книги из ГПНТБ / Основы динамики сооружений учеб. пособие

Максимальные перемещение и изгибающий момент будут возникать посере­ дине балки при х = //2 :

Подставим значения сумм в (е) и (ж), тогда получим выражения для определения максимальных значений прогиба и изгибающего момента в среднем сечении простой балки при действии внезапно приложенной равномерно распреде­

8(?/2 *3 _ <?/2 -^з"'32 ~ Т '

Из курса сопротивления материалов известно, что при статическом действий равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q прогиб и изгибающий Момент в середине балки соответственно равны:

Таким образом, при действии внезапно приложенной равномерно распреде­ ленной нагрузки на простую балку прогиб и изгибающий момент увеличиваются вдвое по сравнению со статическим действием той же нагрузки, и, следовательно, динамический коэффициент £д оказывается равным 2. Такой же динамический коэффициент (см. § 29) имеет место при действии внезапно приложенной на­ грузки на систему с одной степенью свободы. Необходимо отметить, что при действии внезапно приложенной нагрузки на балки с другими опорными закреп­ лениями, а также на другие конструкции, если их рассматривать как системы с бесконечным числом степеней свободы, динамический коэффициент будет мень­ ше двух, так как максимумы в различных главных формах колебаний будут наступать в разные моменты времени. Простая балка на шарнирных опорах оказывается в этом отношении исключением.

Глава 10. ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ

НА ДЕЙСТВИЕ КРАТКОВРЕМЕННОЙ НАГРУЗКИ

§ 40. Общие положения

Приближенные расчеты обычно сводятся к тому, что систе­ мы с бесконечно большим числом степеней свободы, какими явля­ ются все реальные конструкции, заменяются системами с конеч­ ным, возможно . меньшим числом степеней свободы, Наиболее

полуволне в пределах пролета. Поэтому можно принять, что в лю­ бой момент времени кривая, по которой изгибается балка, является синусоидой:

y = T { t ) sin у ,

181

где Т (t)— некоторая функция времени t. Этим самым мы получили возможность рассматривать балку как систему с одной степенью свободы, так как положение любой точки балки теперь опреде­ ляется значением одного параметра T(t). Частота колебаний балки при этом равна частоте первого тона ее собственных коле­ баний:

(О 1

Если на простую балку действует обратно симметричная на­ грузка (рис. 80,6), то будут возникать колебания по второй глав­

Частота колебаний будет равна частоте второго тона ее собствен-

чей волны какого-то одного тона. Кроме того, в процессе колебаний форма изгиба балки будет существенно меняться. В этом случае расчет балки как системы с одной степенью свободы может при­ вести к ошибочным результатам. Переход к системе с одной сте­ пенью свободы даст тем более точные результаты, чем ближе закон распределения нагрузки будет соответствовать одному из членов ряда (9.5) разложения нагрузки по главным формам. Это естест­ венно, поскольку ранее (см. § 38) было установлено, что нагрузка,

182

ния предполагаемой формы колебаний конструкции следует вы­ числить соответствующее ей значение частоты колебаний. Если не известно точное значение частоты, то она определяется приближен­ но с помощью энергетического метода или метода приведения массы. Знание частоты колебаний и закона изменения нагрузки во времени позволяет определить эквивалентную статическую на­ грузку по формулам, полученным в главе 7. Если закон измене­ ния нагрузки во времени отличается от рассмотренных в главе 7, то методами этой главы производится динамический расчет и определяется эквивалентная статическая нагрузка. После опреде­ ления эквивалентной статической нагрузки выполняется статиче­ ский расчет конструкции на ее действие методами строительной механики. Приближенный расчет по такой схеме применим не только к балкам, но и к любым другим конструкциям (к плитам, оболочкам, рамам, аркам и т. д.), если соблюдаются условия, сформулированные выше.

§ 41. Приближенный расчет балок на действие мгновенного импульса

Рассмотрим стержень с любыми опорными закреплениями, на который нормально к его оси действует мгновенный импульс, рас­ пределенный по длине стержня по какому-то закону s(x). Будем считать, что форма изгиба стержня при его колебаниях после воз­ действия импульса наиболее близко соответствует первой главной форме колебаний, совершаемой с частотой coj. Поэтому можно счи­ тать, что стержень будет вести себя как система с одной степенью свободы и для его приближенного расчета может быть применен результат, полученный в § 27 главы 7. Этот результат формули­ руется следующим образом: динамический расчет системы с.одной степенью свободы на действие мгновенного импульса S может быть заменен статическим расчетом на действие эквивалентной стати­ ческой нагрузки, определяемой по формуле (7.12):

^экв = 5<о, ■

где о) — круговая частота свободных колебаний системы. Приме­ няя данный вывод к рассматриваемому стержню, получим выра­ жение для распределенной эквивалентной статической нагрузки:

Ржв(х) = s(x) «о.

