книги из ГПНТБ / Основы динамики сооружений учеб. пособие

Подставляя значение А,2, получаем

= ________ MS12______ __ _ j Pls _ MSn - M (8n - 612)

Из этих результатов следует, что при колебаниях системы по первой форме, совершающихся с частотой Мі, имеем следующее соотношение амплитуд: А ц = А г1. Вид колебаний показан на рис. 18, г.

Таким образом, первая форма колебаний — симметричные колебания. Ампли­ туды для масс т\ и т2 равны по величине и по знаку. Колебания — низкой частоты. Вторая форма колебаний — обратно симметричные колебания. Ампли­ туды для масс т\ и т2 равны по величине и обратны по знаку. Колебания — высокой частоты.

Для возникновения той или иной формы колебаний необходимы соответ­ ствующие начальные условия. В общем случае будет происходить наложение форм колебаний, каждой со своей амплитудой и со своей фазой колебаний.

В. Получение общих уравнений движения.

Уравнения свободных колебаний масс, описывающие их общее движение, найдутся на основе (3.12) как сумма движений каждой массы по первой и вто­ рой главным формам:

У-2 = Уп + У22 = А21 sin (<Ѵ + 7і) + А22 sin (о>st + Ya)-

Скорости движения масс будут определяться следующими выражениями:

ляются из начальных’условий. Пусть в начальный момент времени заданы на­

“iA21cosYi — «2A22cosi2 = v10;

“iA2i cosYi + w2A22cosY2 = v2q.

4 0

ния и скорости обеих масс в начальный момент времени одинаковы, то они будут совершать колебания первой (симметричной) формы, а колебаний второй формы не будет.

б) О б р а т н о с и м м е т р и ч н ы е н а ч а л ь н ы е у с л о в и я , т. е.

Ую——У2 0 —У0 , Ѵю=—Ѵ20 — Vq.

В этом случае

^21 —0, А2

Таким образом, если отклонения и скорости обеих масс в начальный мо­ мент времени одинаковы по абсолютной величине, но противоположны по знаку,

41

и обратно симметричного с начальными условиями

Пример 5. Невесомая иеразрезная двухпролетная балка с сосредоточенными в серединах пролетов равными массами mi = m2 = M (рис. 19).

А. Определение частот свободных колебаний.

Частотное уравнение по форме останется таким же, как и в примере 4, т. е.

Корни его будут следующими:

= M (8U — S12), — больший корень,

X2 = ЛІ (8ц -f- 812), X2 — меньший корень.

Для определения единичных перемещений б на рис. 19,6 и в построены соответствующие эпюры моментов.

Затем по формуле Мора, с применением правила Верещагина, получаем

Б. Определение главных форм колебаний.

Найдем отношение рі амплитуд А 1 и Д2, используя уравнения предыдущего примера. Это отношение будет равно:

при Я =

Pu = - ________ МІ М _ _ = _ 1 -

М8ц — М (8U — В12)

при

4 2

Рис. 19

43

При колебаниях во второй форме А<2=А22 . Форма колебаний имеет вид, пред­ ставленный на рис. 19,0. В этом случае перемещения масс определяются выра­ жениями:

Для возникновения той или иной формы колебаний необходимы соответст­ вующие начальные условия. При произвольных начальных условиях будет про­ исходить наложение форм колебаний со своими амплитудами и фазами коле­ баний.

В. Получение общих уравнений движения.

Полные перемещения масс найдутся как сумма соответствующих перемеще­ ний этих масс по первой и второй главным формам, т. е.

Уі — — A2l sin (со/ + Yi) + Л22 sin (со/ -j- f 2); у2 = A21sin (со/ -f- 7 ,) -j- A22sin (со/ -}- 7 з).

Порядок определения постоянных А21, А22, 7 і и ~{2 остается таким же, как

ив предыдущем примере.

§12. Вынужденные колебания при действии вибрационной нагрузки

По-прежнему в качестве модели системы с конечным числом степеней свободы будем рассматривать невесомую балку, несу­

в точке ее приложения, может быть найдено как сумма проГщбов от каждой из сил инерции и заданной возмущающей силы:

У„ = А , sin pt,

где D u D2, . . ., Dn — амплитуды вынужденных колебаний масс.

44

Силы инерции в соответствии с формулами (3.18) будут опре­ деляться выражениями

d2y

J\ = — mi = rriypWi sin pt,

cfëy

J%— — тг - j ^ = т2рЮ 2sin pt,

(3.19)

m, d-d y^ ‘= m,iP2Dn sin pt.

