книги из ГПНТБ / Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения

сгр= —Ув(Я—х); тр0 = О,

(6.1)

4

= /?1+

2

<7v^rv.

(6.2)

R

v=i

ф

Поскольку главный вектор внешней нагрузки

X + iY Ф

0,

искомые комплексные

потенциалы ср*1*(С), ф/1*(С)

(i

=

0,1),

характеризующие напряженное состояние среды

и кольца,

представляются в виде [53]:

ф11,(0 = ф<(9-

X

+ i Y

lng;

2 л

(1 +Х|

(5) +

*| 2 л ( 1 + щ )

In t,

(6.3)

где функции фф£),

фг(£) регулярны

в

соответствующих

областях.

Граничные условия для функций <рг(£), ф;(£)

на линии

контакта

в преобразованной

области

выражаются соотно-

Л (с)

X+ J Y

1

1

2я

0(0' (о)

JJ-i (l+^i)

И'О(1+Хо).

(6.4)

Аг{о)

X + iY

"__1______ 1

'

2я

осо'

(а)

1+ Ко

1+ Kj

Правая часть

граничного условия (1.7) принимает вид

B (R 1 o) = f(R 1 a)

X - i Y

l n f R l

2л (1 +X]J

Ri

X + iY

1_

X — iY

©'(/?! a)

■ X jln ^aJ + C.

2^(1+ % )

Rx а

2 я (1 + х 1)

Приводя

подобные

члены

и

вводя

выражение

X _IY

в постоянную С,

получим

(1 — Хх) —2 ^— In

в (Я! а)

2я

In a +

X + iY

- (

Ri

1

03 V 0

C.

(6.5)

2x(l+xi) ffl'f^o)

RxO

В формуле (6.5) обозначено

f(t) = i \ ( X n + iYn)ds,

где t — точка внутреннего контура Lv

Учитывая характер заданной нагрузки,

имеем

ds

ds

f (t) =

(Н— х) (dy— idx) = — ув ^ ( я —' dt =

— Ye Ht __ p___ i_ c i dt

4

2

J

Учитывая, что в преобразованной

области t =

co ^a),

имеем

f ( R 1o) = ~ y B^Ha> (RlCг)-- |-co2 (R1a) —

---- ~1 j<o(Ri o)d [со (/?! o)]J .

(6.6)

Принимая во внимание соотношения

d [со (Rxa)] = со' (Rx a) Rt dcr,

to (R| 1 a) = R \ R 1 a - i +

2

<7v^rvav

V= 1

+ 2 9v^ rv- !°V) ( l -

2 vyv /? -v - ia-v -i)d a =

V= 1

v= 1

о

2

9v'Rrv_1°V— 2 vqv R~v~ l a~ v ~ 2 —

v= 1

v= 1

- 2 v q lR ~ 2

(v+i) 0 i__ 2 2 * &7v 9ft R~(v+k+2>av~*_1 do=

v= 1

V=1 k—l

= Я2 Я? (f In a +

2

(av+1 + va~v- ') +

(

v=i

v+1

"

n

ka

a » - <v+*+2)

+ 2

2 * - ^ —1---------

v= 1

£=I

v —A

F = 1— 2 vqlRT2{v+X)-

(6.7)

V = 1

f(R1 a) = —Ув

2 gvRxvo

R2 'R\ о2 +

V — 1

п

п

+ 2Rxa 2

<7v^rV(7_v+

2

2 gvqhRT{v+k) ° ^ v+k))

v =

1

V =

I

k — I

( 6.8)

R i -v—1

R 2 R i

F ln o + 2

q

■(av+ ! + vo-v—1)-

V = 1

v+ 1

n

n * k a a P ~ ( v+ * + 2)

2

^

K1______

tv—A

v = 1k= 1

v — k

X + iY= — /ув

2л/) = —ув R2 nF. (6-9)

В (R± о)—

ув | HR

о 1-[- 2

<7v Ri v

-----—

о 2+

+ 2/?!

2

q v R T ' - 'o ' - ' + Rl

2

2

g v ^ ^ r (v+*+2)ov+*V

V — 1

n

v = l i = l

/

y BR * R \ F ,

R 2R \

n

p—v—1

2 ‘K *4

(a~v_1 + vav+ 1) —

------------ In a ----------

V =

1

V-

n

n b n

n p — ( V + * + 2 )

yBR 2R \ F

In a-

- 2

2 ' ^ * ^ —

-

0 * - v

v = l k=l

V—k

y * R 2 R * F “ ( Т у

1

2 (l+ x x)

Rxa

г

“ ( о /

1

I

где

(6. 10)

f*№<,)“ й

— 1

+vlV

^ Rrv_‘°v)- т ("-а+

+ 2 2 <7V

av_I +

2

2

^v^jt^r(v+*+2) av+*) —

V = 1

v =

1k=

1

n

n—V—1

2

- - - | . -(o ~ ^ -1+Vffv + 1) +

V = 1

v + 1

+ J ,

J ,* ^ v ‘? ^ r (V+ &+ 2)

T&—V

(6. 11)

V=1 ft= 1

V — fe

Выражение /i(i?ia)

можно представить в форме

n-f 1

2n

/ i ( ^ o ) =

2

ah RTk e - k+ 2

(6-12)

k= 1

k= 0

« 1 = ~н + <7i <?2 R

Г 4 + 2 ^ 2 <7з R

Г 6 + 3<7з R Г 8 ;

