книги из ГПНТБ / Пивоваров, С. Э. Моделирование процессов прогнозирования в приборостроении
.pdf
вычислить следующий коэффициент, но и пересчитать все предыду щие, так как изменится система уравнений, из которой они опре деляются.
В способе Чебышева [23] аппроксимирующий многочлен нахо дится в виде суммы многочленов повышающихся степеней, причем добавление новых слагаемых не изменяет коэффициентов при преды дущих. При этом способе аппроксимирующий многочлен получается в обобщенном виде, т. е. в виде комбинации многочленов, которые выбираются специальным образом. Искомый многочлен имеет вид:
х = а0Фо (К) + |
attPi (t'i) + |
• • • + |
атcpm (t'i). |
(4.5.9) |
||
Многочлены <p0 (t'i), ..., |
q>m |
(t!) |
подбираются так, |
чтобы выпол |
||
нялись условия: |
|
|
|
|
|
|
2 « P i ( * , ' ) < P * ( t f ) |
= |
0 , |
(1 = |
6); |
|
|
1 = 0 |
|
|
|
|
|
(4.5.10) |
|
|
|
|
|
|
|
£ [< Р < т 2¥=0, |
|
(l = |
б Г т ). |
|
||
( = 0 |
|
|
|
|
|
|
Такие многочлены называются ортогональными многочленами Чебышева, и для них справедливы следующие формулы:
Фо (^<) — 1>
N
|
Ф1 (^) = |
U — д/ |_ 1 2 |
^ ’ |
|
|
||
|
|
|
|
/—0 |
|
|
(4.5.11) |
где |
ф г : 1 ( ( / ' ) = |
“Ь P r + l ) Ф /- |
Ч Л |
“Ь Уг+ltyr (t'i), |
|||
N |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
о |
2*/[<M'/)P |
_ |
|
2 t f t r - i V n v r W ) |
|||
/= 0 |
|
|
|
/= 0 |
|
||
Р ',+ 1 --------N |
|
|
’ I Уг+ 1 — |
дг |
|
||
|
2 |
[<М';)]2 |
|
|
2 |
(Ф м('0 Р |
|
|
1=0 |
|
|
|
|
;= о |
|
Формулы (4.5.8) (4.5.11) дают аналитическую зависимость рассмат риваемого фактора от времени. Из этих формул видно, что при задан ных точках to, t'i, .... t’s могут быть последовательно построены ортогональные многочлены Чебышева.
В данном случае по методу наименьших квадратов необходимо искать минимум функции:
S m = % К ф о (* ,') + . . . + Я т Ф т (t'i) ~ / ( * < ) ? .
<■= 0
90
Продифференцировав это выражение по а0, .... ат, придем к системе, аналогичной системе (4.5.8):
а о 2 |
[Фо ( t i )]2 + |
a i 2 Фо { |
U ) Ф1 { U ) + • • • + |
|
|
( = 0 |
(=0 |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ат 2 ФоЮФи(^)= |
2 |
^Фо(^); |
|
||
|
/—О |
|
/—О |
|
|
ао 2 |
Фо (^ ) Фх |
) + й х 21 [Ф1 (ti)]2+ • ••+ |
|
||
i = |
0 |
i = 0 |
|
|
|
|
N |
|
N |
|
(4.5.12) |
+ |
й га Ц ф 1 (t'i) фт (К) = |
2 |
Х&1 (till |
||
N |
|
|
N |
|
|
а о 2 |
Фо( t ' i ) фт ( t ' i ) + #i 2 |
Фх( t ' i ) Фm (^/) + |
• • • + |
||
i = 0 |
|
|
i = о |
|
|
|
N |
|
|
N |
|
|
+ a m 2 [фт ( t i’ ) ] 2 = |
2 */Фт ( t ' i ) - |
|
||
|
i= 0 |
|
|
/=0 |
|
Исходя из этой системы и из формул (4. 5.10), можно написать |
|||||
выражения для |
коэффициентов |
|
|
||
|
N |
|
|
|
|
|
I ] |
|
Ч Р| ( t i’ ) |
____ |
|
- |
а, = ‘-=2---------- , |
(1=0, т). |
(4.5.13) |
||
|
2 |
0 |
[я>/(//)]* |
|
|
|
1= |
|
|
|
|
Таким образом, если построено т-е приближение, т. е. найдены |
|||||
многочлены tp0, |
..., фт и коэффициенты а0, аг, .... ат, и если их точ |
||||
ность недостаточна, то нужно найти следующий член ат+1ц>т+1 (t\). Для этого по формулам (4.5.11) строим многочлен Фт+1(^') и по фор муле (4.5.13) вычисляем коэффициент пт+1.
Рассмотрим далее вычислительный алгоритм описанного метода. Алгоритм построения полиномов Чебышева содержит в себе автома тическое повышение степени аппроксимирующего полинома на еди ницу в том случае, если достигнутая степень точности недостаточна, а именно: не выполняется условие:
N
2 К ф о ( t ' i ) + • • • + ОтФт ( t ' i ) - f ( t i ) f = s m < e,
1=0
где e — заранее заданное число.
