книги из ГПНТБ / Основы динамики сооружений учеб. пособие

Глава 11. РАСЧЕТ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ

СВОБОДЫ НА ДЕЙСТВИЕ КРАТКОВРЕМЕННОЙ НАГРУЗКИ ПРИ НАЛИЧИИ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ

§ 45. Общие положения

При проектировании некоторых видов сооружений, восприни­ мающих кратковременные нагрузки, расчет производится с учетом пластических деформаций. Это значит, что допускается работа несущих конструкций этих со-

где г — жесткость системы. Теперь же мы будем рассматривать движение системы с одной степенью свободы полагая, что зави­ симость между восстанавливающей силой и перемещением носит более сложный характер. Будем при этом иметь в виду, что полу­ ченные при такой постановке результаты также могут быть ис­ пользованы для приближенных расчетов конструкций, если ока­ жется допустимым рассматривать их как системы с одной сте-

191

пенью свободы. Реальная зависимость между F и у для металли­ ческих и железобетонных конструкций имеет вид, представленный на рис. 89. На графике этой зависимости можно отметить три ста­ дии развития деформации

системы:

— первая — стадия упру­ гих деформаций, здесь спра­ ведлива зависимость (а);

— вторая — стадия, на

упрочнение материала и криволинейный график за пределом упру­ гости заменяется горизонтальной прямой линией. Исследования показывают, что расчеты, выполняемые на основе диаграммы Прандтля, правильно отражают наиболее существенные особен­ ности, возникающие при работе конструкции в пластической ста­ дии. Поэтому в дальнейшем изложении будем основываться на диаграмме Прандтля. Введем обозначения:

уе — предельное упругое перемещение массы системы,

в упругой стадии и здесь будут справедливы все зависимости, по­ лученные в главе 7. Эквивалентная статическая нагрузка в со­ ответствии с определением, данным в § 26, будет вычисляться по формуле

ческих деформаций. При расчетах с учетом пластических дефор­ маций, так же как и при расчетах в упругой стадии, пользуются по­ нятием эквивалентной статической нагрузки. Однако определение этого понятия, данное в § 26, в случае пластических деформаций

192

ствии с диаграммой Прандтля неограниченно возрастают. В то же время после прекращения действия динамической нагрузки пере­ мещения системы могут быть конечными. Поэтому при учете пластических деформаций применяется следующее определение:

Эквивалентной статической нагрузкой на систему, работающую в стадии пластических деформаций, называется статическая на­ грузка, вызывающая в связях системы реакции и усилия такие же, как и от действия динамической нагрузки в момент максимального перемещения массы системы от положения равновесия.

Смысл этого определения поясним на примере простой невесо­ мой балки с массой посередине.

Пусть при действии заданной динамической нагрузки балка

вточке, где расположена масса, получила заданное заранее мак­ симальное перемещение утах > уе. Рассмотрим затем простую не­ весомую балку того же пролета и подберем такое значение сосре­ доточенной вертикальной силы, приложенной в ее среднем сечении, чтобы при расчете на статическое действие этой силы реакции и усилия балки оказались равными реакциям и усилиям в предыду­ щем случае. Это значение сосредоточенной силы и будет являться

вданном примере эквивалентной статической нагрузкой.

Всоответствии с определением величина эквивалентной стати­ ческой нагрузки при утах > уе находится по формуле

Напомним, что г — жесткость системы, т. е. нагрузка, вызы­ вающая ее единичное перемещение. Из формулы (11.2) и рис. 90 следует, что эквивалентная статическая нагрузка равна предель­ ному значению восстанавливающей силы.

Зависимостью (11.2) пользуются в экспериментальных и теоре­ тических исследованиях для установления величины эквивалент­ ной статической нагрузки. Ниже, в § 46, 47, 48, рассматриваются примеры определения Рэкв для некоторых конкретных видов динамических нагрузок и порядок теоретического решения при действии произвольной кратковременной нагрузки. В практических расчетах конструкций предельный прогиб принимается кратным максимальному упругому прогибу:

Утах — ^ Уе>

где k назначается перед расчетом в виде целого числа, большего единицы, в зависимости от назначения сооружения. Для сооруже­ ний менее ответственных, не связанных с пребыванием людей, коэффициенту k придают большую величину. Для особо важных

сооружений, в которых недопустимо появление остаточных дефор­ маций, коэффициент k принимается равным единице.

Так же как и в случае расчета по упругой стадии, при учете пластических деформаций для различных законов изменения на­ грузки во времени получены теоретические решения для определе­ ния эквивалентной статической нагрузки и вычислены значения динамического коэффициента как отношения эквивалентной ста­ тической нагрузки Рэкв к максимальному значению кратковре­ менной нагрузки Рт. Для различных численных значений k в за­ висимости от вида нагрузки получены значения динамического коэффициента, которые приводятся в справочных пособиях в виде формул, таблиц и графиков. Поэтому при практических расчетах в реальном проектировании конструкций эквивалентная статиче­ ская нагрузка определяется по формуле

ным данным в зависимости от вида нагрузки и ее параметров, от частоты колебаний системы и коэффициента k.

