книги из ГПНТБ / Пивоваров, С. Э. Моделирование процессов прогнозирования в приборостроении

Коэффициенты а0, аи .... аг вычисляются из условия: i

Q = 2 [(а0+ аМ + . . . + aru'r) - Р’\ = min,

/=1

50

для решения которой можно применить один из методов решения систем линейных алгебраических уравнений.

Прогнозирование потребности в каком-либо виде продукции на длительный срок должно сопровождаться, с нашей точки зре­ ния, построением нескольких вариантов моделей и отбором опти­ мального варианта, наиболее точно отражающего развитие потре­ бления за базовый период и учитывающего возможные структур­ ные изменения в прогнозируемом периоде.

Ниже изложена методика выбора оптимального варианта мо­ дели. Рассмотрим несколько зависимостей из перечисленных выше (можно выбрать и другие виды зависимости, например вместо

по сравнению с моделями парной корреляции выбор вида зависи­

чае большое значение имеет исследование зависимости каждогр фактора и выходной функции.

Далее сравним численные значения потребности в годы базо­ вого и прогнозируемого периодов. Последние получим из формулы

(длина базового периода) и /2 (длина прогнозируемого периода) одной и той же нормально^ распределенной общей совокупности,

имеющей среднее значение р = 0 и дисперсию а2.

Пусть средние значения рассматриваемых частичных совокуп­ ностей равны рг и р2, а для оценок дисперсий справедливо

/2- 1

/.=i

и пусть проверяемая гипотеза верна. Основой проверки гипотезы является разность рх — р2, дисперсия которой равна [51]

51

Так как оценки SJ и 5 | дисперсии ст2 имеют вес 4 — 1 и 4 — 1,

В данном случае для /-статистики справедливо [51]

i Pi —Р2

S

Таким образом, можем воспользоваться таблицей распределения /-статистики, взяв число степеней свободы

v = 4 + 4-

Далее, из зависимостей, удовлетворяющих этому критерию, выбираем наилучшую в смысле наименьшей суммы квадратов отклонений расчетных значений от фактических, т. е. такую зави­ симость

Р = ф (*i> *2, .... хг),

для которой

2 [р{ - фМ> .... *0 Г = min-

/= 1

Модель множественной корреляции может иметь также вид

р = «О + a j (лу) + . . . + arf (хг) + А,

где f — какая-нибудь из функций в перечисленных выше видах зависимостей;

А — случайная нормально распределенная величина с нуле­ вым средним и дисперсией а2, характеризующая влия­ ние не поддающихся учету случайных факторов.

Реализация этой модели представляется более сложной, чем описанных выше.

После выбора модели и получения её коэффициентов целесооб­ разным представляется рассмотрение частных коэффициентов эла­ стичности. Если зависимость потребности от влияющих на неё факторов имеет вид

Р = ф(*1, *2. •••. Хг),

то для коэффициента эластичности в зависимости от изменения фактора Xi (i = 0, г) справедливо

чдР

Кх , = р дх[

52

Коэффициенты эластичности характеризуют частные скорости роста потребности в зависимости от изменения рассматриваемого фак­ тора. Таким образом, получаем возможность сопоставить разно­ родные (измеряемые в разных единицах) факторы и расположить их по степени их влияния на величину потребности.

3.4. Прогнозирование экономического развития отрасли

Основные цели экономического прогнозирования заключаются в определении тенденций развития экономических процессов, в ра­ скрытии основных закономерностей этих тенденций, в выявлении возможных альтернатив развития отрасли, в определении темпов и пропорций расширенного воспроизводства.

При этом перед прогнозированием экономического развития от­ расли ставится задача исследования важнейших технико-экономи­ ческих показателей, характеризующих экономическое развитие отрасли, таких как объем валовой (товарной) продукции, себе­ стоимость валовой (товарной продукции), производительность труда, балансовая прибыль и др.

В процессе прогнозирования необходимо выяснить характер воздействия на названные выше показатели экономического раз­ вития различных факторов, в частности таких, как: результаты научно-технического прогресса, уровень организации и специали­ зации, капитальные затраты, трудовые и материальные ресурсы и др.

При этом исследуемый показатель следует рассматривать как выходную функцию совместного влияния факторов. Весь процесс экономического прогнозирования отрасли состоит из следующих этапов:

отбор наиболее значимых факторов; составление математической модели зависимости;

прогнозирование основных технико-экономических показате­ лей.

При решении задачи отбора наиболее значимых факторов к ним предъявляется ряд существенных требований, а именно: факторы должны быть выражены в количественных показателях (даже если они носят качественный характер); ни один из факторов не должен находиться в точной (функциональной) зависимости от другого или группы других.

После выбора выходного значения и установления набора фак­ торов составляется таблица (матрица) наблюдений, в которой строки представляют собой фиксированные значения выбран­ ных факторов в отчетные годы исследуемого периода.