После определения эквивалентной статической нагрузки расчет может быть произведен методами сопротивления материалов.

Пример 16. Пусть на простую балку действует равномерно распределенный по ее длине импульс s. Балка имеет постоянную жесткость поперечного сече­ ния на изгиб ЕІ и постоянную по ее длине погонную массу от. Принимаем, что изогнутая ось балки при ее колебаниях при воздействии импульса будет иметь

183

ту же форму, что и при свободных колебаниях первого тона. В таком случае частота колебаний будет

sß

Ушах — 0,125 Ѵ Ш п’

A^max

Как видим, приближенное решение дает при вычислении прогиба погреш­ ность 4%, а при вычислении изгибающего момента погрешность 24%. В тех случаях, когда исходные данные известны лишь ориентировочно (например, ве­ личина действующего импульса), такая погрешность может считаться допусти­ мой, тем более что она дает ошибку в сторону запаса.

Пример 17. В этом примере рассмотрим действие равномерно распределен­ ного импульса s на балку с обоими защемленными концами. Балка имеет по­ стоянную жесткость ЕІ и постоянную погонную массу т. Так же, как и в преды­ дущем примере 16, принимаем, что упругая линия балки при ее колебаниях в результате воздействия импульса будет иметь ту же форму, что и при свобод­ ных колебаниях первого тона. Тогда

— частота колебаний

ßУ т ’

эквивалентная статическая нагрузка

Рэкв = 5 » =

ll f т

наибольший прогиб в середине пролета

наибольший изгибающий момент в сечении у опоры

— наибольшая поперечная сила в том же сечении

184

§ 42. Приближенный расчет балок на действие кратковременной нагрузки, меняющейся во времени по произвольному закону

Вэтом параграфе мы рассмотрим приближенный расчет балки

слюбыми опорными закреплениями на действие кратковременной нагрузки, которая аналитически может быть представлена в виде произведения двух функций, одна из которых характеризует закон изменения нагрузки по пролету, а вторая — закон изменения во времени:

Считаем, что форма изгиба балки при ее вынужденных коле­ баниях под действием кратковременной нагрузки по своему харак­ теру соответствует первой главной форме колебаний. Поэтому для приближенного расчета принимаем, что балка ведет себя как система с одной степенью свободы, частота которой равна частоте основного тона свободных колебаний.

Имея значения частоты колебаний со и зная функцию f ( t ) , мож­ но вычислить динамический коэффициент kR так, как это делается в главе 7, и определить эквивалентную статическую нагрузку

Ршв (•*) = Р (■*) К.

Затем расчет балки производится обычными приемами сопро­ тивления материалов и строительной механики.

ная по пролету нагрузка, интенсивность которой убывает во времени по линей­ ному закону

Р (•*. О = Рт ^ — 4 ) ’

где

р т = 5 тс/м, %= 0,5 сек.

Требуется определить максимальный прогиб балки и наибольшие по абсолютной величине изгибающие моменты в опорных и средних сечениях. Определим сум­ марную погонную массу балки и постоянной нагрузки

Определяем жесткость поперечного сечения балки на изгиб: ЕІ = 2 -107-54 810ІО' 8 = 10 962 тс-м2.

Определяем частоту колебаний основного тона (см. § 16):

Определяем период колебаний:

1 8 5

Динамический коэффициент в этом случае принимается в зависимости от соот­

Определяем максимальное значение прогиба посередине пролета:

Определяем изгибающий момент в опорном сечении:

Моп = — - .р = — -----—-----= — 32,79 тс-м.

