R i hn-j- 1 .

я?71

Ал+з =

92 (#i 2 —ffi) -Ri^

1 + (я— 3) qn- з ^?i

+

Щп

+ (n — 2 )

9 n —2

f t n + i +

( n — 1)

9 n - 1

R%hn+2 .

n ? n

? n - 2 t f ? + 1 ( « r ' 1 + 1 - « r 2) + 9 i ^ r 1 * » +

«<7n

(1.99)

~b 2 ? 2 ^?i

^ я + 1 Ч~

— 1)

q n - l R i h.2n—2 .

Щп

hi2 rt :

9n.-i ^i+1 (/^Г'г+1-^ 1 +1) +

Щп

+ 9 i

Ri~^~^

h /t-f-i -f- 2q% R i ^

^ n - f 2 -f-

• • • -j-Щ п R i h^n— i .

Щп

h"

R n+\ (R T n _ R n ) _ R n+ 1

Д»

1n

n 2n+ 1 =

------------

«9n.

m-\-n— 1

j

= —

2

h'n+i (m — i) q ^ m R^+ n- i\

Щп

i=m — 1

Определим далее значения gk и g'k. Величины

§k

яв'

_ / I \

ляются

вычетами функции

(О

в точках

а

ak,

где

со' (а)

a,h — корни

знаменателя,

т. е.

корни уравнения

ап+ 1 — 2

П

vqv on-v = 0 .

( .

)

1 100

образом:

gk = Uk + ivk =

2 /г

/1+3 .

-{- 2 I

Чп «1а+1+<1п-1*1п + - + Я г * Г * + Я 1

+

AhCk+ BkDh

Ah Dk — Bh Ch

( 1.102)

Al + Bl

vh = -

A% +Bk

—

2

v(n — v)q v r k ~ v~ l cos(/i — v — 1) cpfe;

V =

1

(« + i) r*sin/i(pft—

—

2

V (n — v) £7v / - r v

Sin (я — v — 1) q>ft;

(1.103)

v—1

n

Ck =

/'ft cos ri(fh +

2

<7v /A+V+1cos (/г +

v + 1) cpfe;

V =

1

n

Dh — rnk sin ncp/t+

2

qv rnk+v+l sin(n +

v+l)q>ft.

v= 1

'

Вычеты функции

в точках

опреде-

ляются

по формуле

со' (Яхо)

*x«£ +

2

?v ^ r (2v+1) 4

+v+1

gk = Uk + Wk-

_______ у—1__________________

(n + l)«ft—

2 v(n—v)a£~v_1

v—1

,

Ah Ck +

Sft Dft

, AhDk — BftCft

(1.104)

uk = -------1------- :

Vk =

At Ф Bk

A l +

B l

где

С* =

Ri rnk cos пфй +

+

2

<7v t f r (2V+1)^ +V+1COS(n +

V +

l)cpfc;

V= 1

(1.105)

Dk = RirkSinn,(i>h +

+

2

qvRT{2v+1) rk+v+l sin (л +

v +

l)<pfc.

y= 1

D m = R \

-m+ I

VCv

2 r k +v

2 {(/?! [uh—Uk)x_

k—1

D*m = R ? + *

2

vcv "2

r r m_2{(/?r'% -«*) X

V= 1

k=

1

Xcos(v m

2) q>h—(R~l vh—v'k) sin (v—m—2)cp&+

+ + 1 — — — H j , + -{- 1 ”

V[ j

U - i^ i = + ,

Фг-к = 2я

срг

0 „ = R t " +1 2

VCv s

C?+V” 2 x

V=1

fe=I

X [(# Г 1uh — Wk) cos (m + v—2) фЛ—

—

1vh— v'k) sin (m+ v—2) фь];

(1.107)

ос

П~\-1

D*m=-R f+! 2

vcv 2 rfe_m~2 [(/?—

—u'k)cos(m—v—2)фЛ—

V = 1

k = \

~ { R r l vh — v'k) sin (v — m—2) q>k].

(1.108)

3 Зак. 488

65

части выражения

(1.69) и учитывая те же

соображения,

получим

tl -J- 1

c*m = R х 2 rk

1 \ { R ^ Xuh — u'k)cos{m— \)qk—

— ( R r ' vi,— t»*)sin(m— 1)фЛ].

