книги из ГПНТБ / Основы динамики сооружений учеб. пособие

Умножив обе части равенства на т(х) и поменяв их местами, получаем

зываемым иногда собственными функциями. Таким образом, по­

•ф Л2Ш2 j* tn (л:) Х%(л) X т(л:) dx -ф ... -ф

0

2

+ -4л $ т (X) х п (х) Х т (х) dx -ф 0

1

-ф A n+\<s>n+\ J tn (jc) Х п+\ (X) Х т(.х) dx -ф ...

0

Правая часть полученного выражения состоит из бесконечного числа слагаемых, содержащих интегралы вида

1

части останется только одно слагаемое с интегралом, содержащим произведение одинаковых функций Х п(х). Таким образом, будет

.170

Отсюда получаем формулу для вычисления постоянной А п:

г

j s(x) Х п(лс) dx

1 о

(е)

^т{х) Х п2 (х) dx

о-

Коэффициенты А п, определяемые по этой формуле, представ­ ляют собой коэффициенты разложения в ряд по главным формам колебаний распределенного импульса s(x) и являются по своему физическому смыслу амплитудами главных форм колебаний. Подставив значения А п в выражение (б), получим окончательное выражение для определения прогиба балки в различных ее точ­ ках в любой момент времени при действии мгновенного импульса:

Пусть мгновенный импульс действует не в начальный момент времени, а в момент t = u. Перенесем начало отсчета времени к мо­

Пример 13. В качестве примера рассмотрим действие на простую балку равномерно распределенного по длине балки импульса s. Балка имеет постоян­ ную жесткость Е І и постоянную по ее длине погонную массу т. Известно

(см. § 16), что главные формы колебаний простой балки имеют вид

*„(•*) = Sin

а частоты колебаний определяются по формуле

171

Вычислим интегралы, входящие в знаменатель и числитель выражения (9.3):

Этого следовало ожидать, так как импульс, распределенный по балке равно­ мерно, является симметричным, а поэтому представляется естественным, что он должен вызывать только симметричные формы колебаний, т. е. формы колеба­ ний с нечетными значениями я. При п —1, 3, 5 ,...

бо

Подставляя значения вычисленных интегралов, частоты колебаний со„ и соб­ ственной функции Х п (х) в уравнение (9.3), получим выражение для прогиба балки:

Заметим, что в момент времени, равный четверти периода основного тона свободных колебаний, функция sin n2®d получит одновременно для всех главных форм колебаний максимальное значение, равное единице. В самом деле, пусть

'X = 2«! ’ тогда

Поэтому уравнение изогнутой линии балки при ее максимальном отклоне­ нии в случае колебаний от действия мгновенного равномерно распределенного импульса имеет вид

Определим максимальный прогиб в середине балки при х = —

/1= 1, 3, 5, . . .

172

Значение вошедшей сюда бесконечной суммы известно из курса математики:

Имея уравнение изгиба балки при максимальном отклонении в процессе колебаний, можно определить максимальные значения изгибающего момента в любом сечении балки, используя зависимость

л = 1, 3, 5, . . .

Значение вошедшей сюда бесконечной суммы известно из курса математики:

л = 1, 3, 5, . . .

Подставив это значение в предыдущее выражение, получим весьма простую формулу для определения наибольшего изгибающего момента в середине простой балки от равномерно распределенного по длине балки мгновенного импульса:

Как и в предыдущем параграфе, будем рассматривать в ка­ честве системы с бесконечным числом степеней свободы балку с произвольными опорными закреплениями с массой т(х) и жест­

173

костью EI, распределенными по длине балки по произвольным за­ конам.

Пусть на балку действует нагрузка, изменяющаяся по длине балки и во времени также по произвольному закону р(х, t). Эту нагрузку можно представить в виде поверхности, описываемой уравнением z = p(x, t) в системе координат г, х, t (рис. 79). Рас-

Рис. 79

смотрим сначала действие на балку элементарного импульса р(х, и) du, приложенного в момент времени и, и определим элемен­ тарное перемещение, которое возникнет от его действия в момент времени і. Считая элементарный импульс s(x) =р{х, и) du мгновен­

ным, применим к рассматриваемому случаю формулу (9.4) преды­

дущего параграфа:

I

“ j J Р (X, и) du Х п (х) dx

dy {х, t ) = 2 j — ■- — i------------------------ X n (x) sin шя (t — u).

n=1 f m (x) XI (x) dx

Представим нагрузку p(x, t) как сумму бесконечного мно­ жества элементарных импульсов р(х, и) du. Тогда перемещение оси балки в момент времени t от действия этой нагрузки можно найти, если предыдущее выражение проинтегрировать в пределах от нуля

I

174

Заметим, что дробное выражение, стоящее под знаком интегра­

няя прием предыдущего параграфа при нахождении коэффициен­ та Ап разложения в ряд импульса s(x). Умножим левую и пра­

Таким образом, выражение для у(х, t) может быть представ­ лено в виде

п=1

где р п (и) определяется по формуле (б).