Определяем изгибающий момент в середине пролета:

§ 43. Приближенный расчет плит на действие кратковременной нагрузки

Приближенный расчет плит на действие кратковременной на­ грузки может быть произведен так же, как и для балок. Задаваясь определенной формой изогнутой поверхности плиты при колеба­ ниях, вызванных действием кратковременной нагрузки, мы можем рассматривать плиту как систему с одной степенью свободы. После чего применяем к расчету плиты результаты, полученные при изу­ чении колебаний системы с одной степенью свободы (глава 7). Так, расчет плиты на действие мгновенного импульса, распределен­ ного по поверхности плиты по некоторому закону s(x, у), может быть заменен расчетом на действие эквивалентной статической на­ грузки

Рэкв ==- 8 ( л , у) (В,

где о) — круговая частота колебаний плиты, соответствующая вы­ бранной форме изогнутой поверхности. Расчет плиты на действие кратковременной нагрузки, распределенной по поверхности плиты по закону р(х, у) и меняющейся во времени по закону f(t), может

186

быть заменен расчетом на действие эквивалентной статической нагрузки

Рэкъ=Р(Х, У) Ад,

где Ад—динамический коэффициент, определяемый в зависимости

и при расчете балок, можно утверждать, что чем ближе нагрузка по своему закону распределения соответствует одному из членов ряда (например, первому), в который разложена по собственным функциям колебаний плиты нагрузка, тем точнее получим резуль­ тат. Обычно такой приближенный расчет на одностороннюю на­ грузку, плавно меняющуюся по поверхности плиты, дает удовле­ творительный результат. Однако применение данного приближен­ ного метода к случаю действия нагрузки, приложенной к неболь­ шой части поверхности плиты, может привести к ошибочным ре­ зультатам.

Для того чтобы пользоваться приближенным методом расчета плит на действие кратковременной нагрузки, нужно уметь опреде­

о статическом расчете плит дается в курсе теории упругости. По­ этому ниже приводятся (без вывода) лишь формулы для опреде­ ления низших частот колебаний плит с различными закреплениями на их краях, с тем чтобы можно было вычислить эквивалентную статическую нагрузку, а затем методами, изученными в курсе теории упругости, или с помощью справочной литературы опреде­ лить усилия в плите.

Низшие частоты собственных колебаний плит определяются по следующим формулам:

а) для прямоугольной плиты, свободно опертой по контуру

(рис. 82),

187

б) для прямоугольной плиты, защемленной по контуру (рис. 83),

в) для прямоугольной плиты, защемленной по двум параллель ным сторонам и свободно опертой по двум другим (рис. 84),

У ( 1 + 2 .5 7 ^ + 5 ,1 4 ^

D

т ’

В приведенных формулах приняты обозначения:

т — масса плиты вместе с нагрузкой на единицу площади;

D — цилиндрическая жесткость плиты, определяемая по фор­ муле

Eh3

D =

12 (1 — ^2)

где h — толщина плиты;

ц— коэффициент Пуассона материала плиты;

Е— модуль упругости материала плиты.

§ 44. Приближенный расчет рам на действие кратковременной нагрузки

Схема приближенного расчета рам остается такой же, как для балок и плит, рассмотренных в предыдущих параграфах. Форма изгиба при колебаниях рамы может быть принята в зависимости от характера нагрузки. Так, если на однопролетную П-образную

188

раму действует вертикальная нагрузка (рис. 86), то форма коле­ баний может быть принята по форме изогнутых осей стержней рамы от статического действия нагрузки. Такая форма изгиба ближе всего будет соответствовать первой главной симметричной форме колебаний рамы. Если на эту же раму действует горизон­ тальная нагрузка (рис. 87), то форма колебаний, принятая как упругая линия от статического действия этой нагрузки, будет ближе всего соответствовать первой главной форме обратно сим­ метричных колебаний.

Далее необходимо определить частоту свободных колебаний, соответствующую принятой форме колебаний. Определение часто­ ты может быть произведено приближенно: либо энергетическим методом, либо методом приведения массы (или другими прибли­ женными методами, которые в курсе не изучались). Если известна формула для точного значения частоты, то вычисляется ее точное значение. По частоте и заданному закону изменения нагрузки во времени определяем эквивалентную статическую нагрузку и про­ изводим статический расчет рамы на действие этой нагрузки.

Пример 19. На П-образную бесшарнирную раму действует равномерно рас­ пределенная по ригелю кратковременная нагрузка, линейно убывающая от максимального значения до нуля. Требуется определить эквивалентную стати­ ческую нагрузку и построить эпюру изгибающих моментов.

Исходные данные для'расчета следующие:

— пролет и высота рамы 1—6 м;

— жесткость поперечного сечения на изгиб ЕІ = 20 000 тс • м2;

— погонная масса по стойкам и ригелю т —0,125 тс-сек2/м2;

—длительность действия нагрузки т=0,5 сек;

—максимальное значение нагрузкир т= тс/м.

По формуле (6 .6 ) (§ 25) определяем частоту колебаний

189