(1.109)

2

Сщ, vCv 'ф 2

&т, v ®v — dm

(pi = 1, 2,

..., /");

v;

‘

v; '

(l.iio)

2

Cm, v cv +

2

&т, v &v ~ d m

( ш — 1, 2,

...,

s ) .

v = I

v = l

'

Коэффициенты при неизвестных cv и av определяются

следующими соотношениями:

n+ 1

— vR ~ m+ 1 2

rvp+m 2 [ (R - l up— u'p)cos{m + v — 2)<pp—

P = 1

—(# Г ‘ vp ~ V p)sin(v + m — 2)фр];

(1.111)

X (hv—m+ 1—■R 1 Xv m+ I ) /iv —m-f- l)l —[~

n — (v — 1)

hp—m-l- l) fop-\~v-f- I

d8n+ 2 —f X

X

2 ^Р+ v РСщ — р—1 ^v + P + 11>

( 1. 112)

Р = 1

'

Cm.v = v{6v+2n_ m - 2 ^ - 1/ i m- v+l —

2

X

V ~ 1

X

1 U p

—

U pcos)

(v — m — 2) <pp —

— (#Г*

— »p)sin(v—m —2)фр]};

(1.113)

v =

V v

(*# K m + s

R f )+

v/?™ [y/zm

+ v + 1 Sv+m +

n—(m+ 1 )

+ rf6 m + 1

2

S p + v P ( R r { p + m + l ) h ' p + m + l — Xh p + m

P = 1

х hp+v+l— tR-<v+m- ^ 6v+ m ^v+ m+ 1

— d R r 2m&v+m

+ я»+ 1j *

(1.114)

Здесь обозначено

Ят

V==

11

'" Т 'Ч

(1.115)

’

1п

[0

m=Rv. J

Свободные

члены системы уравнений (1.110)

имеют вид

4т= —К р Ъ

= —Sm- iqmR r mpR-

(1.П 6)

tfp + tfe = 4JRe ф' (О .

1

со' ( 0 ’

ов

2£2

X

(1.117)

2 гтр0

Р3 со' (О

х

ф" Ю со' ( 0 - с р (£'

)а>*(£)

Ф'(£)

со (О

[со' К) ) 3

3*

6 7

РК

v= 1

i

со

(1.118)

2

I

pR

Су^~

p R

со' (О

ф '(9

v=

1

п —2

$2 2

£v +

&0-

V = 0

где

_

V

vov p~v- 1cos (v+ 1) 0;

V — 1

(1.119)

b[=

2

v av p -'’- 1sin(v+ 1)0.

V= 1

В свою очередь,

ы'(Q = R ( l —

2

= R (с'г + id[),

где

c[ =

1 —

2

vQv p~v~ 1cos (v +

1) 9;

V =

1

( 1. 120)

П

d[=

2

V9v p~ v_1 sin (v+ 1)0.

V= 1

Сумма нормальных напряжений в любой точке массива

определится формулой

° р + 0 е 3 : 4Re

ai + ibj

_ . gi ci + Ъх d1

р.

(1.121)

+ idг

/ 2

, 2

+

d1

Чтобы вычислить сумму нормальных напряжений

+ Од

в массиве на линии

контакта

его с обделкой,

необходимо

в формулу

(1.121)

подставить

значения

я /,

6/, с/

и с//

из (1.119) и (1.120) при величине р — 1.

напряжений

Найдем

далее

выражение

комбинации

Од — а”

2гг“0 на линии

контакта массива с обделкой.

Для этого

подставим

значение функции

ф (а) из

(1.118)

в (1.117) при р =

1.

Имеем

— (ое - о * 1+ 2гтрз) = J L

-

(-L .

[со' (а) ] 2

p R

со' ( а )

\ p R

Т

V—1

со (ст)' со' (о) — со (а) со" (а)

Z vcv 0Г*

p R [со' (а) ] 2

v= 1

—со'(a) T

2

vcv a - v~ 1 + 62 ^ V/1V° V~ 1

d

v= 1

V= l

—~ (сте +

+ 2г'Тр0) =

,

-

со' ( о ) ср' (о)

P R

p R

I со'

(о)

со'(a)

2

- 1 +

б2

2

vHv crv+ 1

( 1. 122)

v—1

V—1

М М

/2 , 2 R e

( с—[ i d ' j ) 2 vav a - v - Ч -

— <?р :

С1 + d1

v= 1