книги из ГПНТБ / Основы динамики сооружений учеб. пособие

бражены формы стоячей волны с одной, двумя и тремя полу­ волнами. Такую форму, в частности, принимает колеблющаяся

собой стоячие волны, если учесть, что отношение прогибов в любой точке с абсциссой х в два произвольных мгновения t и tx должно быть величиной, зависящей только от времени t, но не от положе­ ния точки на оси стержня. Следовательно, отношение прогибов в какой-либо точке стержня в два любых мгновения можно запи­ сать в виде

= F <t) или У(х > 0 = У і(* > ti)F(t).

Поскольку z/i(x, t\) является функцией только одной независи­ мой переменной х, то можно написать у(х, t ) —f(x ) 'F{t), т. е. ин­ теграл уравнения (4.2) должен выражаться в виде произведения двух функций, из которых одна зависит только от х, а другая - только от t. Поэтому мы и будем искать решение уравнения (4.2) в следующей форме:

для всех точек стержня закон изменения во времени прогибов этих точек относительно положения стати­ ческого равновесия.

Искать решения уравнения (4.2) в форме (4.3) впервые пред­ ложил французский математик Жан Фурье (1768—1830) в 1819 г.

Решения в форме (4.3) будут давать только частные интегралы уравнения (4.2), т. е. интегралы, выражающие собой уравнение

50

стоячих волн изгиба стержня в процессе его колебаний. Полное решение уравнения (4.2) будет являться, как известно, суммой всех возможных частных решений.

Учитывая форму (4.3), частные производные, входящие в урав­ нение (4.2), можно записать так:

Тогда уравнение (4.2) получит следующий вид:

Здесь мы перешли от частных производных к полным произ­ водным, так как Х{х) зависит только от х, а T(t) только от t. Раз­ делим все члены полученного уравнения на m(x)X(x)T(t), оставим в левой части член, зависящий от х, а в правую перенесем член, зависящий от t, в результате будем иметь

Числитель и знаменатель левой части этого уравнения зависят только от X, числитель и знаменатель правой части — только от t, и тем не менее между обеими частями существует равенство, спра­ ведливое при всяких значениях х и t. Очевидно, что такое равен­ ство будет возможно только в том случае, если отношение, стоя­ щее в левой части, не зависит от х, а отношение, стоящее в пра­ вой части, не зависит от і. Но в таком случае и левая, и правая части полученного уравнения равны постоянному числу, которое мы обозначим через cd2. В дальнейшем физический смысл со2 будет выяснен. Следовательно,

Таким образом, интегрирование одного дифференциального уравнения в частных производных свелось к интегрированию двух обыкновенных дифференциальных уравнений.

О т м ети м , что у р а в н е н и е (4 .4 ) а н а л о г и ч н о у р а в н е н и ю (2 .4 ):

IРу

О>2у = О,

dt*,

которое является дифференциальным уравнением незатухающих свободных колебаний системы с одной степенью свободы.

В § 4 показано, что общий интеграл уравнения (4.4) можно представить в следующем виде:

где, как уже отмечалось, Х ( х ) — функция, выражающая колеба­ ния стержня в виде стоячей волны и подлежащая определению из уравнения (4.5).

Для возможности решения уравнения (4.5) необходимо знать закон изменения по длине стержня его жесткости ЕІ и интенсив­ ности распределенной массы т(х). В дальнейшем будем рассмат­ ривать только стержень постоянной жесткости и с равномерно распределенной массой.

Необходимо отметить, что дифференциальное уравнение (4.2) свободных колебаний, положенное в основу всех дальнейших исследований, является не точным, а приближенным уравнением, так как оно не учитывает инерцию поворота сечений стержня и влияние поперечных сил на прогибы стержня.

В процессе колебаний элементы стержня будут не только пере­ мещаться по нормали к оси стержня, совершая поступательное движение, но и поворачиваться. Следовательно, кроме сил инер­ ции, параллельных оси у, будут возникать еще и силы инерции, обусловленные вращением элементов стержня.

Уравнение колебаний (4.2) было получено на основе диффе­ ренциальной зависимости (4.1), учитывающей только влияние изгибающих моментов на прогиб стержня. Таким образом, не было учтено влияние поперечных сил, вызывающих сдвиги, на про­ гибы стержня.

