книги из ГПНТБ / Пивоваров, С. Э. Моделирование процессов прогнозирования в приборостроении

Обозначим:

м

м

Тогда

Aj (t) = A(l -f- 1А1г.

Так как исследуется оптимальный для i = t0 базис, то А Э * О, (/ = 1, N), т. е. система неравенств

совместна. Для всех А/, < 0 неравенства системы могут быть запи­ саны в виде

адля всех Ду, > 0 — в виде

Обозначим:

(5.2.5)

ется оптимальным только для тех значений t, которые удовлет­ воряют системе неравенств (5.2.4). Множество оптимальности дан­ ного базиса состоит из всех значений t, для которых справедливо

условие / «s t ^ /.

Таким образом, числа / и 1 полностью характеризуют множество

оптимальности Е (t, t) данного базиса:

а) если t_> то Е (t, t) — пустое множество;

100

Исследуем далее задачу (5.2.1) — (5.2.3) для значений t > t .

При этом будем считать 7 •< оо, т. е. среди чисел А/, имеются отри­ цательные. Пусть k один из индексов, определяемых соотношением

Новый базис является оптимальным по крайней мере для t = t. Отсюда по формулам, связывающим параметры двух последователь­ ных итераций метода последовательного улучшения плана,

любое i < 7 не удовлетворяет системе (5.2.7).

101

При переходе к новому базису параметры А/, и А/, преобразуются по формулам

а; , = Д / . - ^ а*.

Вектор Аг принадлежит базису, поэтому

Для всех значений /, удовлетворяющих неравенству (5.2.7), в част­

ничена на множестве (5.2.2), (5.2.3) для всех t~>t\

б) если некоторые из чисел xik положительны, то, введя в имею­ щийся базис вектор A k по обычным правилам метода последователь­ ного улучшения плана, приходим к новому базису, левый конец f

множества оптимальности которого 1.

Процесс исследования параметрической задачи при t > t сво­ дится к переходам от базиса к базису ее соседних планов, причем правая граница множества оптимальности предыдущего базиса является левой границей для множества оптимальности последую­ щего базиса. Процесс обрывается отысканием луча, являющегося либо множеством оптимальности последнего базиса, либо множест­ вом, в каждой внутренней точке которого задача неразрешима. При выборе вектора, исключаемого из базиса, по методу последователь­ ного улучшения плана, дающему полную гарантию от зацик­ ливания, движение будет производиться по различным базисам задачи.

102

то дальнейшие исследования проводятся в соответствии с рекоменда­ циями случая 1°, приведенными выше. Если же этот процесс снова оканчивается выявлением условий неразрешимости задачи:

д ; (h)= а ', + ^ д ;, < о, xu^ о, о = тгм), (5 .2 . 13)

то дальнейший анализ зависит от знака Д^. В случае Д(2 < 0 усло­

чено ранее, параметрическая задача неразрешима слева от tlt можно сделать вывод о неразрешимости исследуемой задачи для всех зна­

исследование проводится по тем же правилам, которые описаны выше, с той разницей, что tx заменяется на t2. Через конечное число шагов будут либо обнаружены условия неразрешимости задачи (5.2.1) — (5.2.3) на всей прямой /, либо получен базис, оптимальный для некоторого значения параметра t (условия случая 1°).

Итак, описанный метод в любом случае позволяет полностью исследовать параметрическую задачу, затратив на это конечное число шагов.

2-я частная задача линейного параметрического программирова­ ния. Для каждого (, принадлежащего некоторому множеству дей­ ствительной оси, требуется вычислить вектор X, на котором дости­

Решение задачи (5.2.14) — (5.2.16) основывается на методе уточнения оценок (метод будет рассмотрен ниже): вычислительный процесс состоит в движении по базисам псевдопланов задачи (5.2.14) — (5.2.16). Базисом псевдоплана или псевдобазисом назы­ вается система М линейно независимых векторов условий, относи­ тельно которой все векторы условий задачи имеют неотрицательные оценки. Если при некотором значении параметра / коэффициенты разложения вектора ограничений задачи (5.2.14) — (5.2.16) по век-

104

торам псевдобазиса неотрицательны, то этот псевдобазис является оптимальным базисом задачи для данного t. По аналогии с предыду­ щим исследованием назовем полную совокупность значений парамет­ ра t, при которых данный псевдобазис оптимален, множеством опти­ мальности псевдобазиса.

Исследуем задачу (5.2.14) — (5.2.16) в соответствии с методом уточнения оценок для t = t0. В результате будет построен оптималь­ ный базис для t = t0(случай 1°) или выявится несовместность условий (5.2.15) — (5.2.16) при t = t0 (случай 2°). Случай неразрешимости задачи из-за неограниченности её линейной формы не представляет интереса. В этом случае задача окажется неразрешимой при всех t, так как условия двойственной задачи не зависят от t и, следова­ тельно, несовместны для всех /.

совместна.