Напомним, что переменная и, так же как и t, является коорди­ натой времени и введена исключительно для того, чтобы отличать при интегрировании момент времени и, в который прикладывается элементарный импульс от момента времени t, для которого ищется перемещение. После интегрирования по и в формуле (9.6) эта переменная исчезает.

Анализируя формулу (9.6) и сопоставляя ее с формулой (7.17) для определения перемещения в случае действия произвольной нагрузки на систему с одной степенью свободы, приходим к естест­ венному заключению, что каждая главная форма колебаний систе­

175:

мы с бесконечным числом степеней свободы ведет себя при дей­ ствии соответствующего слагаемого ряда (9.5) как система с од­ ной степенью свободы и ее движение может быть описано форму­ лой (7.17). В самом деле, применяя к исследованию вынужден­ ных колебаний п-ой главной формы при действии на нее возму­ щающей силы

р(х, t) может быть представлена в виде произведения двух функ­ ций, из которых одна зависит только от х, а вторая только от t, т. е.

жения функции р(х), характеризующей закон изменения нагрузки по длине балки, в ряд по собственным функциям. Действительно, если

Таким образом, подставив (в) в формулу (9.6), получим выра­ жение для определения перемещения:

ооt

176

Для ряда частных случаев нагрузки значения интегралов, вхо­ дящих в слагаемые выражений (9.6) и (9.9), были получены в главе 8. Следует иметь в виду, что для каждого слагаемого значения интегралов будут различными, так как подынтегральные выражения не одинаковы для разных п.

распределенной по пролету равномерно и меняющейся во времени по закону /((). Таким образом, нагрузка может быть представлена в виде

р (х , t) = р f(t),

где р= const.

Главные формы и частоты собственных колебаний простой балки известны:

Хп (х) = sin птех

Т’

Так как нагрузка представляет собой произведение двух функций, из кото­ рых одна характеризует распределение по длине балки, а другая закон измене­ ния во времени, то для определения перемещения воспользуемся выраже­ нием (9.9). Предварительно по формуле (в) вычислим коэффициент разложения

нагрузки в ряд по собственным функциям:

I

Р пт.х

рI sin —j - dx

Рпъх

от I sin2 —у—dx

о

Интегралы, входящие в числитель и знаменатель, нами вычислены в преды­ дущем примере 13. Тогда

л - i , з, 5, . . .

§ 39. Действие внезапно приложенной постоянной нагрузки на систему с бесконечным числом степеней свободы

Применим зависимости предыдущего параграфа к случаю дей­ ствия внезапно приложенной нагрузки. В этом случае в выраже­

нии (9.7) необходимо принять f(t) = 1. Для определения переме­ щения у(х, t) вычислим интеграл, входящий в выражение (9.9):

t і

В этой формуле общий прогиб получается как сумма прогибов по всем формам колебаний. Каждое слагаемое этой суммы, опре­ деляющее уравнение изгиба оси балки по каждой форме, состоит из двух множителей: дробного и в круглых скобках. Рассмотрим физический смысл каждого из этих множителей. Дробный множи­ тель в (а) представляет собой уравнение изогнутой оси балки при статическом действии соответствующего члена, ряда (9.8) разло­ жения нагрузки. Действительно, дифференциальное уравнение изгиба оси балки при статическом действии какой-то распределен­ ной нагрузки q{x) имеет вид

178

Безразмерный множитель в круглых скобках выражения (а), определяемый в зависимости от вида нагрузки и частоты собствен­ ных колебаний, характеризует динамичность воздействия в каж­ дой главной форме колебаний.

пределенной нагрузки q. Главные формы, частоты собственных колебаний простой балки, а также коэффициенты разложения нагрузки в ряд по собственным функ­ циям будут такими же, как и в примере 14;

Х п (x) = s i n ^ ± ,

л = 1 ,3 , 5, . . .

Получим затем выражение для определения изгибающего момента

/z = l , 3, 5,

Ряды, содержащиеся в выражениях для у(х, t) и М(х, t), имеют быструю сходимость, и достаточно ограничиться одним членом ряда, чтобы получить точ­ ность, требуемую для практических расчетов. Однако в данном примере при получении максимальных значений прогиба и изгибающего момента во времени и по пролету, как сейчас будет показано, нет необходимости прибегать к усече­ нию рядов, так как в этом случае они суммируются в конечном виде. Заметим,

что выражение в круглых скобках при tM=-X = __ получает максимальное зна­

чение одновременно по всем главным формам. Действительно,

гибов и изгибающих моментов балки при ее максимальном отклонении в про­ цессе колебаний от положения статического равновесия будут описываться сле­ дующими выражениями:

л = 1, 3, 5, . . .