Исследования показывают, что влияние инерции вращения и сдвигов на наименьшую частоту свободных колебаний, возникаю­ щую при одной полуволне изгиба стержня и являющуюся основной величиной при всех динамических расчетах, приводит к поправке лишь в несколько процентов. Но по мере увеличения числа полу­ волн, когда расстояние между узлами стоячих волн становится все меньше и меньше, это влияние быстро возрастает. Поправки от учета инерции вращения и сдвигов становятся все более сущест­ венными и при уменьшении длины стержня.

52

Таким образом, при точном исследовании высших форм сво­ бодных колебаний, особенно для относительно коротких стержней, нельзя уже пользоваться приближенными уравнениями (4.2). В этом случае все вычисления необходимо вести на основе более точного уравнения, учитывающего и влияние поперечной силы, и влияние инерции вращения *).

Следует, однако, указать, что при исследовании свободных колебаний стержней, входящих в состав строительных конструк­ ций, как правило, основной, расчетной частотой является наимень­ шая частота, соответствующая форме изгиба стержня с одной полуволной. В этом случае, как уже ранее указывалось, из урав­ нения (4.2) получаются достаточно точные решения. Следует еще отметить, что строительные конструкции обычно состоят из относи­ тельно длинных стержней, поперечные размеры которых малы по сравнению с их длиной. А для таких стержней при инженерных расчетах точность значений первых трех частот свободных коле­ баний является вполне приемлемой и без учета инерции враще­ ния и сдвигов. Вот почему уравнение (4.2) и было положено Е основу исследований свободных поперечных колебаний упругих стержней.

§ 14. Свободные колебания призматического стержня с равномерно распределенной массой

Для призматического стержня жесткость на изгиб ЕІ будет постоянной по длине стержня. А поскольку масса — равномерно распределенная, то и т(х) =т = const. Тогда уравнение (4.5) мож­ но будет представить в таком виде:

Для его решения составим характеристическое уравнение 24—k*— 0,

53

Сделаем переход от показательных функций к гиперболическим и тригонометрическим. Известно, что:

екх _ ch kx + sh kx\

. e~kx = chkx — sh kx-, gikx _ cos k x _j_ I gjn

e~ikx = cos kx — i sin kx.

Подставляя эти значения в выражение (а) для Х(х) и делая приведение подобных членов, имеем

дифференциального уравнения (4.10) в следующем окончательном виде:

X (л1) = С, ch kx + С2sh kx + Cs cos kx -f- C4 sin kx. (4.11)

Входящие в (4.11) постоянные интегрирования Сь С2, С3 и С4 следует определять из краевых условий в каждом конкретном случае опирания концов стержня.

Если конец стержня имеет шарнирную опору, то на этом конце должно быть

X (л) = 0 и

d2X (х) d x 2

Первое условие выражает собой отсутствие прогиба на опоре, а второе ■— отсутствие на опоре изгибающего момента.

Свободный конец стержня характеризуется отсутствием изги­

соответствующие отсутствию прогиба и угла поворота на жестко защемленном конце стержня.

Все краевые условия написаны в предположении, что к концам стержня не приложены внешние сосредоточенные силы и сосредо­

54

левого конца и два для правого. Граничные условия позволяют получить четыре однородных алгебраических уравнения относи­ тельно коэффициентов Сь С2, С3, С4.

Как известно, условием ненулевого решения системы однород­ ных уравнений является равенство нулю определителя, составлен­ ного из коэффициентов при неизвестных. Это условие позволяет получить уравнение частот для определения параметра k, зная ко­ торый, по формуле (4.9) можно будет найти и частоту свободных колебаний со. Для рассматриваемого стержня с распределенной массой, как для системы с бесконечным числом степеней свободы, уравнение частот будет давать бесчисленное множество частот со. Каждому числу п полуволн изгиба стержня будут соответствовать

Из граничных условий для данного kn могут быть также опре­ делены три соотношения между коэффициентами С1п, С2п, С3/1, Сіп,

Всего, таким образом, из четырех граничных условий мы мо­ жем определить частоты колебаний шп и для каждой частоты по три соотношения между коэффициентами С. В результате получим следующее решение уравнения (4.10):

Это выражение описывает форму колебаний, соответствующую вполне определенной частоте колебаний <оп. Заметим, что форма колебаний Х п (х) по уравнению (б) определена нами с точностью до постоянного множителя Сіп.

