книги из ГПНТБ / Основы динамики сооружений учеб. пособие

знаку, потому что абсциссы х для левого и правого пролетов балки отсчитываются в противоположных направлениях. Первые и вто­

C,2 sh kl — CH sin kl — C22 sh kl -f C24 sin kl = 0.

Получилась система уравнений без свободных членов. Поэтому условием существования ненулевых решений для постоянных С будет обращение в нуль определителя:

Раскрывая полученный определитель четвертого порядка, при­ ходим к следующему частотному уравнению:

sin kl(tgkl — th kl) — 0,

из которого видно, что рассматриваемая балка может иметь два вида колебаний.

Первый вид колебаний соответствует условию sin&/ = 0, совпа­ дающему с условием для простой балки. Следовательно, первая группа стоячих волн при колебаниях двухпролетной балки будет такой же, как и у простой балки.

72

жестко защемленным концом, а другим шарнирно опертым. Сле­ довательно, вторая группа стоячих волн при колебаниях двухпро­ летной балки будет такая же, как и для однопролетной балки,, один конец которой защемлен, а другой шарнирно оперт.

п =1

Рис. 34

Установленные два вида колебаний можно было предвидеть. Любые колебания рассматриваемой симметричной двухпролетной балки можно представить складывающимися из симметричных (когда сечение балки на средней опоре не поворачивается) и обратно симметричных (когда кривая изгиба одного пролета обратно симметрична кривой изгиба второго пролета и, следова­ тельно, опорный момент на средней опоре равен нулю).

Таким образом, частоты свободных колебаний двухпролетной симметричной неразрезной балки будут равны:

ты о)2, С04 и сое — уравнению igkl = \\\kl.

Формы стоячих волн, соответствующих первому и второму виду колебаний при n —1, изображены на рис. 34.

§ 17. Вынужденные колебания балок при действии вибрационной нагрузки

1. Решение в рядах

Пусть на балку, рассмотренную в § 13, кроме сплошной на­ грузки q{x), обусловленной действием веса конструкций, передает­ ся вибрационная нагрузка

р (X, t) — р (X) sin pt,

где р(х) — закон изменения нагрузки вдоль оси балки; р — круговая частота возмущающей силы.

73:

Будем полагать, что законом р(х) может быть описана любая нагрузка, в том числе и сосредоточенная, передающаяся на балку от установленного на ней оборудования.

Очевидно, что дифференциальное уравнение вынужденных

Общее решение этого уравнения должно состоять из общего решения однородного уравнения, описывающего свободные коле­ бания, и частного решения неоднородного уравнения. Имея в виду, что свободные колебания быстро затухают, будем далее изучать установившиеся колебания.

Вибрационная нагрузка р(х, t) вызовет перемещения по всем главным формам. Поэтому решение неоднородного уравнения будем разыскивать в виде суммы перемещений, возникающих по

Подставив это значение в предыдущее уравнение и произведя некоторые преобразования, получим

\ А пгѣ (х) Х п (х) (а>1— р 2) = р (х).

П - * 1

74

Умножим далее правую и левую части полученного уравнения на функцию Х т(х), описывающую одну из форм колебаний, и про­ интегрируем по всей длине стержня обе части:

В левой части этого равенства в силу ортогональности функ­ ций Х п (X) и Х т (х) все слагаемые, кроме слагаемого, у кото­ рого т=п, обратятся в нуль, и в результате равенство будет иметь вид

J т (x) Х \ (х) dx

Пример 6 . Дана простая балка пролетом / с постоянной жесткостью Е] и равномерно распределенной массой т. В точке балки с абсциссой х= а действует сосредоточенная возмущающая сила (рис. 35) P(t) = Р sin р(. Определить урав­ нение упругой линии балки в момент максимального отклонения от положения

75

P (t ) * P s i n p t

Имея в виду формулу (4.15) для частоты свободных колебаний «-ой глав­ ной формы (см. § 16), можно написать