Рассматривая выделенные основные технико-экономические по­ казатели как выходные функции от совместного влияния ряда факторов, можно при наличии матрицы наблюдений построить статистическую модель зависимости выходной функции от этих факторов, которая в известной степени будет решать задачу полу­

53

чения значений этих показателей в любой период времени. Таким образом, на основании статистической модели, используя методы математической статистики, отбираем факторы, наиболее влияю­ щие на выходную функцию, и строим математическую модель зави­ симости выходной функции от уже отобранных факторов.

Определение зависимости выходной функции от набора влияю­ щих факторов возможно при использовании метода наименьших квадратов, сущность которого заключается в следующем.

Пусть имеются результаты N независимых наблюдений,

в которых каждому набору значений М факторов xt (i = 1, М) соответствует значение функции У. Из соображений, отражаю­ щих специфику экономического развития исследуемой отрасли, выбираем зависимость

У= Ф(*Ъ х2, ..., хм),

содержащую ряд неизвестных параметров аъ а2, .... ап. Требуется

наилучшим образом отображала полученную путем статистических наблюдений зависимость.

Метод наименьших квадратов основан на требовании свести к минимуму квадраты отклонений полученных статистических

функции в /-м наблюдении.

Величины аи а2, ..., ап, при которых величина S достигает мини­

Основным недостатком метода наименьших квадратов является трудность решения задачи отбора наиболее значимых факторов. Так как известно, что на величину У оказывают совокупное влия­

= ф (хг, х2, ..., хм), но и оценка степени значимости каждого из факторов в отдельности (отбор наиболее влияющих факторов).

Другим возможным способом определения зависимости выход­ ных функций от отобранных факторов, также часто встречающимся в практике статистического исследования экономических показа­ телей, является метод множественной корреляции, сущность ко­

54

нет совместного нормального распределения этих величин. Если совместное распределение не является нормальным, то из равен­ ства Гуч = 0 ещё не следует стохастической независимости перемен­

ных Y и xt. Поскольку коэффициент гУх{ является линейным коэф­ фициентом корреляции, это означает, что при rYxi = 0 отсутствует

линейная корреляционная связь, но при этом может существовать нелинейная корреляционная связь. При наличии же нелинейной корреляционной связи гУщ даёт лишь ориентировочное представле­

ние о её тесноте. В то же время гУч позволяет характеризовать сте­

пень приближения корреляционной зависимости к функциональ­ ной, прямолинейной зависимости. Кроме того, за счет влияния не­ учтенных факторов может возникнуть ложная корреляция и даже при | гп ^. | = 1 нельзя окончательно считать, что xt и Xj — зависимые

величины. Поэтому при последующем логико-априорном анализе особое внимание следует обратить на те факторы, для которых rxl%j

близки к 1, а Гуч — к 0. Отбрасывать эти факторы можно лишь после

тщательного анализа их связей.

Далее необходимо исследовать метод отбора значимых факторов (существенно влияющих на выходную функцию) и построения ста­ тистической модели зависимости от них в специфических условиях прогнозирования экономического развития отрасли, учитывая, что помимо переменных величин заданных факторов на значение вы­ ходной функции оказывает влияние большое количество не поддаю­ щихся учету случайных факторов. Это случайное влияние необхо­ димо фиксировать в математической модели в качестве некоторой нормально распределенной случайной величины со средним b и дисперсией а2. "Нормальность распределения обосновывается зако­ ном больших чисел. Учет случайной компоненты в математической модели определяется самой природой исследуемых экономических

случайная величина со средним b и дисперсией о2. Значение b можно без ограничения общности выражения (3.4.1) прибавить к величине коэффициента а0 и тем самым свести пара­ метры А к (0, о2). Среднее значение Д будем считать равным нулю.

57

Пусть имеется таблица наблюдений значений исследуемой вы­ ходной функции:

(3.4.3)

y ( N ) x ( N ) ' Д.(М )> _ _ _ ^ X ( N )

Пусть число значений исследуемой выходной функции будет больше числа факторов, влияющих на неё, т. е. N > п. Индекс снизу означает номер параметра, а индекс сверху — номер года исследуемого периода. Необходимо получить приближение мате­

матического описания зависимости У от факторов xt (i = 1, п). Коэффициенты а0, а;, а,-у и значение а2неизвестны и подлежат оценке.

Запишем значения Y в следующем виде:

пп п

У(1) = а0 - 1+ 2 о м 1 +2 2 aijx‘i"x'i' + Лъ

пп п

у<ло = flo • 1 + 2 а,л:\N) + 2 2 al]Xf ^ + Л„.

Обозначим:

Тогда предыдущие уравнения примут вид:

П2

У(1) = а0• 1 + 2 aiX? + 2 Ькгк'" + дь

58

Значения случайной величины А могут быть обозначены Димер­ ным вектором А.

Окончательно получим записанное в векторной форме выраже­ ние:

п*+ п

Получим

где уг представляет собой A-мерный вектор, полученный вычитанием из всех значений координат вектора уг величины уг, т. е.

7г = Уг —УгЛ

(Т, у/) = 0 для всех

59