Учитывая выражение (б), в соответствии с формулой (4.7) по­ лучаем для дифференциального уравнения (4.2) следующее част­ ное решение, являющееся уравнением изогнутой оси стержня при его колебании с частотой ш„, т. е. при его колебании по n-ой'форме:

Уп (х, t) = {Сы ch knx + С2пsh knx + С9яcos knx +

При написании этого выражения были введены новые обозна­

нии (4.12) можно опустить, так как они были нужны только для формального вывода. В выражении (4.12) неизвестными остались коэффициенты Ап и 7„. Для их определения, как правило, исполь­ зуются начальные условия, т. е. уравнение прогиба стержня и

55

уравнение, определяющее скорости всех точек оси стержня, в на­ чальный момент времени.

Гак как к п и шп имеют бесчисленное множество значений, то частных решений уп(х, і) также будет бесчисленное множество. Общее решение дифференциального уравнения (4.2) для рассмат­

Ниже, в § 16, на примерах, в которых рассматриваются стерж;. ни с различными опорными закреплениями на концах, будет пока­ зано определение частот и форм колебаний.

§ 15. Главные формы колебаний. Ортогональность главных форм колебаний

Из курса сопротивления материалов известна следующая диф­

ференциальная зависимость между прогибом уо(х) и интенсив­ ностью нагрузки q(x):

Сопоставляя эти формулы, можно прийти к следующему вы­

существовать независимо друг от друга, и поэтому их называют главными формами колебаний.

56

Состояние т

чиЦ1£ЦІ>^

__

.<— т —

---------- {

Рис. 22

Эта зависимость выражает важное свойство главных форм колебаний, которое называется свойством ортогональности глав­ ных форм. Физический смысл этого свойства, как следует из рас­ смотренного доказательства, состоит в том, что работа внешних

57

сил, вызвавших одну из главных форм колебаний, на соответст­ вующих перемещениях в другой главной форме равна нулю.

Свойство ортогональности в дальнейшем будет использовано для разложения нагрузки в бесконечный ряд по главным формам колебаний.

§ 16. Исследование свободных колебаний балок при различных опорных закреплениях

1. Колебания простой балки

Исследуем свободные поперечные колебания однопролетной балки длиной I с шарнирно опертыми концами и равномерно рас­ пределенной массой интенсивностью пг (рис. 23). Краевые условия:

d2X (X)

при х = 0 и х = 1 Х ( х ) = 0 и ■—^ —--'--=0. Эти условия выражают

отсутствие на опорах прогибов и изгибающих моментов.

m

%

Рис. 23

Для определения Х{х) имеем выражение (4.11), по которому

X (х) = С1 ch kx + С2 sh kx + Cg cos k x + C4 sin kx.

С2 sh kl -f- С4 sin kl = 0,

(а)

C2 sh kl — C4 sin kl = 0.

Условием ненулевого решения этой системы является равен­ ство нулю определителя, составленного из коэффициентов при С2 и С4:

sh kl sin kl

0 .

sh kl — sin kl

.58

Раскрывая определитель, получаем — s h k ls m k l — s h /г/sin &/= 0

или sh kl sin kl —0.

При наличии свободных колебаний частота собственных коле­ баний ш=£0, тогда к ф 0, Ы ф 0и, следовательно, sh кІФО (рис. 24). Поэтому частотное уравнение принимает вид

sin kl -- 0.

Отсюда следует, что kl = tm, где п —1, 2, 3,. .., т. е. произволь­ ное целое число, соответствующее числу полуволн стоячей волны. Таким образом, корни трансцендентного частотного уравнения имеют значения

Пт

кП I '

Из формулы (4.9) найдем частоту свободных колебаний

[ E l

<і)=&2 у — . Подставив вместо k найденные выше значения kn,

получим формулу для определения частот колебаний

^4

Итак, в выражении для Х(х) сохранится только последнее сла­ гаемое. В соответствии с формулами (4.12) и (б) [см. стр. 55] каж­ дому значению частоты будет соответствовать своя форма стоячей волны

ш х

*„(■*).= C^sin ~ г

59