Система, рассчитанная на эквивалентную статическую на­

§ 46. Действие мгновенного импульса на систему

с одной степенью свободы при наличии пластических деформаций

Для определенности в качестве модели системы с одной степенью свободы возьмем невесомую балку с сосредото­

ченной массой т\ посередине (рис. 91). На массу в начальный момент времени t = ö подействовал мгновенный импульс 5. Восста­ навливающей силой или реакцией связи, наложенной на массу, здесь является сила, воздействующая со стороны невесомой балки

194

на массу. Зависимость между восстанавливающей силой F и пере­ мещением массы у принимаем по диаграмме Прандтля. Очевидно, что в этих условиях необходимо строить решение для двух слу­ чаев: во-первых, когда максимальное перемещение системы мень­ ше, чем максимальное упругое перемещение, и, во-вторых, когда оно больше. Первый случай — случай работы системы в упругой стадии — был рассмотрен "ранее в гл. 7. Однако для полноты кар­ тины мы его также рассмотрим, но не путем составления и реше­ ния дифференциального уравнения движения, а с помощью энерге­ тического метода. Этим же методом будет рассмотрен и второй случай, когда система станет работать в пластической стадии. Сущность энергетического метода здесь будет заключаться в при­ менении закона кинетической энергии:

закона об изменении количества движения найдем начальную ско­ рость массы:

которую приобретает масса в результате воздействия мгновенного импульса:

Работа внешних сил равна нулю, так как внешние силы отсут­ ствуют. Вычислим затем работу внутренних сил, которая при пере­ ходе оси балки из положения I в положение II будет величиной отрицательной, так как внутренние силы (в данном случае восста­ навливающая сила) направлены в сторону, противоположную дви­ жению массы системы. При произвольной зависимости между вос­ станавливающей силой F и перемещением у работа внутренних сил может быть вычислена на основе следующих соображе­ ний (рис. 92). Если масса системы получит некоторое элементар­ ное перемещение dy, то элементарная работа внутренних сил будет

dAv - — F(y)dy.

Полная работа внутренних сил, совершенная ими при переме­ щении массы на величину утах, определится путем интегрирова­ ния этого выражения в пределах от нуля до у та*:

т. е. будет равна площади

под графиком восстанав­ ливающей силы, заклю­ ченной в области от 0 до Утах (пЛОЩаДЬ, ЗЭШ ТрИ-

хованная на рис. 92).

В соответствии с эти­ ми соображениями рабо­ та внутренних сил для первого случая будет равна площади треуголь­ ника, заштрихованного на рис. 91, взятой с обрат­ ным знаком:

Приравняем изменение кинетической энергии (11.5) к работе внутренних сил (11.7) в соответствии с законом кинетической энер­

ГУmax = S«D.

Теперь в соответствии с выражением (11.1) можем написать формулу для определения эквивалентной статической нагрузки:

Рэкв = So).

Как и следовало ожидать, она в точности совпадает с резуль­ татом, полученным нами в § 27.

Переходим далее к рассмотрению 2-го случая: Ушах = кУе > Уе (рис. 93). Изменение кинетической энергии Ѵи — Ѵх остается та­

196

Если же k= \, то есть если в системе совершенно не допускают­

Этот результат естественен, так как при k= 1 система не вы­ ходит из упругой стадии.

Отсюда видно, что если для какого-то конкретного сооруже­ ния, рассматриваемого как система с одной степенью свободы, до­ пускаются при воздействии мгновенного импульса остаточные де­

197

формации, то эквивалентная статическая нагрузка будет меньше, чем при расчете по упругой стадии, а следовательно, при учете пластических деформаций сооружение может быть запроектиро­ вано более экономично.

§ 47. Действие силы, внезапно возрастающей до постоянного значения, на систему с одной степенью свободы

при наличии пластических деформаций

По-прежнему будем рассматривать невесомую балку с сосредо­ точенной массой посередине. Как и в предыдущем параграфе, бу­ дем пользоваться энергетическим методом, применяя закон кине­ тической энергии (11.4). В положении / (см. рис. 41), т. е. при ^ = 0, так же как и в положении //, т. е. когда y ( t ) = ymах, скорость дви­ жения массы равна нулю и, следовательно, в обоих положениях кинетическая энергия равна нулю, а поэтому Ѵп — Ѵ1 =0. В 'пра­

вой части уравнения (11.4) необходимо записать работу внешних и внутренних сил, совершаемую при переходе системы из положе­ ния / в положение II. Работа внешней внезапно приложенной и остающейся затем постоянной возмущающей силы, совершаемой

определяется как площадь заштрихованного1треугольника на диа­ грамме Прандтля (рис. 91), взятая с отрицательным знаком, т. е. определяется формулой (11.7). Приравниваем изменение кине­

что совпадает с результатом, полученным ранее (см. § 29) путем решения дифференциального уравнения. Динамический коэффи­ циент

В т о р о й с л у ч а й : утах > уе. Работа внешних сил опреде­ ляется выражением (11.10), а работа внутренних сил — площадью трапеции на диаграмме Прандтля, заштрихованной на рис. 93,

198

взятой с отрицательным знаком, т. е. определяется форму­ лой (11.8). Приравниваем изменение кинетической энергии работе внешних и внутренних сил:

ОРтУтах ГУе

ДРт 2 k - 1 ’

при k = 5 динамический коэффициент оказывается

при k = 1

kn — 2.

Как видим, учет пластических деформаций приводит к сниже­ нию динамического коэффициента.

§ 48. Действие кратковременной силы, меняющейся во времени по произвольному закону, на систему с одной степенью свободы при наличии пластических деформаций

Как показали выкладки предыдущих двух параграфов, приме­ нение энергетического метода быстрее и проще приводит к вы­ числению эквивалентной статической нагрузки. Однако эта про­ стота, к сожалению, является следствием простоты аналитиче­ ских выражений, характеризующих воздействие в рассмотренных частных случаях. Во всех же остальных случаях вычисление ра­ боты внешних сил, совершаемой при перемещении точки ее прило­ жения на величину угаах, наталкивается на трудности, которые ничуть не легче, чем непосредственное решение дифференциальных уравнений движения. Поэтому действие на систему с одной сте­ пенью свободы кратковременной нагрузки, меняющейся во вре­ мени по произвольному закону, будем анализировать, опираясь на дифференциальное уравнение движения. Здесь также возможны два случая.

199