2 Л4я4 EI

Подставим это значение в предыдущее выражение; тогда, после преобразо­ ваний, получим

при четных значениях п обращается в нуль, а при нечетных равна единице. Из курса сопротивления материалов известно, что при статическом действии сосре-

76

доточенной силы Р, приложенной к середине балки, прогиб и изгибающий момент под силой будут равны:

Поэтому формулы для определения максимальных прогиба и изгибающего момента при действии вибрационной нагрузки будут иметь вид

(В)

/1 = 1. 3, 5

Полученные ряды достаточно быстро сходятся.

Если при определении максимального прогиба взять лишь первый член ряда, то ошибка при этом будет менее 0,5%. Для вычисления максимального изгибаю­ щего момента с точностью до 2% следует взять четыре члена ряда. Произведем в соответствии с этими рекомендациями вычисление ушах и М тах. Примем отно­ шение р/<Ві = 3/4. В этом случае

от частоты первого тона колебаний, то в простой балке динамические коэффи­

Заметим, что если частота возмущающей силы будет настолько мала по сравнению с основной низшей частотой собственных колебаний балки, что можно

77

пренебречь отношением ргіа?п по сравнению с единицей, то формулы для макси­ мального прогиба и максимального изгибающего момента будут иметь вид

8 у* 1

•/Иглах = •'Ист я2 2-і Ф ‘

я=>1, 3, 5

Числовые ряды в этих выражениях имеют конечные суммы:

оооо

о медленном статическом нарастании возмущающей силы, то максимальные про­ гиб и изгибающий момент будут равны их статическим значениям.

2. Решение методом начальных параметров

Следует отметить, что решение (4.19), включающее в себя бесконечный ряд, все же неудобно, несмотря на то, что последний быстро сходится. Кроме того, сходимость рядов в выражениях для изгибающего момента и поперечной силы, которые получаются путем двойного и тройного дифференцирования выражения (4.19) для прогиба у, резко ухудшается (особенно для поперечной силы). Поэтому в случае действия вибрационной нагрузки для балок постоянной жесткости, несущих равномерно распределенную массу, зачастую используют другую форму решения уравнения, которая получена в результате применения метода начальных параметров и которая позволяет получить решение в конечном виде. Рассмот­ рим эту форму решения.

Для случая ЕІ = const и m(x) = m = const уравнение (4.17) имеет

Частное решение этого уравнения, соответствующее установив­ шимся колебаниям, будем искать в следующей форме:

После подстановки в дифференциальное уравнение и сокраще­ ния на sin pt получим

Разделим все члены на ЕІ и введем обозначение

78

Тогда

Будем изучать случай, когда на балку действует сосредоточен­ ная возмущающая сила. Этот случай, как правило, и имеет место в действительности. Кроме того, если получено решение для сосре­ доточенной силы, то решение для распределенной нагрузки можно получить путем интегрирования, представляя распределенную на­ грузку р(х) в виде суммы бесконечного множества сосредоточен­ ных сил p{x)dx. Поэтому далее исследуем участок балки 0 < х < а , где а — абсцисса точки приложения сосредоточенно» возмущаю­ щей силы Р (t) = Р sin pt.

Итак, рассмотрим сначала решение однородного уравнения

в § 14. Поэтому можно написать

X (х) — Су ch sx + С2sh sx -f Свcos sx + С4sin sx.

Очевидно, что решением уравнения (4.22) будет также являться любая линейная комбинация функций shsx, chsx, sinsx, cos sx. Имея это в виду, представим решение уравнения (4.22) в следую­ щей форме:

где Ау, А2, Л3, Л4 — произвольные постоянные;

Ах, Вх, Сх, Dx — функции влияния*), определяемые по вы­ ражениям

Отметим следующие очевидные свойства функций влияния:

) Для функций Ax, Bx, Cx, D x составлены таблицы.

79