Подставив (3.16), (3.18) и (3.19) в (3.17), замечаем, что в каж­ дый член каждого уравнения системы (3.17) множителем входит функция sin pt. Произведем сокращение в системе (3.17) на эту функцию. Далее заметим, что максимальные значения сил инер­ ции и прогибов в каждой точке балки будут при sinp^= l. Введем обозначения для максимальных значений сил инерции:

Хп J п max

идля статических прогибов от действия максимального значения возмущающей силы:

Тогда уравнения системы (3.17) могут быть представлены в сле­ дующем виде, если перенести все члены в левую часть, изменить знаки и сделать приведение подобных членов:

После определения ^максимального значения сил инерции из системы (3.22) максимальные значения внутренних усилий в систе­ ме (для рассматриваемой балки — опорных реакций, изгибающих

45

Глава 4. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ

УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ КАК СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

§ 13. Дифференциальное уравнение свободных колебаний при произвольном законе распределения массы и жесткости

Рассмотрим свободные поперечные колебания прямолинейного упругого стержня с переменными по длине стержня жесткостью ЕІ и интенсивностью q(x) сплошной нагрузки. Опорные закрепления стержня могут быть любыми. На рис. 20 условно изображен стер­ жень в виде простой балки.

Будем считать, что в процессе колебаний все элементы стержня движутся поступательно по нормали к недеформированной оси стержня.

Стержень с распределенной массой представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы. Его положение в любой момент времени определяется упругой линией, которая при дина­ мических воздействиях является функцией двух переменных: абсциссы сечения х и времени t.

Обозначим через уо(х) статический прогиб стержня, являю­ щийся функцией только абсциссы х сечения, а через у(х, і) — отсчи­ тываемый от положения статического равновесия дополнительный прогиб, обусловленный колебаниями стержня и являющийся функ­

47

цией абсциссы сечения х и времени t. Тогда полный прогиб точек оси стержня в любой момент времени будет состоять из двух частей: уо(х) и у(х, і).

Составим дифференциальное уравнение свободных колебаний стержня. Будем считать, что колебания происходят в одной из главных плоскостей изгиба стержня и что размеры поперечных сечений стержня малы по сравнению с его длиной. Тогда для полу­ чения уравнения колебаний можно воспользоваться известной из курса сопротивления материалов дифференциальной зависимостью при изгибе:

В дифференциальных зависимостях (4.1), (а) и (б) знаки соответствуют системе координат, показанной на рис. 20.

Если стержень вывести из положения равновесия и затем пре­ доставить самому себе, то он будет совершать колебания около своего положения статического равновесия. Для составления диф­ ференциального уравнения колебаний стержня воспользуемся ме­ тодом кинетостатики. Если к реально действующим на точки систе­ мы силам добавим силы инерции, обусловленные движением то­ чек, то уравнения движения могут быть записаны в форме урав­

в сторону возрастающих у, т. е. вниз. В этом случае необходимо добавить силу инерции. Тогда получим следующее дифференциаль­ ное уравнение колебательного движения стержня:

где g — ускорение силы тяжести.

Второе слагаемое в правой части этого уравнения представ­ ляет собой силу инерции, приходящуюся на единицу длины балки. А в целом правая часть является интенсивностью сплошной на­ грузки, приложенной к стержню.

В уравнении (в) берутся частные производные по х и по t, по­ тому что у является функцией двух независимых переменных х

48

В соответствии с зависимостью (б) первое слагаемое левой части последнего выражения равно q(x) и может быть сокра­ щено с первым слагаемым правой части. Кроме того, так как ^

Обозначив массу, приходящуюся на единицу длины стержня,

,ерез » ( д г ) - г ^ , "олуши дифференциальное уравнение свобод-

пых колебаний стержня в следующем окончательном виде:

Как видим, и в случае системы с бесконечно большим числом степеней свободы статический прогиб уо не входит в дифферен­ циальное уравнение движения системы. Ордината у, характери­ зующая движение системы (стержня), отсчитывается от линии статического прогиба. Ввиду малости перемещений, у может отсчи­ тываться от недеформированного положения системы. Поэтому Е дальнейшем, так же как и в случае системы с одной степенью свободы (см. § 4), при составлении дифференциальных уравнений движения упругих систем с бесконечным числом степеней свободы статическое действие нагрузки учитывать не будем и колебание системы будем рассматривать от ее недеформированного положе­ ния. После определения усилий и деформаций от динамической нагрузки влияние статической нагрузки учитывается методом на­ ложения на основании принципа независимости действия сил.

Уравнение (4.2) — дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных. Поскольку в процессе колебаний стержень находится только под воздействием распределенной по его длине массы, то полученное уравнение действительно выра­ жает собой свободные колебания.

Решая уравнение (4.2), найдем прогиб у стержня, возникаю­ щий при его колебании и отсчитываемый от положения статиче­ ского равновесия. Будем отыскивать решения уравнения (4.2) в ви­ де стоячих волн изгиба стержня. Термин стоячие волны, заимство­ ванный из физики, будет означать, что форма изгиба стержня при колебаниях каждого тона не зависит от времени, т. е. остается стабильной в любое мгновение. Каждой частоте свободных коле­ баний будут соответствовать свои стоячие волны. Так как колеба­ ния совершаются в обе стороны относительно положения равно­ весия, то стоячие волны колебаний, например для простой балки, будут иметь то или иное число п полуволн изгиба. На рис. 21 изо-