книги из ГПНТБ / Основы динамики сооружений учеб. пособие

Решение дифференциального уравнения (2.3) будет иметь вид

Постоянные А, В или D, у определяются из начальных усло­ вий.

Колебания имеют затухающий характер (рис. 12) с периодом

т_ 2тс

” 4- ’

где = У (о2 — п2 — частота затухающих колебаний.

Величина п характеризует интенсивность затухания колебаний и называется коэффициентом затухания. Если имеется экспери­ ментальная запись колебаний (осциллограмма), то коэффициент затухания п может быть определен по отношению соседних (одно­ го знака) амплитуд свободных затухающих колебаний yk и уь+і- В связи с этим рассмотрим отношение соседних амплитуд, т. е. ам­ плитуд, разделенных друг от друга промежутком времени, равным периоду колебаний:

20

Натуральный логарифм отношения соседних амплитуд назы­ вается логарифмическим декрементом колебания. Обозначим его е:

(2Л З )

Определив по опытной осциллограмме е й Т, можно найти коэффициент затухания:

При расчете конструкций коэффициент затухания часто пред­ ставляют в виде

где пот— относительный коэффициент затухания.

Тогда в соответствии с формулами (2.10) и (2.13) частота за­ тухающих колебаний и логарифмический декремент колебаний будут равны:

J

Ориентировочные значения относительного коэффициента зату­ хания для стальных, деревянных и железобетонных конструкций следующие:

—для стальных яот =0,005-^0,0125;

—для деревянных п0т = 0,015 н-0,025;

—для железобетонных яот =0,025-^-0,05.

Если подставить пог в формулу (е), то можно сделать вывод, что количественное различие между ф и ш для указанных кон­ струкций весьма мало. Поэтому в практических расчетах конструк­ ций, как правило, не делают различия между ф и ю, т. е. прини­ мают ф~ш. Тогда

Пример 2. Определить отношение между соседними амплитудами затухаю­ щих колебаний, если балка изготовлена: а) из стали; б) из железобетона.

Принимаем для стали пот =0,0125, для железобетона пот =0,05. Логарифмический декремент колебания может быть определен по фор­

муле (з).

Зная логарифмический декремент колебаний, найдем отношение между сосед­ ними амплитудами:

21

Заметим, что для рассматриваемой модели системы с одной степенью свободы (колебание груза на невесомой балке в воздухе) в инженерной практике реальное значение имеют два первых слу­ чая. Если же балку с грузом поместить в вязкую среду (напри­ мер, в густое масло), то будет реализовываться третий или четвер­ тый случай. В защитном строительстве военному инженеру при­ ходится иметь дело с конструкциями, заглубленными в грунт, ко­ торый можно рассматривать как вязкую среду. Движение нахо­ дящихся в грунте элементов защитных сооружений (покрытий, стен) может происходить в соответствии с третьим или четвер­ тым случаем.

§ 5. Вынужденные колебания при действии вибрационной нагрузки

Рассмотрим вынужденные колебания массы, расположенной на невесомой балке, которые происходят под действием силы P(t), меняющейся во времени. На массу будут действовать следую­ щие силы (рис. 14): возмущающая сила P(t)\ восстанавливающая

сила F- ■гу\ сила неупругого сопротивления R = 8 ^ .

Как условились ранее, собственный вес груза и равное ему значение восстанавливающей силы не принимаем во внимание.

Составляем дифференци­ альное уравнение движения массы:

или

Рис. 14

Поделим на т\ все слагаемые и, введя обозначения (2.1) и (2.2), будем иметь

где Q — амплитудное значение возмущающей силы;

р— частота изменения возмущающей силы;

б— начальная фаза.

Квертикальной возмущающей силе вида (2.20) сводится дей­ ствие на балку установленного на ней работающего мотора. Вслед­

23

ствие неуравновешенности ротора, масса которого имеет относи­ тельно оси вращения эксцентриситет е, во время его вращения бу­ дет возникать центробежная сила инерции, определяемая выра­ жением

F" = /Яротер*,

где трог — масса ротора; р — угловая скорость.

Если начало вращения ротора отсчитывать от линии, положе­ ние которой определяется угловой координатой б (рис. 15), то вер­ тикальная составляющая центробежной силы, которая и является возмущающей силой, будет

P(t) = F^sinipt + 8).

Отсюда следует, что частота возмущающей силы в формуле (2.20) равна угловой скорости вращения ротора, а ампли­

Частное решение этого уравнения примем в следующем виде:

где D и if — постоянные, подлежащие определению.

Для этого представим тригонометрическую функцию в правой части (2.22) в виде

sin (pt + 8) = sin (pt + 8 + ^ — -() =

= cosy sin (pt + 8 + f) — sin T cos {pt -f 7 + 8).

24

Затем внесем (2.23) в (2.22):

—Dp2sin (pt + Ь+ f) -f 2nDp cos (pt + 8 + + u>2D sin (pt + 8 -f- -j) ==■

= — [cos 7 sin {pt + 8 + t) — sin у cos (pt + 8 -f f)].