Оценки Aj векторов А, не зависят от t. Поэтому необходимое и достаточное условие оптимальности псевдобазиса — выполнение - неравенств (5.2.18). Исследуем систему (5.2.18). Соотношение с но­ мером s выполняется, если

Обозначим:

(5.2.19)

10 5

Из того, что системы неравенств (5.2.19) разрешимы, следует, что t t. Рассматриваемый псевдобазис является оптимальным

только для тех значений t, которые удовлетворяют системе нера­ венств (5.2.18). Следовательно, множество оптимальности этого псевдобазиса состоит из множества конечных значений t, подчи­ няющихся условию

Числа t и /, вычисляемые по формулам (5.2.19), полностью опре­

деляют множество оптимальности Е (/, Т) данного базиса, если выпол­ няются условия, описанные выше.

Исследуем теперь задачу (5.2.14) — (5.2.16) правее точки t — 1 (рассмотрение задачидля/< / проводится аналогично). Естественно,

что это имеет смысл только в том случае, если / <С °о, т. е. если среди

X (/) могут стать отрицательными. Пусть xr0(t) — первая из компо­

симо от величины параметра t) продолжает оставаться псевдопланом задачи.

Преобразуем псевдоплан X (/). В соответствии с методом уточне­ ния оценок исключим из базиса вектор А1г и введем вместо него век­

Причем предположим, что существует по крайней мере один вектор

ДО

Оценки Д/ векторов условий вычисляются по аналогичным фор­ мулам:

Докажем, что новый псевдобазис оптимален при t = t, может быть оптимальным при t > 1, но не может быть оптимальным при

планом задачи только при условии:

xrk

Но x'rd < 0, Xrk < 0. Следовательно, X'(t) может быть планом задачи только при

по её соседним псевдобазисам. При этом правый конец множества оптимальности предыдущего псевдобазиса совпадает с левым кон­ цом множества оптимальности последующего псевдобазиса. Процесс завершается построением луча, являющегося либо множеством оптимальности последнего базиса, либо множеством, в каждой внут­ ренней точке которого условия задачи несовместны.

Можно показать, что если при определении индекса k вектора, подлежащего включению в базис, использовать правило, гаранти­ рующее от зацикливания в методе уточнения оценок, то движение будет происходить по различным псевдобазисам.

Рассуждения аналогичны приведенным для случая, когда пара­ метр входит в линейную форму задачи. Поэтому возврат к прой­ денному псевдобазису исключен, и, следовательно, рассматривае­

107

няются для всех значений t\ задача (5.2.14) — (5.2.16) неразрешима

задачу (5.2.14) — (5.2.16) на луче (tlt оо). Применим к исследованию параметрической задачи при t = tx метод уточнения оценок, начиная этот процесс с имеющегося псевдобазиса. Через конечное число ите­

Следовательно, неположительность Х^ означает неразрешимость задачи (5.2.14) — (5.2.16) на всей оси t, а положительность этого параметра указывает на неразрешимость задачи слева отточки t2> tv В последнем случае исследование параметрической задачи про­ должается в соответствии с уже изложенными правилами, но с той лишь разницей, что tx заменяется на t2. Через конечное число шагов приходим к случаю 1° или обнаруживаем несовместность условий (5.2.14) — (5.2.16) для всех значений параметра t.

Общая задача линейного параметрического программирования.

В ней коэффициенты линейной формы и составляющие векторов условий и векторов ограничений линейно зависят от одного пара­ метра.

108

при условиях:

задач, также сводится к покрытию оси t конечным набором множеств (множеств оптимальности или множеств неразрешимости для фикси­ рованных систем векторов условий). Однако в данном случае мно­ жества, покрывающие ось t, необязательно будут связанными, что препятствует монотонному движению вдоль оси t и усложняет ана­ лиз. Кроме того, система векторов условий задачи, составляющая ее оптимальный базис в окрестности (t0 — е, t0), необязательно должна быть базисом или псевдобазисом задачи правее t0. Поэтому непосред­ ственное использование метода улучшения плана или уточнения оценок здесь затруднено. Наконец, величины Лу и xtj в большинстве случаев представляют собой нелинейные функции параметра t. Отмеченные обстоятельства (особенно первое и третье) делают анализ общей задачи (5.2.26) — (5.2.28) чрезвычайно громоздким. В этой связи практический интерес представляет рассмотрение ряда частных случаев задачи (5.2.26) — (5.2.28), специфика которых приводит к относительно простым вычислительным схемам. Ниже рассмот­ рим два таких случая.

Предположим, что а'у = 0 для всех i и /, т. е. параметр t входит лишь в коэффициенты линейной формы задачи (5.2.26) — (5.2.28)

естественное обобщение двух частных задач, исследованных выше. Будем называть особой любую линейно независимую систему, содержащую М векторов условий задачи (5.2.29) — (5.2.31). Сово­ купность значений параметра (, при которых данная основа является базисом решения задачи (5.2.29) — (5.2.31), называется множеством

оптимальности основы.

Подчеркнем, что в отличие от этих частных задач в рассматри­ ваемой фиксированная основа для некоторых значений t может

109