Минимальная степень аппроксимирующего полинома, с которой начинаются исследования, т = 1 (если по этому поводу не имеется каких-либо дополнительных сведений).
91
Рис. 6. Шаги 1 —6 алго ритма построения аппро ксимирующего полинома
Рис. 7. Шаги 7 — 14 алгоритма построения аппроксимирующего полинома
.93
Рис. 8. Шаги 15— 19 алгоритма построения аппроксимирующего полинома
Алгоритм построения аппроксимирующего полинома и его блоксхема представлены на рис. 6—9.
Ш а г 1. Присвоение числу N (количество узлов) значения пр. Ш а г 2. Присвоение хгр значения хг (г = 1, п).
Рис. 9 |
Шаги 20 —25 |
алгоритма построения аппроксимирую |
||
|
|
щего полинома |
||
Ш а г 3. |
Обозначение при г — 1 |
/6 через а. |
||
Ш а г 4, |
а. Вычисление t\. |
|
____ |
|
Ш а г 5. |
Обозначение |
при |
/ = |
0, п Р, через Xj. |
Ш а г 6. |
Последовательное вычисление многочленов Р/, |
|||
(k — 1, и; i = и, к — 1) |
(при |
каждом возвращении многочлен |
||
Р/....... *-i обозначается через Рг).
Ша г 7. Обозначение xt через Р*-х.
95
Ша г 8 . Проверка условия i < л р п переход на метку а в случае выполнения.
Ша г 9. Проверка условия г ■< п и переход на метку а в случае
выполнения.
Ш а г 10. Вычисление полиномов Чебышева нулевой степени
в точках |
t'i (i = 0,N). |
|
Ш а г |
11. |
Вычисление полиномов Чебышева 1-й степени в точ |
ках t’i (i = 0, N). |
||
Ш а г |
12. |
Вычисление коэффициента а0. |
Ш а г |
13. |
Вычисление коэффициента ах. |
Ша г 14. а + 1. Вычисление Р,.+1.
Ша г 15. Вычисление уг+1.
Ш а г 16. Вычисление полинома Чебышева (г + 1)-й степени
в точках t'i (i = 0, N). |
|
|
|
|
|
||
Ш а г |
17. |
Вычисление коэффициента аг+1. |
переход на метку |
||||
Ш а г |
18. |
Проверка условия г + |
1 |
< |
т и |
||
а + 1 в случае выполнения. |
|
|
|
|
|
||
Ш а г |
19. |
Вычисление S m. |
е и переход на метку а + 1 |
||||
Ш а г 20. |
Проверка условия S m < |
||||||
в случае |
выполнения. |
|
|
|
|
|
|
Ш а г |
21. |
Вычисление х \ к, (к — 0, |
^-значений |
построенного |
|||
аппроксимирующего полинома в точках |
|
(к = |
0, |
N). |
|||
Ш а г 22. |
Вычисление ег = | л:/ — х \г |, |
(t = |
0, N). |
||||
Ша г 23. Вычисление погрешности аппроксимации е.
Ша г 24. Вывод массива a, .vl.
Ша г 25. Вывод е.
Таким образом построен аналитический вид зависимости коэф фициента экономико-математической модели от времени в виде
|
|
f ( Q = а 0Фо (^ к ) + • • • + « т ф т (* к ) , |
где |
— полином Чебышева t-й степени, построенный по системе |
|
|
точек |
(к = 0, N). |
|
Изложенная выше методика в равной мере приемлема и для сло |
|
жившихся подотраслей приборостроительной промышленности, обладающих достаточно большим статистическим материалом, однако для них нужна только вторая часть приведенного алгоритма — ап проксимация, так как нет необходимости в построении дополни тельных узловых точек.
Таким образом, данный математический аппарат позволяет строить зависимости различных факторов, определяющих основные показатели развития отрасли, от времени и получать по этим зави симостям значения факторов в любые моменты прогнозируемого периода. Если известны значения факторов, то по уравнениям, полу ченным в п. 3.4, можно определить основные показатели развития отрасли в любые моменты прогнозируемого периода.