Приравняем слагаемые c sin(p/ + 6+ f) левой и правой частей этого равенства, а также слагаемые с cos(/?£ + ö + f ). Тогда, после сокращения на тригонометрические множители, получим

Возведем эти равенства в квадрат и сложим соответственно их левые и правые части:

D2 [ K _ p2)2+ 4ra2/?2]==j ^ _ y )

откуда

__________ 1___________

(2.24)

Y (<°2 — /?2)2 + 4пгр 2

Поделив левую и правую части равенства (б) на соответ-

Таким образом, постоянные D и f частного решения (2.23) определены. Для получения общего решения уравнения (2.22) необходимо к частному решению (2.23) прибавить общее реше­ ние (2.11) соответствующего однородного уравнения, которое было получено ранее при рассмотрении свободных колебаний. Тогда будем иметь

у — e~nt (Л c o s ^ + В sin tyt) -f- D sin (pt + 8 -f ^). (2.26)

Постоянные А и В решения однородного уравнения опреде­ ляются из начальных условий. Для этого продифференцируем выражение (2.26) и найдем скорость:

— — tie~nt (Л cos tyt + В sin tyt) + tye~nt (— А sin ^t + В cos ф^) -f-

Пусть при t= 0, y —y(0) и dyjdt = v(0). Тогда, подчиняя этим условиям (2.26) и (2.27), будем иметь

А + D sin (§ + T) = У (0);

— пА + + Dp cos (8 + т) = V (0).

25

Отсюда находим постоянные А и В:

А — у(0) D sin (о + т);

Іаким образом, мы получили общее решение дифференциаль­ ного уравнения вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы при учете сопротивления в случае действия возмущающей силы, меняющейся по гармоническому закону.

Как видим, общее движение складывается из трех колебаний: а) вынужденных колебаний, совершаемых с частотой возму­

щающей силы; их представляет последнее слагаемое выраже­ ния (2.28);

б) псопутствующих затухающих колебаний, совершаемых с ч стотой свободных колебаний, но возбуждаемых возмущающей си­ лой; им соответствует вторая строчка выражения (2.28);

в) свободных затухающих колебаний, зависящих от начальных условий; им соответствует первая строка правой части выраже-

ния (2.28). При нулевых начальных условиях, т. е. если ^/(0)=0 и о(0) = 0, они не возникают.

Свободные и сопутствующие колебания быстро затухают. Пе­ риод времени, в течение которого совместно существуют затухаю­ щие и вынужденные колебания, называется переходным. В даль­ нейшем движение системы будет представлено чисто вынужден­ ными колебаниями, совершаемыми с частотой возмущающей силы, которые в этом случае называются установившимися.

и сдвигом фазы f.

Сдвиг фазы -у по отношению к возмущающей силе обусловлен наличием сил неупругого сопротивления. При отсутствии неупру­

„Наибольшее перемещение массы системы (прогиб балки с мас­ сой посередине) будет определяться по формуле (2.23) при макси­ мальном значении функции sin(p/+ö+T ) = l и будет равно ymax=D.

26

Преобразуем несколько формулу для D. Имея в виду (2.8), можно написать

ЯQ5nu)2 = уста)2,

т1

где уст — статический прогиб балки при действии амплитудного значения возмущающей силы.

Тогда формула (2.24), определяющая D, может быть представ­ лена в таком виде:

В результате можно записать, что максимальное перемещение системы (в рассматриваемом случае — максимальный прогиб бал­ ки) будет определяться по формуле

где кл — динамический коэффициент, определяемый по формуле

(2.31)

В случае резонанса, т. е. при р = со, как следует из (2.31), динами­ ческий коэффициент

Отметим, что если рассматривать динамический коэффициент, как функцию от частоты возмущающей силы, то его значение, определяемое формулой (2.32), не будет максимальным. Для опре­ деления максимального значения динамического коэффициента необходимо исследовать выражение (2.31) на максимум по прави­ лам дифференциального исчисления, т. е. найти первую производ­ ную от динамического коэффициента по частоте р (частоте воз­ мущающей силы) и приравнять ее нулю; тогда получим, что экстремальное значение динамического 'коэффициента будет

при р = Ѵ о)2—2ц2. Дальнейшее исследование показывает, что при этом значении р динамический коэффициент имеет максимум и равен

27

Если не учитывать неупругое сопротивление, т. е. если п —О, динамический коэффициент, как следует из (2.31), будет

1 Q

Рис. 16

На рис. 16 показано изменение динамического коэффициента в зависимости от отношения рісо при различных значениях относи­ тельного коэффициента затухания пт. Как следует из (2.31) и (2.32) и из графиков, при наличии затухания динамический коэф­ фициент всегда имеет конечную величину. При отсутствии затуха­ ния (когда дот=0) в соответствии с (2.35) при р = ш, т. е. в слу­ чае резонанса, динамический коэффициент обращается в бесконеч­ ность.

28