«2= — ^-(^1 + 91—^х^з^Г4 —2(72^4 ^ Г в);

« 3 = ------^ - ( ^ з — ^1 Q i R i * ) ' , « 4 = ---- 1- % - , а 6 = —

^

<3

4

О 9 4 ,

Р о = — ? i # r 2;

pi = K r4 ( Y ^ - ^ ~ 2 9 i < 7 2 ^ r 2-

—З^г^з^г4—4^3<74K r6j

;

Г 2Я

<7з

1

р2 = /?г6 "Л Г ^2

А

1 (6 .1 3 )

2 H

„ „

2

{Яг Я\-\~^Я\Ях Pi 2)

33 = R t * ■^“^3

^4 ЯхЯ1‘

g

2 H

Т

<72-

<73Pl

Р4 = ^ Г 1° (^ < 7 4 - ? 1?з-

УвЯЩ F

1_________1

Лх(а) =

P l(l+ X l) Ро (1+Хо)_

2

• (6 Л 4)

4bR*R\F

1______

1 1

Л2 (а) =

со' (а) 1+ х0 1 + X iJ

2

..

1

•

da

ядро Коши

а _ ^ и интегрируем их почленно по кон­

В частности,

поскольку

1

П+1

2

hb a k~ l

и ' (о)

+

y

. ~

r l

^

a — a ft

k—0

k=\

1 Г со

1

-(/г0+

2 - ^ - 1 Г 1, С вне Г

\ a J da

2л1 J «то)' (гг) ст— £

п

(6.15)

2

£ внутри Г.

k=i

—ГА , (о) — yb

2

1

1

X

2лi j

a — t,

.H-i (l^-Xj)

ЦоО+^о).

г

п + 1

хUo"f 2

8k

k=i t — ah

(6.16)

2

l____ __ i_

- L f A 2( a ) - ^ - = M

^

1 +Ko

X

2m-J

■ o — Z

2

1+Ki

Л+1

8 k

x \h0+

2

k=\ £— a h) £-

—ГАЛо) —

YbR 2R 2, F X

2n i )

o — Z

1

X _____________!___1 v h

-lCi(l+K i)

fi0 (1 +

>to)J k — l

_L [ a 2 (o ) - * L .

(6.17)

Y b R 2R \ F X

2m'Jг

o—Z

X

i— n H 21

1+x0"

1 + X i J £=

%0

на

и вычитая из него первое, получим в правой

части

1

Кг

d a

Ув Я 2Щ F

XI

2 n i

(X! л 2 (О)

a —

£ 2 n

i

о— £

2

Hi 0+Ко)

г

^J

n+lП 1

/

\

1

1

-

W

S

A

r

=

Hi (1+Xi)

Hi ( l+ ^ i)

H o(l+Xi'o)J \

k = i i — a hJ

Vb Я 2# ? f

1

1+ Xi

'+

1

r,

\

+ /

2

- M

i r ‘ =

H i

H i U + ^ o )

k= 1l —v-h!

Ув^2- ^

_1_

1—/ 1+Xi

n+1

„

■ J

A

Г 1.

(6.18)

2

[ij

1+ Xo

k=\ s— ah

1

n + 1

£a

Hi(l+xi)

Hi (* + xi)

Ho (1+Xi)

К ■2 r

s_1=

&=l £ —аЛ

_ .у*R2Ri F i d d + х р Л

n+1

£a

■2 -

Г 1-

(6.19)

2

Pi

1+ Xo \

*=i £

-«A

- Ц ^ - Г л 2(а )-^ ------

L Г л, (а) — =

2ju pi J

а—l

2 nJ i W а — £

=

У* R %R \ F ^ i d ( i + X l ) |

(6.21)

H i 1 + X o A = 1

Из полученных выражений определим функции Р2

j,

P l[

1 n

y*R*RVF

d

^

h

(6.22)

C j

2

l + Xo

*=l

h

**(£) =

"

2

■

k

+

2

> ) ? - ;

(6.23)

l+x0\

a= i

£—aft/

QT (5)= -- ?- R'R U (

1

■

1

У^

1 _

2

Vi+>«i

1

^ x 0

_ (

1

СО

С в н у т р , , г ;

< 6 ' 2 4 )

Q1(0 = - ^ L r -L - U + " y -И -) Г1+

2

1 ”4“ Xi

\

k= \ Z,—оо&/

л ! р $ ' ( <, ) =—

2

2 А , о * + ”2 - ® - ) х

со'

(оа)

W

1+ Хо V*=!

к = Ю - а к/

X

2 ( А - 1 ) / г, а ^

=

ysRtR^F

d

- ^ - ^ . - ^ - | ( / г 0 + Л1а + ...+

6=1

^

1 + х 0

I

+

hn ап) (Л2 а"2 +

2Л3 а-3 + ... + (я— 1) Лп о“ п) +

Л+1

п

1

+ 2 - * * - 2 ( k - \ ) h k o - * \ .

k=io —ak k=i

)

П—1

Ло — h\ + 2/i| -f- ... + (п— 1 )hn — 6j 2

V+ 1i

V=v

1

Ax = h2 h3-\- 2 h3 hi -\-... + (n —2) Ьп_гкп

n — 2

■ (6.26)

—6 2 2 ^V+l^V + 2 i

V — 1