Г л а в а 5
РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОГНОЗА
РАЗВИТИЯ ОТРАСЛИ
5.1. Вывод математической модели выбора оптимального варианта прогноза
развития отрасли
Задачу выбора (определения) оптимального варианта прогноза развития отрасли будем формулировать с помощью модели, описан ной в п. 4.2, несколько упростив ее и приняв все коэффициенты мо дели за функции времени. Причем время характеризует весь период прогнозирования. Таким образом модель примет следующий вид: требуется найти минимум функционала
т р т п ft
2 ?и„т. г (/) X? + |
2 I ] 2 Z j r s X j r s (0 (5.1.1) |
г= 1 q—\ |
г = 1 s = 1 / = 1 |
при условиях:
i j |
( 0 - i ] |
$ ( * ) * ? < 0; |
(5Л .2) |
S = 1 |
(7 = |
1 |
|
т |
|
|
(5.1.3) |
Z |
X jrs(t) = PJS(ty, |
||
г = |
1 |
|
|
I ; 2 |
bJrl(f)XJr(t)^Q,(f); |
(5.1.4) |
|
1/—1
тр
2 |
2 |
(/) X? < |
Ц (0 + Q* {*); |
(5.1.5) |
г = 1 ? = 1 |
|
|
|
|
2 |
2 ^ |
(0 X? ^ |
(0 + Qx (0; |
(5.1.6) |
Г = 1 |
( 7 = 1 |
|
|
|
m |
р |
|
|
|
2 |
21 tf(0 * !< L (0 + Q (О; |
(5.1.7) |
||
%г = 1 <7 = 1
|
ХуЛО, |
Ху„ (0 . |
Х чг ^ |
0. |
(5.1.8) |
Обозначим |
переменные |
модели |
(5.1.1) —(5.1.8) соответственно |
||
X qr, (л = 1, т; |
9 = 1 ,р)\ Xj,s, (/'= 1 , h\ |
г = 1 , т\ |
s = 1, п); Ху,, |
||
4 С, Э, Пивоваров |
97 |
Обозначим коэффициенты модели (5.1.1) — (5.1.8) соответственно
Обозначим |
индексы |
hm + hn + I g + Л + 1, |
rnp -f- hmn + |
+ hm, mp + |
hmn через |
M, N и N1 соответственно. |
Тогда задачу |
(5.1.1) — (5.1.8) сформулируем следующим образом: требуется обра тить в максимум линейную форму
N |
|
|
|
|
Z C j ( t ) X j ( t ) |
|
(5.1.9) |
||
при „условиях: |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
£ а/у (/)*,(/) |
МО. |
(« = |
1, 2, .... М); |
(5.1.10) |
Xy(/)2 s 0, |
(/= 1 , |
2, |
.... N). |
(5.1.11) |
Предположив, что фактор времени выступает как параметр коэф фициентов линейной формы, составляющих векторов условий и век торов ограничений и линейно зависит от них, задачу (5.1.9) — (5.1.11) сформулируем как общую задачу линейного параметриче ского программирования.
Требуется обратить в максимум линейную форму
|
N |
|
|
|
Ц (C'i + tel) Xj |
(5.1.12) |
|
при условиях: |
|
|
|
|
N |
(i = 1, М); |
|
|
^ ( a 'u + t a V X j ^ b i + tb!. |
(5.1.13) |
|
<• |
X j ^ O , (/ = 1, |
N). |
(5.1.14j |
98
5.2. Анализ методов решения задачи оптимизации
Прежде, чем начать анализировать метод решения общей задачи линейного параметрического программирования, сформулирован ной в п. 5.1, разберем ряд более простых задач параметрического программирования [12], [67, 68], которые будут способствовать вы воду алгоритма общей задачи.
1-я частная задача линейного параметрического программиро
вания. Требуется для каждого |
t из некоторого множества опре |
||||||
делить вектор Xt, обращающий в максимум линейную форму: |
|||||||
L = |
2 |
q x j = |
2 |
(С/ + tcj) Xj |
(5.2.1) |
||
|
/=1 |
/=1 |
|
|
|
||
при условиях: |
|
|
|
|
|
___ |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
a |
ijXj = bi, |
0 |
= |
1, М); |
(5.2.2) |
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X j ^ O , |
(j = |
T7JV). |
(5.2.3). |
|||
Набор переменных |
X j (j = |
1, |
N), |
характеризующих |
решение |
||
задачи (5.2.1) — (5.2.3), |
будем называть планом. Базис |
опорного |
|||||
плана данной задачи является оптимальным для некоторого t, если оценки относительно этого базиса всех векторов условий, вычислен ные при данном t, неотрицательны. Полная совокупность значений параметра t, при которых базис оптимален, называется множеством оптимальности этого базиса.
Проанализируем изменение решения задачи (5.2.1) — (5.2.3) с изменением параметра t. Пользуясь любым алгоритмом метода последовательного улучшения плана (метод подробно будет описан ниже), решим задачу для некоторого t = t0. После анализа конеч ного числа шагов получим оптимальный план задачи (случай 1°) или убедимся в неограниченности линейной формы (5.2.1) на множестве планов задачи (случай 2°). Случай несовместности условий (5.2.2) — (5 .2 .3) не представляет интереса, так как при этом задача для любого t не имеет решения. Рассмотрим первые два случая отдельно.
С л у ч а й 1°. Вычислим оценки Дj (t) векторов Aj относительно найденного оптимального (для t = t0) базиса A h, A iit ..., A iM задачи
м
Д ; « ) = Е С‘ ( 0 * у - С у (* ) =
S = 1 |
М |
М |
|
= X c i X i . - q + t |
Z c l x i j - Q |
s = l |
s= 1 |
4* |
99 |