книги из ГПНТБ / Основы динамики сооружений учеб. пособие

Общее решение дифференциального уравнения (4.2) будет являться суммой всевозможных частных решений. Поэтому в со­

второго порядка и уравнение (4.5) четвертого порядка. При их решении появляются шесть постоянных интегрирования. Исполь­

60

видах колебаний равно 1, 2, 3 ,... (см. рис. 21). Обычно расчетными являются колебания с малым числом полуволн. Колебания с одной полуволной называются основными. Наименьшая, основная, часто­ та колебаний входит во все динамические расчеты.

Наложением стоячих волн колебаний с тем или иным числом полуволн можно представить любой вид свободных колебаний, вызванных какими угодно начальными условиями. Действительный вид колебаний балки будет всецело определяться начальными условиями: формой изгиба балки и законом распределения ско­ ростей в начальный момент.

далее, известен закон распределения скоростей балки по ее длине в мгновение 1 = 0:

Ф{х).

После того как будут найдены Dn и Ln, можно из (г) найти А п

и Тя-

Задача определения постоянных Dn и Ьп в уравнениях (в) сводится к разложению произвольно заданных функций F(x), Ф(х) в тригонометрические ряды Фурье.

Приведем краткий вывод формул для коэффициентов Dn и Ln.

61

Использовав свойство ортогональности главных форм колеба­ ний (4.14) — см. § 15 — и произведя вычисления для случая п — т,. будем иметь

о

откуда

I

Dn = j ^ F ( x ) s i n ^ d x .

о

Аналогично можно получить, что

I

т 2 Г . , , . ш х , Ln = -j- \ Ф (X) sm —j— dx.

о

Эти величины, называемые коэффициентами Фурье, решают задачу вычисления коэффициентов разложения (в). Зная их, мож­ но из формул (г) найти

равны нулю, то функция Ф(х) обратится в нуль, а следовательно,

Допустим, что в начальный момент балке задано отклонение,

62

Таким образом, при совпадении формы начального отклонения с формой одной из стоячих волн свободных колебаний и при отсутствии начальных скоростей колебания балки будут однотон­ ными, а частота их будет отвечать этой стоячей волне.

2. Колебания балки с защемленными концами

Рассмотрим свободные колебания однопролетной балки про­ летом I с жестко защемленными концами и равномерно распре­ деленной массой интенсивности т (рис. 25).

11111111111 И 11 И 11ИЧІ II 1II ТП 11 1

■е

У

63

при x = l

С, ch kl -f- C2sh kl + Cs cos kl -j- C4 sin kl — 0;

C, sh kl + C2ch kl — C3 sin kl + C4 cos kl = 0.

Так как C3 = —C\ и C4 = —C2, то

Cj (ch — cos kl) + C2(sh kl — sin kl) = 0;

C, (sh kl + sin kl) + C2 (ch kl — cos kl) — 0.

Эти уравнения без свободных членов. Они будут удовлетворяться, если все постоянные интегрирования обратятся в нуль. Но тогда по формуле (4.11) найдем, что и Х(х)=0. Однако это будет озна­ чать отсутствие колебаний.

Раскрыв скобки, будем иметь

ch2 kl — 2 ch kl cos kl -f cos2 kl — sh2 kl + sin2 kl = 0.

Известно, что

cos2 kl + sin2 k l= 1; ch2k l — sh2& /= 1.

64

Это трансцендентное уравнение можно решить графически или

По этим данным на рис. 26 построены графики функций cos kl

Составленной таблицей можно воспользоваться и при опреде­ лении корней уравнения (к) методом подбора. Из таблицы видно,

На рис. 27 изображены формы стоячих волн для первых трех частот свободных колебаний балки с защемленными концами.

Рис. 27

Наименьшая частота колебаний рассматриваемой балки з 2'Д раза больше наименьшей частоты простой балки. Этот ре­ зультат естественен, так как жесткость балки с защемленными концами выше, чем жесткость простой балки. А частота колебаний находится в прямой зависимости от жесткости балки.

3.Колебания балки, один конец которой шарнирно оперт,

адругой защемлен

Рассмотрим свободные колебания однопролетной балки дли­ ной I, левый конец которой шарнирно оперт, а правый жестко

/ 7 7

ИМИ! ITT'1 ш и ГІГПТГИі 11IT! Г тпт 's t

Рис. 28

защемлен. Балка находится под воздействием равномерно распре­ деленной массы интенсивностью m (рис. 28).

66

На шарнирно опертом конце отсутствуют прогиб и изгибающий момент, а на жестко защемленном конце — прогиб и угол пово­ рота.

В соответствии с этим будем иметь следующие краевые усло­ вия:

Граничные условия при х = 0 приводят к уравнениям: С ) - ( - С з = 0

и С і —С з = 0. Тогда С і = 0 и С 3 = 0.

Граничные условия при х = 1дают:

С о sh kl + С 4 sin kl = 0; С 2 ch kl + С 4 cos kl — 0.

Для получения частот свободных колебаний необходимо при­ равнять нулю определитель полученной системы уравнений:

sh kl cos kl — ch kl sin kl = 0.

Отсюда получаем

tg kl = th kl.

Для решения этого уравнения воспользуемся приведенной здесь таблицей, в которой даны значения tgkl и th kl для аргумента kl в интервале от Ы= 0 до kl —2,Б с шагом 0,125 л:

По данным этой таблицы на рис. 29 построены графики функ­ ций igkl и th kl.

Абсциссы точек пересечения построенных графиков являются корнями частотного уравнения. Первые три корня будут равны:

k J = 3,9, k J ==7,1, k J = 10,2.

Рис. 29

Методом подбора получены следующие значения корней:

k j = 3,927, k J = 7,1069, k j = 10,210.

При /г>2 корни частотного уравнения могут быть определены по формуле

л / 4« + 1 kJ = — 4-----«•

Первые три частоты свободных колебаний будут следующие:

На рис. 30 показаны формы стоячей волны, соответствующие первым трем частотам колебаний балки.

68

п= 3

Рис. 30

4. Колебания консоли

Определим частоту свободных колебаний балки длиной I с од­ ним защемленным, а другим свободным концом (рис. 31). Пусть т — интенсивность равномерно распределенной массы. На жестко защемленном конце балки отсутствует прогиб и угол пово-

Рис. 31

рота, а на свободном конце — изгибающий момент и' поперечная сила. В соответствии с этим получим следующие краевые условия:

при х = 0

Х ( х ) = 0 и ^ Ö - O ;

При Х = 1

69